以矩形为背景的折叠问题

胡洋洋

【摘 要】图形折叠问题核心实质是轴对称性质，也是中考考查轴对称性质的主要题型，内容涉及求线段长度、角度、面积、三角函数值等，本文主要以矩形为背景，来寻求折叠问题的解题策略。将从低阶思维转向高阶思维，让学生参与变式、自主归纳解题方法策略，从而激发思维活力。

【关键词】折叠;全等形;点的对称性;模型思想;方程思想

【中图分类号】G634.6       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）24-0271-01

一、设计说明

1.学情分析。

笔者所教班级学生两极分化较为严重，多数学生思维较活跃，主动参与、自主探究意识和能力相对较强，但也有少数学生在知识的理解、应用上尚存在一定不足。

本节课的复习重点是理解轴对称的性质，掌握以矩形为背景折叠问题的解决方法。难点在于能够灵活选择解决矩形为背景的折叠问策略方法。

2.设计思想。

折叠问题的实质是轴对称变化，而轴对称是几何图形变化的重要内容，在生活和数学学习中有着广泛应用，在历年中考中多次涉及。

复习目标确定为通过折叠活动，发现折叠的实质，通过几个矩形折叠问题寻求解决此类问题的基本策略和方法，形成解题模型。

二、范例设计

1.课堂引入。

请同学们拿出事先准备好的矩形纸片，在BC上找一点F，使AB沿着AF折叠后，B点恰好落到边AC上。

折好后：（1）向同伴说说你是怎么找的？

（2）试着在草纸上画出你得到的图形。

说明：学生解答本题可能更多的通过动手操作来判定，在肯定学生思维正确的基础上，教学中引导学生在活动中通过现象看本质：折叠的实质就是轴对称变化。注意引导学生回忆轴对称的性质：1.图形的全等性;2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。

2.例题讲评。

例1（原创）通过引例，我们能得到如下的图形，如果AB=6，BC=8，你能求出BF的长吗？

思考：（1）你能用不同的方法求BF的长吗？

（2）你还能求出哪些量？

说明：本例题设计的目的在于巩固轴对称的性质1——图形的全等性。教师要引导学生看到折叠问题关注全等形，寻找BF所在的直角三角形，由形想数，彩笔标注相等的量。对于能做出一种方法的同学及时表扬，鼓励。学生可能想到的方法有代数法（前两种）和几何法（后两种）。

（1）寻找折叠后余下的一个直角三角形，利用勾股定理建立方程求线段BF的长度。

（2）利用三角函数。

（3）寻找折叠后余下的两个直角三角形，利用相似（ΔADC≌ΔCEF）建立方程。

（4）等面积法（求ΔACF的面积，可得CF·AB=EF·AC）

不管学生利用哪种方法，都要提醒学生关注图形变化中的不变量，用不变的量去求解变的量。思考（2）重点关注面积，三角函数值、角度的求值。

本例题以矩形为背景，引导学生发现关键三角形（折叠中“余下”的一个或多个三角形），从不同角度（勾股定理、相似三角形、三角函数、面积）通过建立方程求线段长，体现生长性，学生的思维得到激活，同时进一步理解知识间的联系，体会方程思想在求折叠问题中的价值，提高学生的认知水平。

变式：引导学生变出类似于例1的题目

说明：通过变式教学强化对“折叠”是一种轴对称变化的理解，帮助学生形成轴对称的认识，使学生能够自觉从数、形两个层面对“折叠”这类操作性问题进行分析。学生根据已有的知识和活动经验，可能会画出一两种，老师补充一些常见的折叠图形。

重点引导学生观察，除全等形外，原矩形“余下”直角三角形个数，进行分类。

“余下”两个直角三角形：

考虑几何法（K型相似）

“余下”一个直角三角形：

考虑代数法（勾股定理建方程）

没有“余下”直角三角形：

考虑构造K型相似

通过变式和分类的过程中，学生知道寻找解决这类题的基本支架——找到折疊“余下”的直角三角形，从不同角度建立方程，有利于学生思维的灵活性。

三、教学建议

本节教学活动中，估计学生会因为对相关图形的对称性的应用不太熟练，这就需要教师在教学中注重概念和性质的再梳理，充分暴露学生的思维过程，教师应及时的引导、点拨和总结。在解题思路寻求思路时注重引导学生思考“怎么想到的？”“为什么这样想？”“从哪个角度思考？”等问题。对于例1的变式，个别学生根据已有的知识和经验，可能会想到一两种折叠图形，教师应及时鼓励，但是大部分学生会遇到困难，教学时，应及时引导学生通过折一折等活动尝试，学生不可能想到所有的情况，教师应及时补充。

本节设计的目的是为学生提供解决折叠问题的基本策略，在课堂小结环节应重点强调，折叠问题应该从两个方面考虑，一个是全等形，一个是点的对称性。不管从哪个方面都要寻找直角三角形，一个直角三角形时都是利用勾股定理建立方程，两个直角三角形利用相似建立方程，只不过前一个是K型相似，后一个是斜A型相似。