例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用

严天珍 李平

摘 要：齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，而且在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简，事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明是解决一些数学问题的重要方法.

关键词：齐次式;方法;解题;应用

1 问题提出

突出数学主线，凸显数学的内在联系和思想方法，优化课程结构，是高中数学课程的基本理念之一;同时，倡导基于数学核心素养、以思想方法为线索的方法类教学设计，亦将成为中学教师研修的重要方向.回顾现行高中数学教材体例及近年高考试题发现，除“函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论”等重要数学思想方法之外，“齐次化思想方法”在高中数学内容编排及考试评价中也多有呈现;但缘于该思想方法在高中数学内容中分布的零散性和知识本身的边缘性，致使学生不能以整体的视野去整合与该思想相关的内容，更难将该思想方法顺利迁移到相关的解题中去.为此，笔者拟在简析齐次化思想方法的基础上，以齐次化思想方法为线索，在整体思维的指导下对高中数学中与齐次化思想方法有内在关联性的内容进行示例分析，以期抛砖引玉.

2 思想概述

数学思想方法是思考数学问题和从数学角度思考问题的思想和方法，是长期的数学发展所积累的文化灵魂;它不仅是人们对数学理论和内容的本质认识，而且也是数学思想具体化、程序化、可操作的具体表现形式.为深入了解齐次化思想方法，我们先了解一个基本概念：

若多项式函数p（x，y，…，z）=A1xk1yl1…zq1+A2xk2yl2…zq2+…+Atxktylt…zqt的所有项有相同的次数n，即k1+l1+q1=k2+l2+q2=…=kt+lt+…+qt=n，则这个函数称为n次齐次多项式.

若上述函数p（x，y，…，z）=0，则这样的方程称为关于x，y，…，z的n次齐次方程;若上述函数p（x，y，…，z）>0，则这样的不等式称为关于x，y，…，z的n次齐次不等式.现将齐次多项式、齐次方程、齐次不等式统称为齐次式.

齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，并且在解题过程中，若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简、事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明的具体化、程序化、可操作的过程，我们称为齐次化思想方法.

3 应用举例

研究发现，有关齐次式的问题经常出现在三角求值、解三角形、不等式证明、圆锥曲线综合、二元函数求值、数列综合等章节里，掌握齐次化思想方法对处理这些常见的齐次问题非常重要.

3.1 齐次化思想方法在三角函数中的应用

例1 已知tanθ=-13，计算：

（1）（人教A版数学必修④71页第4（2）题）12sinθcosθ+cos2θ;

（2）（2016年全國Ⅲ卷文科第6题）cos2θ.

解 （1）因为tanθ=-13，所以12sinθcosθ+cos2θ=sin2θ+cos2θ2sinθcosθ+cos2θ=tan2θ+12tanθ+1=（-13）2+12×（-13）+1=103.

（2）cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-（-13）21+（-13）2=45.

评析 利用同角三角函数关系sin2θ+cos2θ=1构造关于sinθ与cosθ的二次齐次式是解答本题的突破口.

3.2 齐次化思想方法在解三角形中的应用

例2 （2017年全国Ⅰ卷文科第11题）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，求C.

解 因为sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，所以sinB+sinAsinC-sinAcosC=0.

构造关于sinA，cosA，sinC，cosC的二次齐次式得.

sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC=0.

则sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0.

即tanA=-1，故A=3π4.

再由正弦定理得sinC=csinAa=2×222=12.

所以C=π6.

评析 三角恒等变换是解三角形问题中的核心步骤，齐次化思想无疑能为解决此类问题提供思想方法上的指引.

3.3 齐次化思想方法在不等式证明中的应用

例3 （第5个优美不等式）设x，y，z为正实数，且满足x+y+z=1，求证：xx+yz+yy+xz+zz+xy≤94.

证明 因为x+y+z=1，故xx+yz分母齐次化xx（x+y+z）+yz=x（x+y）（x+z）;

同理yy+xz=y（x+y）（y+z）;zz+xy=z（x+z）（y+z）.

于是xx+yz+yy+xz+zz+xy

=x（x+y）（x+z）+y（x+y）（y+z）+z（x+z）（y+z）

=x（y+z）+y（x+z）+z（x+y）（x+y）（x+z）（y+z）

=2（xy+xz+yz）（x+y）（x+z）（y+z）

分式齐次化2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）.

从而原不等式2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）≤94.

9（x+y）（x+z）（y+z）≥8（xy+xz+yz）（x+y+z）y2z+x2z+yz2+x2y+xz2+xy2≥6xyz

xy+yx+zx+xz+zy+yz≥6.（*）

由基本不等式及不等式的同向可加性知（*）式显然成立，即原式得证.

评析 根据题设对不等式中的各项局部齐次化或整体齐次化，再辅以分析法做恒等变形，即可证得上式.

3.4 齐次化思想方法在圆锥曲线中的应用

例4 （2017年全国Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

解 （1）x24+y2=1（过程略）;

（2）作平移变换φ：x′=x，y′=y-1.

则在平移变换φ：x′=xy′=y-1 下，点P2（0，1）变成点P′2（0，0），椭圆x24+y2=1变成椭圆x′24+（y′+1）2=1，直线AB变成A′B′.

设lA′B′：mx′+ny′=1，

联立mx′+ny′=1，x′24+（y′+1）2=1， 齐次化得x′24+（y′+mx′+ny′）2=（mx′+ny′）2.

即有x′2+8mx′y′+4（2n+1）y′2=0.

两边同时除以x′2得，

4（2n+1）（y′x′）2+8m·y′x′+1=0.

根据韦达定理有，kP2 A  + kP2 B  = kP′2A′ + kP′2B′=-8m4（2n + 1） =-1，即m=n+12.

所以lA′B′：（n+12）x′+ny′=1.

显然直线A′B′过定点（2，-2）.

所以直线AB过定点（2，-1）.

评析 用解析法研究圆锥曲线问题，解题思路看似简单，但运算过程对学生无疑是一种挑战.巧构二次齐次式不仅能简化运算过程，而且能为解决此类问题提供新的解题视角.

3.5 齐次化思想方法在求函数值域中的应用

例5 （2006年安徽省竞赛题）若x，y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.

解 令t=x2-xy+y2，则x2-xy+y2t=1.

因为x2+xy+y2=3，所以可得关于x，y的齐次式x2-xy+y2t=x2+xy+y23.

即（t-3）y2+（t+3）xy+（t-3）x2=0.

①當x=0时，则有y2=3，t=3;

②当x≠0时，则有（t-3）（yx）2+（t+3）yx+（t-3）=0.

因为yx∈R，所以Δ=（t+3）2-4（t-3）2≥0，即1≤t≤9.

综上，tmin=1，tmax=9.

评析 二元函数条件最值问题是高中数学中的常见问题，也是各类竞赛中的热点问题.在形如“已知实数x，y满足ax2+bxy+cz2=d（d≠0）条件下，求二元函数f（x，y）=ux2+vxy+wy2的值域”问题，我们首先可以构造关于x，y的二次齐次式，再恒等变形为关于yx的一元二次方程，进而根据判别式法求得此类二元函数的值域.

3.6 齐次化思想方法在数列综合中的应用

例6 （2012年全国Ⅱ卷理科第22题）函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2且2≤xn

解 由题意可得0-5=f（xn）-5xn-4（xn+1-4）.

即有xn+1xn=-2xn+1+4xn+3.

作变换xn=an+3使上式局部齐次化得，

an+1an=-5an+1+an.

两边同除以an+1an得，

1an+1-5·1an=1，即有1an+1+14=5（1an+14）.

所以数列1an+14是首项为-34，公比为5的等比数列.

因此1an+14=-34·5n-1，即an=-43·5n-1+1.

从而解得xn=3-43·5n-1+1.

评析 此题作为当年高考的压轴题不可谓不难，初看确实让考生难以入手.若能将递推公式xn+1xn=p1xn+1+p2xn+q局部齐次化为an+1an=pan+1+qan，则此题自然迎刃而解.通过思想方法引领，定能使解题做到水到渠成，深入浅出.

4 一点思考

数学思想方法既是数学教学的灵魂，也是数学教学的精髓.因此，在高三复习备考中，凸显数学的思想方法与特定知识的内在联系，设计以思想方法为线索的方法类教学设计，把一些看似无关处于“游离”状态的零散知识点通过思想方法有机地串联在了一起，既构建了相关知识间的结构体系，也拓宽了学生的解题视野，从而让数学思想方法有效推动具体知识内容的教学，切实助推数学核心素养的落实.

参考文献：

[1]马子奇.活跃在圆锥曲线的齐次化方法[J].数理化学习（高中版），2018（07）：24-25.

[2]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考，2010（1-2）：136+143.