基础性与综合性并举

祝峰

摘 要：在2019年全国Ⅰ卷理科第19题探究过程中，分析“基础性”“综合性”考查要求的特点，启示教学中应帮助学生建立牢固的基础知识体系，并不断优化知识结构，提升综合素养.

关键词：考查要求;基础性;综合性;教学启示

1 问题提出

强调基础性是高考命题不变的原则.考查基础知识、基本能力、基本态度与价值观，检验学生进入高校进行专业学习和终身发展所需的通用性知识、能力和素养，以引导教学中夯实学生成长和后续发展的基础.高考命题在重基础抓主干的同时亦强调综合性，特别是学科内部各主线知识之间的综合，达到全面考查学生综合素养的目的，可谓是基础性与综合性并举.以具体试题为例，分析试题对知识、技能、方法、思想的基础性、工具性、通用性、综合性考查的目标要求，能更好地发挥试题对教学的正向引导作用.本文通过对2019年全国Ⅰ卷理科第19题的探究，体会基础性与综合性并举的考查要求，并感悟其给教学的启示.

2 试题呈现

题目 （2019年全国Ⅰ卷理科第19题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程;

（2）若AP=3PB，求|AB|.

3 试题探究

3.1 第（1）问解析、评析、变式

解析 设直线l方程为y=32x+n，A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可知AF+BF=x1+x2+32=4，所以x1+x2=52.联立y=32x+n，y2=3x.

整理得 9x2+（12n-12）x+4n2=0.

注意到Δ=12n-122-144n2>0，所以n<12.

由x1+x2=-12n-129=52，解得n=-78.

所以直线l的方程为y=32x-78.

即12x-8y-7=0.

评析 抛物线方程、抛物线定义、直线方程的不同形式、二次方程、韦达定理是这一问考查的必备知识.解析法的基本原理是重点考查的关键技能，在对问题进行观察、比较、分析、综合后，用恰当的形式设出直线方程，依據抛物线定义用坐标将|AF|+|BF|=4表示成x1+x2=52的形式，建立x1+x2与方程根的联系，这一系列的步骤均是解析法熟练程度的具体体现，体现试题对基础知识、基本技能、基本思想的考查要求.

在作图、设坐标和方程、转化与化归、方程求解的过程中，学生表现出推理缜密、运算有序、表述清晰的思维品质是数学抽象、逻辑推理、数学运算素养的体现.

变式1 已知抛物线C：y2=2px（p>0），焦点为F，直线12x-8y-7=0与C交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，求C的方程.

变式2 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，直线12x-8y-7=0与C交于A，B 两点，求|AF|+|BF|.

变式3 已知抛物线C：y2=3x，焦点为F，直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，若P（712，0），且|AF|+|BF|=4，求直线l的方程.

3.2 第（2）问解析、评析、变式

解法1 设P（m，0），设直线l方程为x=23y+m.

联立x=23y+m，y2=3x， 得 y2-2y-3m=0.

由Δ=4+12m>0，解得m>-13.

因为y1+y2=2，y1y2=-3m，AP=3PB ，所以y1=-3y2 ，进而解得y1=3，y2=-1.

故AB=1+49·（y1+y2）2-4y1y2=133·4+12=4133.

（亦可把y1=3，y2=-1代入C的方程得x1=3，x2=13，用两点间距离公式直接求出|AB|=4133）

解法2 设点P坐标为（m，0），AB方程为x=m+tcosθ，y=tsinθ， 其中t∈R，tanθ=32.

代入C的方程得t2sin2θ-3tcosθ-3m=0.

设其两根为t1，t2，不妨令|t1|>|t2|.

由AP=3PB知t1=-3t2，故|AB|=-4t2.

注意到t1+t2=3cosθsin2θ=-2t2，tanθ=32.

所以cosθ=21313，sinθ=31313.

故|AB|=6cosθsin2θ=4133.

评析 本题考查的必备知识为直线方程的形式、平面向量的概念、平面向量的坐标运算、平面上两点距离公式、直线的参数方程、参数的几何意义.同样是考查解析法，第（1）问侧重于基础性考查，这一问注重解析几何知识内部的联系，要求学生注重几何学科整体的知识结构、功能和相互作用.考查对解析几何与平面向量、普通方程与参数方程、方程特点与曲线几何性质这些知识全面理解和应用.对于直线方程，可以用普通方程亦可用参数方程，普通方程y=32（x-m），x=23y+m中选择后者;求解距离不用两点间距离公式，而是AB=1+49·（y1+y2）2-4y1y2，均是综合能力的表现.参数方程的应用中参数t的几何意义、θ的意义、|AB|=-4t2以及三角变换的应用需有整体的认知能力才能做到.

在恰当的选择直线方程、向量语言AP=3PB准确的坐标化、AB的合理表示、严密的推理和运算、井然有序地描述过程中，能表现出学生的解析几何思想和综合能力水平、能察觉到学生的思维品质特点，体现了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

变式1 已知抛物线C：y2=3x，斜率为32的直线l与x轴交于点P，与C交于点A，B，若AP=λPB，|AB|=4133，求λ.