2019年高考数学全国Ⅲ卷理科第21题探究

崔静静 赵思林

摘 要：2019年高考数学全国理科Ⅲ卷第21题立意高、背景深、思维活、思路广、解法多，本文从试题的立意、背景、解法等方面进行分析与探究.

关键词：高考数学;试题立意;解法探究

1 试题呈现

题目 （2019年全国Ⅲ卷理科第21题）已知曲线C：y=x22，点D为直线y=-12上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为点A，B.

（1）证明：直线AB过定点;

（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

2 试题的立意

试题延续了全国卷最常考的风格，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，同时也涉及到中点弦、圆和抛物线弦相切等相关知识点.本题与2015年高考数学四川理科卷的第10题颇为相似，都是利用中点的性质得到直线的斜率，即为切点横坐标，由定点和切点连线的斜率和垂直，从而求得切点坐标.

该题将直线方程、抛物线、圆、切线、导数、向量等知识有机结合，体现了知识的基础性与综合性，充分考查了学生的数学思维与核心素养.题目紧扣考纲，相比以往的圆锥曲线试题有所创新，让学生产生似曾相识又陌生的感觉.从阅卷情况来看，此题入手容易，得1—4分的比比皆是，但得高分难、得满分很少.因此，试题具有较高的信度和效度、合适的难度和较好的区分度，这有利于区分考生不同思维层次的水平，有利于高校选拔人才.本题将知识、方法、思想、核心素养融为一体，是一道着眼于考查核心素养并且极富思维价值的好题[1].

3 试题的背景

背景1 以抛物线的阿基米德三角形为背景，动点D在抛物线的准线上，则切点弦过定点（抛物线的焦点）.该性质的逆命题也成立，且切点弦AB的斜率为点D的横坐标.

背景2 圆锥曲线的极点和极线.

4 解法探究

41 第（1）问解析

解法1 设点D（t，-12），A（x1，y1）.

又因为曲线C：y=x22，则y′=x.

则切线DA的斜率为x1，故y1+12x1-t=x1.

整理得2tx1-2y1+1=0.

同理2tx2-2y2+1=0.

故直线AB的表达式为2tx-2y+1=0.

所以直线AB过定点（0，12）.

解法2 设点D（t，-12），A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

又因为曲线C：y=x22，则y′=x.

则直线AB的方程为y=x1+x22x-x1x22.

易得，点A处的切线方程为y = x1 x-x21 2.①

将点D坐标代入①式，得

-12 = tx1 -x21 2，即t = x21 -12x1 .

同理t = x22 -12x2 .

故x21 -12x1  = x22 -12x2 ，化简得x1x2=-1.

故直线AB的方程为y=x1+x22x+12，过点（0，12）.

点评 该解法1与解法2相似.避免了设直线AB的方程，通过分析得到DA，DB的斜率分别为x1，x2，再代入化简，便可轻松获解.

解法3 设点D（t，-12），A（x1，y1）.

又因为曲线C：y=x22，则y′=x.

设直线AB的表达式y=kx+b，A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

联立y=x22，y=kx+b. 消去y可得x2-2kx-2b=0.

因此，x1+x2=2k，x1x2=-2b.

易得点A处的切线方程为y = x1 x-x21 2.②

同理，点B处的切线方程为y = x2 x-x22 2.③

联立②③式，解得D（x1+x22，x1x22）.

又点D在直线y=-12上，则x1x22=-12.

所以b=-x1x22=12.

故直线AB过定点（0，12）.

点评 联立直线与抛物线方程，借助一元二次方程根与系数的关系，解得纵截距b值.

解法4 设点D（t，-12），则过点D的切线方程为y+12=k（x-t）.

联立y=x22，y+12=k（x-t）.

消去y可得x2-2kx+2kt+1=0.④

由題意可知Δ=4k2-4（2kt+1）=0.⑤

所以④的两根x1=x2=k.

又因为曲线C：y=x22，则y′=x.

设直线DA，DB斜率分别为k1，k2，且A（x1 ，x21 2），B（x2，x22 2）.则k1，k2是方程⑤的两根，则k1+k2=2t，k1k2=-1.

所以直线AB的方程为y=k1+k22x-k1k22.

故直线AB过定点（0，12）.

点评 解法3与解法4有异曲同工之处，据悉，该思想方法是大多数学生在考场上选择的方法.此法思维切入点低，但运算量稍大，充分体现了在数学应试中“运算能力是万能之本”.

解法5 由对称性可知直线AB所过定点必在y轴上.

当点D坐标为（0，-12）时，该点到抛物线的两切点为A（1，12），B（-1，12），直线AB与y轴交于点M（0，12）.

设过点M（0，12）的直线AB的方程为y=kx+12，A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

联立y=x22，y=kx+12. 消去y可得x2-2kx-1=0.

从而，x1+x2=2k，x1x2=-1.

又曲线C：y=x22，则y′=x.

点A处的切线方程为y = x1 x-x21 2，同理点B处的切线方程为y = x2 x-x22 2.

所以D（x1+x22，x1x22），即D（k，-12）.

则D（k，-12）是直线y=-12上的动点，所以直线AB过定点（0，12）.

点评 该方法体现了由特殊到一般的数学思想方法.

解法6 设点D（t，-12），则直线AB是点D的极线.

从而，直线AB的方程为y-122=tx2.

化简得y=tx+12，所以直线AB过定点（0，12）.

解法7 焦点F（0，12）和准线y=-12是抛物线的极点和极线.

由配极原则，点F的极线过点D，则点D的极线过点F，即直线AB过定点（0，12）.

点评 如果考生在考场上能够想到极点和极线的基本定理，便可“秒杀”此题.一般来说，“想得多，就算得少”，相反“想得少，就算得多”，面对像高考这样短时间内选拔人才的方式，应重视“多想少算”的教育理念.

解法8 由题意有y1-12x1=t=y2-12x2，即kAF=kBF，即A，B，F三点共线.

化简上式得x1y2-x2y1x1-x2=12.

直线AB的方程为y-y1x-x1=y2-y1x2-x1.

故当x=0时，y=12.

即直线AB过定点（0，12）.

点评 第（1）问只要把握住切点弦的方程和曲线在某点的切线方程是一致的，问题就能迎刃而解.

42 第（2）问解析

解法1 设直线AB的方程为y=tx+12.

联立y=x22，y=tx+12. 消去y可得x2-2tx-1=0.

则有x1+x2=2t，y1+y2=t（x1+x2）+1=2t2+1.

设点M为A，B的中点，则M（t，t2+12）.

由于EM⊥AB，而EM=（t，t2-2），AB与向量（1，k）平行，所以t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1.

当t=0时，圆的方程为x2+（y-52）2=4;

当t=±1时，圆的方程为x2+（y-52）2=2.

当t=0时，S=3;当t=±1时，S=4 2.

因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.

解法2 设直线AB的方程为y=tx+12.

由t = y2 -y1 x2 -x1  = x22 2-x21 2x2 -x1  = x1  + x2 2，

化简得y1+y22=t（x1+x22）+12=t2+12.

故中点为M（t，t2+12）.下同解法1.

点评 利用中点结论可得AB斜率即为切点横坐标，由定点和切点连线的斜率和垂直，可求得切点坐标.这种“设而不求”法通常用于对称性问题 [2].相较解法1，解法2运算用时少，效率高，不易出错.

解法3 由题意有AE=BE.化简该表达式，可得R2=2或R2=4.其余同上.

点评 第（2）問实际上考查了圆和圆锥曲线的位置关系，涉及中点弦，圆和抛物线的弦相切，在近几年的全国卷中多次出现，应引起重视.

5 结束语

本题解法较多，有的方法虽然也能解决问题，但运算量偏大，过程较繁琐.只要灵活地选择数学方法，便能出奇制胜，达到多想少算的效果.教师还应把握好因材施教的教学原则，对于学有余力的学生，应要求其掌握极点、极线基本定理，阿基米德三角形性质等相关知识点.

参考文献：

[1]崔静静，赵思林.一个数学探究性问题的多角度研究——2016年高考数学四川卷理科第15题评析与引申[J].中国数学教育，2017（06）： 47-50.

[2]王后雄，马春华等.高中数学教材完全解读，选修2-1[M].北京：中国青年出版社，2015.