多项式的伴侣矩阵的应用

曾庆怡

（韶关学院 数学与统计学院，广东 韶关 512005）

中学数学一元二次方程的根与系数的关系就是耳熟能详的Vieta(韦达)定理，这个定理常见的应用是在已知方程的解未知的条件下，求做与已知方程根有某种关系的另一个方程以及相应的计算问题.对于次数高于2次的根与系数的关系问题，在大学高等代数教材中有相应的结果.

设f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0是数域F上的首项系数为1的n次多项式，而α1,α2,…,αn是f(x)的全部复根，则：

对于多项式的根的相应的式子的计算问题［1-3］，当多项式f(x)的次数比较高的时候，计算量是比较大的，但是如果用高等代数的相应知识来解决就要快捷很多.笔者整理了部分高校的考研试题，利用多项式的伴侣矩阵的性质解决这类问题.

1 问题介绍

问题1：设ξ1,ξ2,…,ξn是有理系数多项式g(x)在复数域上的全部根，问对任意有理系数多项f(ξi)一定是有理数？证明你的结论(北京大学2012年高等代数考研试题).

问题4：设1,a1,a2,…,a2n是多项式x2n+1-1在复数域上C的全部根，证明北京师范大学1988年高等代数考研试题).

问题6：设x1,x2,x3是多项式f(x)=5x3-6x2+7x-8的三个根，求的值(昆明理工大学2007年考研真题).

问题7：设f(x)是首项系数和常数项都是1的n次整系数多项式，f(x)的全部复根是α1,α2,…,αn，证明对任意整数k是整数.

这7个问题看似是多项式的根的问题，但是每个首项系数为1的多项式一定是某个矩阵的特征多项式，这个矩阵就是多项式的伴侣矩阵.而多项式的根就是这个伴侣矩阵的特征值，于是多项式的根的问题就转化为伴侣矩阵的特征值的问题.利用矩阵的特征值的相关性质，可以解决上述问题，而且比纯粹用多项式的方法简单快捷.

2 多项式的伴侣矩阵的应用

命题1 设f(x)是数域F上首项系数为1的n(n≥1)次多项式，则f(x)一定是数域F上某个n阶矩阵的特征多项式［1］.

证是数域F上的n次多项式.取：

则容易计算有：

矩阵A就是多项式f(x)的伴侣矩阵，而多项式f(x)的根就是A的特征值.f(x)的所有根的和就是矩阵A的迹tr(A)，而所有根的积就是A的行列式|A|.

设λ是A的任意特征值，则对任意正整数k,Ak的特征值就是λk，于是对任意非零多项式g(x),g(A)的特征值就是g(λ).因为A是有理数域上的矩阵，Ak还是有理数域上的矩阵，因此tr(Ak)也是有理数，解决了问题(2).

问题(1)，(3)的解答：

证问题(1)，一定是有理数.不失一般性可设g(x)的首项系数为1.由命题1存在有理数域上的n阶矩阵A使得g(x)为A的特征多项式，因此ξ1,ξ2,…,ξn为A的全部特征值.对任意有理系数多项式f(x),f(A)的特征值是 f(ξ1),f(ξ2),…,f(ξn).而 f(A)是有理数域上的矩阵是有理数.

问题(3)，a未必是有理数，a2一定是有理数.令g(x)=x2-2，则g(x)的两个根是都不是有理数.

由命题1，设A是g(x)伴侣矩阵，而ξ1,ξ2,…,ξn就是的全部特征值，因此对任意正整数k,Ak的特征值是一定是有理数.考虑以下有理数域上的行列式：

等式左边是一个有理数域上的行列式，其值是有理数，因此a一定是有理数.因为因此 b 是有理数.

问题(4)的解答：

证令 g(x)=x2n+x2n-1+…+x+1，则 x2n+1-1=(x-1)g(x)，从而 a1,…,a2n就是 g(x)的全部根.令 α=(1,1,…,1)T∈R2n-1，则g(x)的伴侣矩阵是因此a,…,a就是A的全部特征值，从而E-A的特征值是1-a,1-12n2n-11a2,…,1-a2n，而这些特征值的乘积就是|E2n-1-A|.于是：

问题(5)的解答：

证设A是f(x)的伴侣矩阵，x1,…,xn就是A的特征值，从而的特征值就是A2，因此A2的特征多项式g(x)就是以为根的多项式.

如果a0≠0，则f(x)的每个根非零，A可逆，而A-1的特征值就是因此A-1的特征多项式h(x)是所求的多项式.

例1 设f(x)=x3+2x2+3x+1,x1,x2,x3为f(x)的根，求作以为根的多项式g(x)；以及以为根的多项式h(x).

解因为f(x)的伴侣矩阵A是：

简单计算可得A2的特征多项式是g(x)=x3+2x2+5x-1，而A-1的特征多项式h(x)=x3+3x2+2x+1.

问题(6)的解答：

解所求式子整理后变成，按照根与系数的关系可以求的这个式子的值，只是在计算的时候计算量比较大，这个问题采取伴侣矩阵的办法计算比较简单.

显然x1,x2,x3是多项式的根，g(x)的伴侣矩阵是：

于是x1,x2,x3就是A的特征值，从而：

问题7的解答：

证令A为f(x)的伴侣矩阵，则A是整数矩阵，α1,α2,…,αn是A的特征值，从而对任意正整数的特征值.由于A是整数矩阵，Ak也是整数矩阵，因也是整数.

因为|A|=(-1)n，所以A-1=|A|-1A*也是整数矩阵，这里A*是A的伴随矩阵，而A-1的特征值是是整数.于是对任意正整数k,A-k=(A-1)k是整数矩阵，从而

3 结语

首项系数为1的多项式f(x)根的相关问题可以转化为f(x)的伴侣矩阵的特征值的相应问题，利用伴侣矩阵的相应结果解决多项式对应的问题，这种办法有时候比用单纯的多项式理论解决来的简单快捷.当然，这要求读者本身要对多项式与其伴侣矩阵方面的知识点要能融会贯通.