一题多变 突破遗传学计算难题

安徽 陈永辉

关于遗传学概率计算很多同学在学习过程中感觉困难，其主要原因是分不清各种交配方式的计算方法、看不出不同问题的异同、理解不了致死和不育的区别。针对这些问题，笔者在教学中通过一道简单的遗传试题及其多个变式的讲解，帮助学生解决上述难点。

【例1】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自交，F5播种后长出的植株中抗锈病纯合体占（ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【参考答案】C

【类推法】

亲本杂合子Aa 自交，学生根据分离定律能直接得出F1中AA、Aa、aa 的概率分别为1/4、1/2、1/4。那么F1个体自交，F2中AA、Aa、aa 的概率怎样计算呢?

F1中AA 自交、Aa 自交产生的F2中会出现AA，其概率是AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8。

同理，可以计算出F2中Aa、aa 的概率是Aa=1/2×1×1/2=1/4，aa=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8，根据题意“长出的植株中抗锈病纯合体占”的比例可得出数学表达式：A A=，结合前面的计算方法可以算出F5：AA==31/64，Aa=1/32，故选C。

用类推法解决这类题目可训练学生对自交计算的掌握程度，同时笔者要求学生在审题时看清问题的数学含义，然后进行计算，这样解题思路清晰、方法得当。

【公式法】

此题还可以用公式法计算。

根据已知公式Aa=（1/2）n，AA=aa=；可以计算出F5中AA==31/64，得出结果。

此方法要求学生熟练记忆关于杂合子连续自交的公式，并能准确地加以应用，同时知道所求数据代表的数学含义。

1.自交的计算

【变式1】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自交，F5播种后淘汰感锈病类型的小麦，则长出的抗锈病植株中纯合体占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【参考答案】A

根据题意可知，aa（感锈病类型）被淘汰，所以“抗锈病植株中纯合体占”的比例用数学表达式表示为AA=，根据前面例1 中计算结果可得AA==31/33，故选A。

同理，笔者要求学生先根据问题构建合适的数学表达式，利用例1 中的公式计算出结果，然后根据数学表达式带入数据，得出正确结果。

在变式1 中这两种解法的主要目的是为了通过与例1 中问题的比较，帮助学生在审题时看清问题，学会运用数学表达式来准确表示问题，将问题数学化。

2.自由交配的计算

【变式2】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自由交配，F5播种后淘汰感锈病类型的小麦，则长出的抗锈病植株中纯合体占 （ ）

A.1/3 B.1/4 C.31/33 D.31/64

【参考答案】A

2.1 类推法

以F2中AA 的计算为例，雌雄个体中AA、Aa、aa 的概率分别为1/4、1/2、1/4；由于是自由交配，所以可以用棋盘法进行计算分析，F1中AA、Aa 与aa 相互交配得到的F2中AA 的计算如下：

F2中：AA=1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/4=1/4，Aa=1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2=1/2，aa=1/2×1/2×1/4+1/2×1/4×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1=1/4。同理，可以计算出自由交配情况下F5中AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4。由于淘汰了感锈病类型，即aa，所以“抗锈病植株中纯合体”的数学表达式为=1/3，故选A。

在变式2 中的类推法主要是训练学生关于自由交配的计算，并通过与例1 的对比体会自交和自由交配在计算方法上的区别，同时进一步培养学生看清问题，并形成将问题数学化的意识。

2.2 理想种群法

由于个体间是自由交配且没有致死现象，所以可按照理想种群用遗传平衡规律进行分析计算。过程如下：由于是理想种群，每一代基因频率不变，基因型频率从F2开始保持不变，所以只要计算出F2的基因型频率就可以了。

根据题意可以求出A、a 的基因频率都是1/2，F2中AA=aa=p2（或q2）=（1/2）2=1/4，Aa=2pq=2×1/2×1/2=1/2，即F5中AA=aa=1/4，Aa=1/2。根据题意，结合“抗锈病植株中纯合体占”的比例的数学表达式可求出结果。

理想种群法主要是帮助学生掌握遗传平衡规律在自由交配题目计算中的应用。

3.aa 致死或淘汰情况下的计算

【变式3】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自交，且基因型为aa 的小麦致死，则F5长出的抗锈病植株中纯合体占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【参考答案】A

3.1 类推法

杂合子连续自交但aa 致死或逐代淘汰的情况下，亲本自交得到F1时，F1中AA、Aa 的概率学生根据经验可以直接得出AA=1/3，Aa=2/3。那么F1自交得到F2中AA、Aa 的概率又怎样计算呢？

在计算时有两种方法。第一种方法：因为aa 致死导致AA 占1/3，Aa 占2/3，所以得出Aa=2/3×1×2/3=4/9，AA 的计算同理。第二种方法：先按照aa 正常生长计算出AA、Aa、aa 的概率，然后重组比值，计算出aa 死亡的情况下AA=3/5、Aa=2/5。

经比较可知第一种方法错误，因为aa 死亡，导致AA 自交产生后代的数量与Aa 自交产生后代的数量不同，而在概率计算中要求所有个体的繁殖能力相同。所以要按照第二种方法先计算出AA、Aa、aa 的比例，然后构建数学表达式AA=，重组比值，计算出aa 死亡的情况下AA、Aa 的概率。以此类推，计算出F5中AA==31/33，故选A。

在变式3 中通过类推法对两种计算方法进行比较，帮助学生理解aa 致死情况下的计算方法。让学生知道一定要先计算出aa 正常情况下的数据，然后结合问题建构数学表达式重组比值，得出结果。

3.2 公式法

学生可以根据已知公式Aa=2/（2n+1），在aa 致死或逐代淘汰的情况下进行计算Aa=2/（2n+1）=2/33，因此AA=31/33。

在变式3 中公式法与例1 中公式法的作用相同，主要是帮助学生熟练记忆关于aa 致死情况下杂合子连续自交的公式，并能准确地加以应用，同时知道所求数据代表的数学含义。

3.3 规律法

图1

图2

表1

通过图1 和图2 比较可以得出表1 所示结果，即在aa 致死与aa 正常情况下，AA/Aa 的比值不变。原因是aa 自交既不能产生AA 也不能产生Aa，所以aa 是否致死不会影响AA/Aa 的比值。结合这一规律，就可以利用前面aa 正常情况下得出的公式进行aa 致死情况下的计算。以计算aa 致死情况下F5的AA、Aa 的概率为例：先利用公式计算出aa 正常情况下AA、Aa 的概率AA==31/ 64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出AA/Aa=31/2，结合前面得出的规律可知，aa 致死情况下AA/Aa 也等于31/2，再结合数学表达式AA=，重组比值可得出aa 致死情况下AA=31/33，Aa=2/33。

在变式3 中，笔者通过规律法比较aa 正常情况下和aa 致死情况下的数据，总结出规律，并能解释原因。再根据发现的规律进行计算，得出结果。该方法的优点主要是不需要学生记忆太多的公式，学生只要记住aa 正常情况下杂合子连续自交的公式，计算出数据，再根据规律就可解答这类问题了。

4.aa 不育情况下的计算

【变式4】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自交，但感锈病类型的小麦不育，则F5长出的植株中抗锈病纯合体占 （ ）

A.31/33 B.31/34 C.31/64 D.31/66

【参考答案】B

4.1 类推法

在aa 不育的情况下杂合子连续自交时，亲本自交得到F1时，F1中AA、Aa 的概率根据经验可以直接得出AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4，F1自交得到F2时学生的计算会出现两种情况。第一种计算方法：F1自交产生AA 时，因为AA 占1/4，Aa 占1/2，所 以AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8；Aa、aa 的计算同理。第二种方法：F1中aa 不育，所以F1具有繁殖能力的个体中AA 占1/3，Aa 占2/3，而F2是由具有繁殖能力的AA、Aa 繁殖的，所以在计算F2时AA 用1/3，Aa 用2/3。

经分析可知第一种方法是错误的，当aa 不育时，要先重新计算出亲代中AA、Aa 的概率，然后根据新概率再分别计算出aa 不育情况下子代AA、Aa、aa 的概率。按照正确方法可以计算出F5中AA=31/34，Aa=1/17，aa=1/34。根据题意“长出的植株中抗锈病纯合体占”的比例的数学表达式为AA=，所以AA的概率为31/34，故选B。

在变式4 中通过类推法对两种计算方法进行比较，可帮助学生正确理解aa不育情况下的计算方法。由于aa不育，每一代个体在作为亲本计算下一代时，都要将aa 排除出去，重组比值，利用重组后的数值再进行计算。

4.2 规律法

图3

图4

表2

通过对图3 和图4 比较可以得出如表2 所示结果，即aa 不育与aa 正常情况下，AA/Aa 的比值相同。原因是aa 自交既不能产生AA 也不能产生Aa，所以AA/Aa 的比值不变。同时在aa 不育的情况下每一代aa 的概率始终占一份，即每一代AA∶Aa∶aa 都是M∶N∶1。结合以上规律，就可以利用aa 正常情况下得出的公式进行aa 不育情况下的计算。以计算F5中aa 不育情况下AA、Aa 的概率为例：首先利用公式计算出aa 正常情 况 下AA==31/64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出aa 正常情况下AA/Aa=31/2，结合上面得出的规律可知，aa 不育情况下AA/Aa 也等于31/2，且每一代aa 始终占一份。所以进一步可以得出AA∶Aa∶aa=31∶2∶1，根据数学表达式重组比值可得出在aa 不育的情况下AA=31/34，Aa=2/34=1/17，aa=1/34，结合题意“长出的植株中抗锈病纯合体占”的比例构建数学表达式AA=，可得结果。

在变式4 中，通过规律法比较aa 正常和aa 不育情况下的数据，总结出规律，并解释原因。再根据发现的规律进行计算，得出结果。该方法的优点同样是不需要学生记忆太多的公式。

5.应用

【例2】小麦的抗锈对感锈为显性。让杂合抗锈病小麦连续自交并逐代淘汰感锈病类型的小麦，F5播种后长出的抗锈病植株中纯合植株所占比例为 （ ）

A.31/33 B.31/34

C.31/64 D.31/66

【参考答案】A

【解析】题目中“逐代淘汰感锈病类型aa”，实际上相当于aa 致死，并且问题是F5“抗锈病植株中纯合植株所占比例”，也没有包括aa，所以本题可以按照aa 致死的情况计算。结合前面给出的规律可以先计算出Aa 正常情况下F5中AA==31/64，Aa=（1/2）n=1/32，从而得出AA/Aa=31/2，根据前面的规律可以直接得出：在逐代淘汰感诱病（aa 致死）情况下，AA∶Aa=31∶2，重组比值可知AA=31/33，故选A。

经过对一道简单的遗传学计算题及其多个变式的对比、计算，帮助学生理解和掌握自交和自由交配计算的差别及其不同的解题方法。使学生同时理解和掌握aa 致死和aa 不育的计算方法及出错原因，提醒学生在审题时找准关键、看清问题、学会利用数学表达式理解和分析题目，突破遗传学计算难题。