基本不等式变形技巧的应用

江苏省盐城市时杨中学 刘长柏

基本不等式在求最值、值域等方面有着重要的应用，应用的前提是“一正、二定、三相等”。“一正”指正数，“二定”指和或积为定值，“三相等”指等号成立。利用基本不等式解题，关键在于通过条件转化成可利用基本不等式的形式，出现积或和为定值，以便解决问题，现就常用技巧进行归纳。

技巧一：加减常数

例1求函数的值域。

解析：当x＞1时当且仅当x-1=即x=2时等号成立，此时y的最小值为3。所以该函数的值域为[3，+∞)。

点评：通过加减常数，满足使用基本不等式的条件，满足积为定值，同时要保证代数式中的各项均为正。

练习1：已知则f(x)=4x-2+的最大值为____。

解析：因为，所以5-4x＞0。则，当且仅当，即x=1时，取等号。

技巧二：巧变常数

例2已知，试求函数y=x(1-2x)的最大值。

解法1：因为，所以1-2x＞0。

所以y的最大值为

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点评：形如f(x)=x(1-ax)或f(x)=x2(1-ax2)可有两种变形方法，一是巧乘常数，二是巧提常数，解题时要灵活运用。

练习2：已知0＜x＜1，则y=x(4-3x)取得最大值时x的值为____。

解析：当且仅当3x=4-3x，即时，取等号。

故y取最大值时x的值为

技巧三：分离常数

例3已知，则f(x)=有( )。

点评：通过分离常数，分离出一个常数是求分式函数值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

练习3：函数的最小值为_____。

技巧四：活用常数

例4若x，y∈R+，且满足求x+y的最小值。

解析：由x，y∈R+，且得：

所以x+y的最小值是36。

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

练习4：已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为_____。

解析：因为a+b=1，所以，当且仅当时取等号。所以的最小值为4。

技巧五：统一形式

点评：根据分母的特点，改为结构统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一(如函数(0＜x＜1)可变形为

技巧六：巧妙消元

例6已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为____。

故x+3y的最小值为6。

点评：条件等式中含有两个变量，利用方程思想，化二元为一元，再转化为满足基本不等式的形式，从而求最值。

练习6：已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为_____。

解析：因为x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，所以

所以x+2y的最小值为4。