数形结合——帮助学生理解算理的金钥匙——“队列表演（一）”教学实践与思考

福建省泉州市实验小学洛江校区 任红艺

“队列表演（一）”是北师大版《义务教育教科书·数学》三年级下册“乘法”单元中的关于“两位数乘两位数的横式笔算”的内容。这节计算课看似内容简单，实则具有丰富的教学价值。《数学课程标准（2011年版）》强调计算教学不仅要让学生会算，更重要的是让学生理解为什么这样算。纵观本课的教学内容在小学数学乘法教学中的地位，我们可发现它是后续学生理解两位数乘两位数、三位数乘两位数的竖式笔算以及运算律算理的重要载体，学生若是能通过本课的学习，真正理解算理、内化算法，以后的教学定能事半功倍。带着对教材的认识和教学的设想，我进行了试教，却产生了诸多的教学困惑。

【教学困惑】

1.尝试计算14×12 的结果时部分学生出现“个位数乘个位数、整十数乘整十数” 的 错 误 想 法：4 ×2=8，10 ×10=100，8+100=108，究其原因，是受笔算加减法“相同数位上的数相加减”的定势影响。这不禁引起了我的思考，怎样帮助学生消除负迁移的影响，为后续两位数乘两位数的竖式笔算教学打下坚实的基础？

2.很多学生能机械模仿算法，却对其中的算理理不清、道不明，教学中如何发挥“点子图”桥梁和辅助作用，帮助学生寻找算法，理清算理便成了我重点关注的问题。

3.理解用点子图的乘法运算与列表的乘法运算之间的联系与区别是学生的学习难点，怎样化解这一难点是我竭力探索的教学问题。

基于对这几个教学问题的思考，最终确定了以下教学方案，并取得了理想的教学效果。【教学实践】

一、创设情境，提出问题

1.获取信息

课件出示情境图

师：学校举行队列表演，你瞧，同学们排得多整齐呀！从图中你知道了什么数学信息？

生：每行14 人，共有12 行。

2.将情境图抽象为点子图

师：如果要把这幅队列图用我们的老朋友点子图来表示，可以吗？ 该怎么表示呢？

生：一个人比作一个点子，每行有14个点子，有12 行。

师：就像这位同学说的这样，一人对应一点，队列图就变成了点子图了。

课件演示点子图的生成过程：

3.提出问题。

师：根据这些信息，你想解决什么数学问题？

生：一共有多少人参加队列表演？

4.尝试列式

师：谁会列算式？还可以怎么列？

生1：12×14

生2：14×12

5.揭示课题

师：14×12 这个算式与我们之前学的有什么不同呢？

生：之前学的是两位数乘一位数或整十数，而这是个两位数乘两位数的算式。

板书：两位数乘两位数

【思考】 创设队列表演情境，由队列图抽象为点子图，让学生体会人与点之间一一对应的关系，从中自主寻找数学信息、提出问题并列式，观察算式与之前的不同，引出今天的探索内容。

二、自主探究，解决问题

1.大胆尝试

师：我们还没学，你能算出它的得数吗？

生1：168。

师：有不同想法的吗？

生2：我把14 看作10 和4，12 看作10 和2 中，先算4×2=8，再算10×10=100 ，最后算8+100=108。

【思考】 探索之前先让学生大胆尝试计算，可了解学生的认知水平，暴露学生的错误想法，以便探索之后引导学生进行有针对性的“诊断”，还可迅速地激发学生的探索欲望，可谓“一举多得”！2.探索算法

师：14×12 究竟等于多少呢？想不想自己研究研究？今天就请点子图来帮助我们学习吧。

（1）出示活动要求

想一想、圈一圈：能用以前学过的知识求出14×12 的结果吗？ 在点子图上圈出自己的想法。

算一算、说一说：写出计算过程，再结合点子图和同桌互相交流想法。

指名学生读活动要求。

（2）独立解决

完成学习单一的问题：先在点子图上圈一圈，再写出你的计算过程。

提醒：做完后，和身边的同学互相说一说各自的想法。

【思考】 明确学习活动要求，让学生知道“想什么”、“做什么”、“说什么”，提高探究活动的实效。为学生提供充分从事数学活动的机会，鼓励学生借助点子图圈一圈，再算一算，用已学的知识独立解决。

3.展示交流。

师：孩子们，都完成了吗？下面是我们的分享时间，只要你认真倾听，就能从别人的想法中获得新的启发，我们先请××同学上台说一说自己是怎么圈，怎么算。

（交流的过程中，提醒学生指着点子图说说每一个算式求出的是哪一部分。）

（1）展示学生作品1

生1：我把14 列分成了7 列和7 列，先用12×7=84 算出7 列有多少，再用84×2=168 求出总数。

师：看懂了吗？有什么疑问吗？

生2：为什么要乘2 呢？

生1：因为我把总数分成了相同的两部分。

师：这种计算方法用综合算式怎么表示呢？

板书：12×7×2

（2）展示学生作品2

生：我是圈成了相同的两部分，14×6算出其中的一部分，84+84 求出总数。

师：84+84 还可以写成什么？

生：还可以写成84×2。

师：老师也把这种方法记录下来，怎么写呢？

板书：14×6×2

（3）比较方法一和方法二。

（将两张学习单同时展示）

师：谢谢两位同学的分享！仔细观察这两位同学的想法，有什么相同之处吗？

生：都是把总数平均分成了两部分。

师：像这样把总数平均分成了相同的两部分，我们可以怎样计算？

生：先求出每一份是多少，再乘2 份。

师：除此之外，我们班同学还有不同的想法，一起来看看他们是怎么想的！

（4）展示学生作品3

生：我的想法和他们不一样，我是把12 行拆成了10 行和2 行，14×10=140 求出10 行有多少，14×2=28 求2 行有多少，再相加。

师：还有谁的想法也是这样的呢？

（5）展示学生作品4

师：××同学是用以前学过的表格的方法来记录自己的计算过程，你能读懂这个表格的意思吗？

生：我知道，他是把14 列分成10 列和4 列，表格中的120 和48 求出的是点子图中的这两部分，再加起来。

师：看来你很善于读懂别人的想法。

（6）展示学生作品5

师：刚才老师发现有个同学的想法是这样的，一起来看看！知道这位同学是怎么圈的呢？

生：他是把14 列分成了10 列和4列，12 行分成了10 行和2 行。

师在学习单上标出：

师：是的，他把两个数同时拆分了。

师：这样就把总数分成了几部分，谁能结合点子图说一说每一部分是怎么算的？

指名学生上台说每一步怎么算，算出的是哪一部分。

师把学生的想法记录在学习单上：

师：说得有条有理的，掌声送给他！

【思考】 抽象的算理难以理解，更难以表达，为此，在展示交流的过程中，要让学生结合点子图说说自己是怎么圈，怎么算，借助点子图来阐明算理，使得深奥的算理能让学生看得见，说得清。并体会算法的多样性，归纳算法，感悟算法的不同之处，为日后建构“乘法结合律和乘法分配律”的模型埋下伏笔。

4.沟通联系

师：孩子们，你们果然善于观察、善于思考，想出了这么多种的计算方法，一起来回忆我们的研究过程，想一想我们是怎么找到14×12 的这些计算方法的呢？

生1：我们在点子图上圈一圈、分一分。

师：谁有补充？

生2：把数拆分了，先算出每一部分，再相加。

师：我们为什么要这样分、这样算呢？

生3：这样比较好算。

生4：可以用以前学过的两位数乘一位数的方法来计算了。

师：是呀，就像同学们说的，我们都是通过先分再合，把两位数乘两位数变成我们以前学过的两位数乘一位数或整十数。用旧知识来解决新问题，这可是数学学习中的一种重要思想，叫“转化”！运用转化，以后还能帮助我们解决更多的问题呢！

【思考】 引导学生回忆研究过程，思考、交流是怎么找到14×12 的计算方法，从而发现算法虽然不同，但都是先分再合，将其转化为已学过的知识，感悟“转化”思想的重要性。

5.读懂表格法

师：淘气看到同学们想出了这么多种方法，也想试试，他是用表格记录这种想法，谁能说一说每格中的数是怎么得来的？求出的是点子图中的哪一部分？

课件出示：

生结合点子图解释表格计算的道理。

师：是同学说的这样吗？我们一起来看看！

课件动态演示：将表格与点子图合二为一。

师：表格中的四个数和点子图中的四部分怎么啦？（生：重合了！）一一对应了，看来用表格也是可以记录出我们的计算过程，而且比起画点子图来更——（生：简单）！

【思考】 通过课件动态演示表格嵌入、抽出点子图的过程，帮助学生沟通点子图、算式和表格之间的联系，让学生体会用列表法也是可以记录计算过程，而且避免了画点子图的麻烦。

6.诊断错因

师：现在回过头再来看××同学108 的计算过程，对照表格，想一想，错在哪了吗？

师：要不请××同学自己来说说。

生1：我只算了8 和100 两部分，少算了40 和20 两个部分。

结合学生的回答，课件动态演示。

师：能自己发现错误是件不容易的事，但是你做到了！

生2：他是用个位数乘个位数，整十数乘整十数的方法来计算的，这样就漏算了两部分。

师：赞同吗？

师将板书中108 的错误计算方法擦掉。

师：今天我们在点子图的帮助下，经过自主探究，一起找到了14×12 正确的计算方法，得出——

板书： 168（人）

答：有168 人参加队列表演。

【思考】借助直观模型，动态演示从部分到整体的变化过程，帮助学生诊断错误的原因，进一步理解和掌握算理算法。

7.优化算法

师：在这些方法中，你喜欢哪一种？为什么？

生1：我喜欢将12 拆成10 和2，分别与14 相乘，再把乘积相加。

生2：把12 拆成2 个6，用连乘的方法计算，也很好算。

生3：我喜欢用表格的方法。

三、巩固应用，加深理解

师：看来，同学们都有各自喜欢的方法，接下来就请同学们用自己探究的方法来完成这一道题！

课件出示：

1.认真观察点子图，结合算式先分一分，再选一选：14×8=7×4×？。 （ ）

学生独立尝试。

学生交流想法：

生1：14 分成了7 和7，8 分成4 和4，7×4 求出每一部分是多少，有这样的4部分，再乘4 求出总数。

生2：不用分点子也能想出答案，14里有2 个7，8 里有2 个4，2×2=4 可以看出是把总数平均分成了4 部分。

师：能观察数的特点，分析是怎么拆分的，是个会思考的孩子！你们能像这位同学这样不借助点子图，计算下面两题吗？

2.用喜欢的方法计算下面这两题。

15×11 23×12

学生独立完成。

集体交流想法。

【思考】 在练习中，呈现富有思考价值的问题，打破了“把总数分成相同的两部分”的思维定势，进一步拓宽了学生的思维空间。选择喜欢的方法计算，脱离直观模型，促使学生的认识实现由“形”到“数”的提升。

四、全课总结，拓展延伸

师：今天我们用以前学过的两位数乘一位数的知识，探索了两位数乘两位数的计算方法，在接下来的学习中，你还想研究什么呢？

生：我想研究两位数乘两位数的竖式计算。

生：我想学习三位数乘两位数。

师：学习最大的快乐莫过于自己去研究、自己去发现，带着这些问题，走出课堂，继续你们的探索之旅吧！

【思考】 一节课的结束，不是学习的终点，而应是新的起点，让学生带着问题走出课堂，做到课虽终而新的学习之旅已开启。

五、板书设计

队列表演（一）

【教学对策】

三年级的孩子正处于以具体思维为主向以抽象思维为主过渡的阶段，理解抽象的算理对于他们来说还是有一定的困难，如何促使学生深刻理解算理，提升思维，数形结合思想是把“金钥匙”，本节课的教学将数形结合思想的运用发挥得淋漓尽致，学生对算理的理解经由形象的人——符号的点——整体的面——抽象的式层层提升。

1.借助图形，阐明算理

课始，14×12 的计算结果有相当一部分学生是能准确说出答案的，但为什么会等于168，对于多数学生来说要进行合理地推算，阐明计算道理却有一定的难度的。教学中，老师直面学生的学习困惑，将队列图抽象为点子图，让学生借助老朋友点子图尝试探索拆分计算，在交流展示多样算法时，老师着重引导学生结合点子图“说”算法，清晰表达分与合的思考过程，将直观模型与计算过程一一对应，从而使抽象的算理变得看得见、说得清。

2.数形结合，沟通算理

本节课主要是利用点子图和表格帮助学生探索两位数乘两位数的横式笔算方法，在学习两位数乘一位数的口算方法时学生已经积累了一定的学习经验，教学中给予学生自主探索的时间与空间，让学生结合点子图解释表格计算的道理，为了验证学生的想法，充分发挥数形结合的作用，巧妙地借助课件，将表格嵌入点子图感悟数、图、式三者的联系，使学生能直观感受到表格的四个数与点子图的四部分一一对应的关系，再从点子图中抽出表格，引导学生将点子图与表格进行比较，体会列表计算是用点子图计算的抽象形式，列表计算比画点子图来更简洁。通过数与形的相互转化, 将点子图的直观运算与列表的抽象运算结合起来，沟通了方法之间的联系。

3.依托直观，辨析算理

新课标倡导：学生要能在他人的指导下，发现数学活动中的错误并及时改正。通过前测，我们发现在计算两位数乘两位数有学生出现“个位数乘个位数，整十数乘整十数”的错误方法，对于为什么不能这样计算呢？其他学生也是无从说起。为此，课上老师巧妙结合表格的计算方法，让学生对照表格寻找错因，多数学生在对比中能清晰地发现只算了4×2=8 和10×10=100 两部分，少算了10×4=40 和10×2=20 两部分，这时，借助课件动态演示，体会从“部分”到“整体”的生成过程，依托直观，剖析计算方法的错因，使学生对两位数乘两位数的算理有了更为深刻的理解，为下节课竖式计算的学习消除认识障碍。

《数学课程标准（2011年版）》指出：“培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”可见，算理探究与算法掌握同等重要，学生唯有掌握算理，才能在实际运算中进行灵活的运用，而“数形结合”在算理与算法之间架起了一座桥梁，借助直观的“形”理解抽象的“数”，将算理化隐为显，变得可表达，化难为易，变得能理解，当学生真正地理解算理时，他们对算法的掌握就不再是简单的模仿、机械的套用，而是理解后的运用。