改进MOPSO 的联合火力打击目标分配*

陈 曼，周凤星，张成尧

（1.武汉科技大学信息科学与工程学院，武汉 430081；2.武汉义信恒通科技有限公司，武汉 430073）

0 引言

武器-目标分配问题，是指如何采用高效的算法，在打击多个来袭目标时，按照设置的最优分配原则合理地分配现有的武器，根据其分配原则的不同通常可分为单目标优化和多目标优化［1-3］。随着海洋领域已成为各国发展战略的重心，国内外许多学者都非常关注舰载武器-目标分配问题，对其求解算法进行了大量深入的研究。用于解决单目标优化的常用算法有遗传算法、蚁群算法、粒子群算法，以及采用混合优化算法等，单目标优化模型通常是以毁伤效能最大作为目标函数，虽然可以达到理想的打击效果，但当武器数量较多时容易造成武器浪费，因此，构建了多目标优化模型来求解武器-目标分配问题［4-6］。文献［7］构造了结合最大作战效能和防御效能的双目标优化模型，并将NSGA-II用于计算，但所使用的遗传操作算子耗时太长；文献［8］建立效能最大和用弹量最少的多目标优化模型，采用基于Pareto 非劣集分层思想对遗传算法改进进行求解；文献［9］考虑最大作战效能和武器单元数量的影响，在求解时简化了限制条件、更改速度及位置的更新方法。本文建立了结合失败概率最小和使用武器量最少的多目标优化模型，将传统的武器-目标单目标优化转化为多目标优化问题，对算法研究有着更长远的现实意义。提出了采用改进的多目标粒子群算法进行求解，具有良好的精确性和快速性，实例仿真结果验证了所提算法的有效性。

1 多目标粒子群优化算法

包括m 个目标函数时，一个多目标优化问题通常可以描述成：

与单目标优化问题相比，它需要同时优化好几个不可比较、存在冲突的目标，意味着没有解能使目标函数一起取得最优，这就需要通过权衡这些待优化的目标，来使每个目标函数都达到较优，最终得到的是一个最优解集合，也称Pareto 最优解集或非支配解集［10］。Pareto 最优解指一个处于决策空间中的解X'，对于任意解X，使得

则称X'支配X。当且仅当不存在某个解支配X 时，称X 为Pareto 最优解。Pareto 最优解形成的集合叫做Pareto 最优解集。

粒子群优化算法是一种通过迭代过程进行优化的智能进化算法，具有原理简单、较易实现、运行效率高等特征，在优化问题中取得了良好的应用效果，基于此将其应用到多目标优化问题中。多目标粒子群优化算法首先初始化一群粒子（随机解），根据其适应函数值筛选出非支配解集，构造外部档案集，在每次迭代过程中，粒子在解空间里不断地跟随个体最优粒子和全局最优粒子根据式（3）来更新自己［11-14］。

2 舰载联合火力打击的数学模型

舰载武器联合打击目标的多目标函数模型表示如下：

综合以上表述，数学模型表示如下：

3 改进MOPSO 的主要算子

3.1 外部档案集的选取

外部档案集是指保存算法找到的所有非支配解的集合，设定外部档案集后，算法每次迭代中选定非支配解时就只用与外部集中的解根据支配关系作比较，这样一来算法运行速度加快，且每一次的全局最优解都是在外部集中选择出来的，所以说如何选取、维护外部档案集在很大程度上影响了算法的性能［16-18］。

按照NSGA-II 中的排序方法对种群进行非支配排序，构造非支配解集，第一次迭代时，把找到的非支配解集直接放入外部档案集，在后面的迭代中，将此次产生的非支配解同原有的外部档案集进行Pareto 支配关系比较，去除被支配的解，新加进非支配解，得到新的外部档案集。

为外部档案集设定一个最多存量参数，伴随迭代的进行，当外部集的粒子数量等于最多存量后，为使继续存留较优解，通过NSGA-II 中的拥挤距离排序原理实行降序排列，去除超额的拥挤距离较小的解。拥挤距离是一种利用相邻个体来评判个体与相邻个体间远近即分布是否均匀（多样性）的指标，当拥挤距离越大，解集内就越松散，解的多样性就越好。拥挤距离的计算公式如下［15］：

式中，Xk-1和Xk+1是指同Xk分别相邻的前后两个个体，n 是指目标函数个数。

为了使解集的多样性得到增强，以免算法收敛到局部最优，引用遗传算法中的变异方法来维护外部集。将外部档案集依照拥挤距离大小按顺序分成两部分，拥挤距离较大的子集A 和拥挤距离较小的子集B，当随机数小于变异概率时，从A 和B 中分别随机取得一个个体作为父代，生成两个新子代，再通过比较新解，换掉外部集内的支配解，由于当变异概率大时，粒子的全局搜寻能力较好，变异概率小时，利于算法收敛，因此，使用自适应变异法，在算法运行初始阶段使用较大的变异概率，末期使用较小的变异概率，变异概率的表达式为：

式中，t 和Iter 分别指当前迭代次数和最大迭代次数，pmin和pmax分别指的是变异概率最小值和最大值。

3.2 个体和全局最优解的判定

在每次迭代过程中，粒子都是依据当前得到的两个极值，即个体最优解与全局最优解来判断接下来的去向，所以这两个最优解怎样获取成为了算法性能的重要影响因素。算法开始运行时，个体最优解就是粒子的初始位置，此后，随着迭代过程的继续，个体最优解由原个体最优与更新后的解依据Pareto 支配关系比较得到的非支配解产生，如果两者之间没有支配关系，再比较拥挤距离，拥挤距离更大的就是个体最优解。若粒子的个体最优位置连续5 代没有得到提升，可能是陷入了局部最优，此时将此粒子重新赋予新的随机值［19］。

全局最优解是于非支配解集内取值，鉴于外部档案集里的解互相之间没有支配关系，所以依据拥挤距离来进行比较和判定，随机选择依照拥挤距离大小降序排在前面5%的解作为全局最优解，能使粒子接下来的走向更宽广，保证最优解具有更好的分布性［20-21］。

3.3 粒子更新时的改进

在基本粒子群算法中，对粒子速度和位置进行更新的方法见式（3），本文对此进行了部分改善，使算法收敛精度达到更高。

3.3.1 线性递减的最大速度值

式中，curMax_V 是指第t 次迭代进程中的速度最大值，Max_V 是指速度最大值变动的上限。

3.3.2 异步改变的学习因子

由粒子的速度、位置更新式（3）可知，学习因子能够使粒子在寻优进程中掌握自学和向别的较好的粒子学习的能力，逐步接近最优解。异步改变的意思是两者有着不一致的变化，通过使学习因子c1和c2异步改变，改变方式如式（8），使得在优化开始时粒子的自学能力好、社会学习能力相对差，在优化末期正好相反，这种做法能帮助算法收敛到全局最优解，防止进入局部最优。

式中，c1，ini、c2，ini分别指c1、c2的初始值，c1，fin和c2，fin分别指c1、c2的终值。

3.3.3 调整惯性权重

在粒子群优化算法中，惯性权重w 是一个对算法性能有着关键作用的参数，它决定了粒子下一步的速度与当前速度的继承关系，取值得当能使粒子具备均衡的搜索能力。偏大的w 可以使粒子的全局搜寻能力更强，使算法保持多样性，偏小的w 使粒子的局部寻优能力更好，利于算法收敛。因此，利用正切函数的单调性和非线性等特性，用于文中对惯性权重作调整，构造基于正切函数的权重法，方法如下：

在迭代过程中，w 呈现非线性递减，式中的系数0.875 能使w 的大小处在wstart和wend之中，且当k 的大小在区间［0.4，0.6］内时，目标函数的平均最优值和方差比较稳定［23-24］。

4 采用改进MOPSO 求解联合火力打击目标分配

4.1 粒子的编码

采取十进制整数编码方式反映火力打击的分配方案，种群所有粒子数用N 表示，所有方案的集合为X，其中一个解即一个粒子表示为Xn。根据文中舰载联合火力打击目标分配的优化模型，将Xn设置成一个m×n 的矩阵。如下所示：

4.2 不等式约束条件的计算处理

舰载联合火力打击目标分配中的限制因素较多，为了简化计算的复杂性，将约束不等式当成罚函数加进目标函数。在粒子不能满足约束时，将其视为不可行解，加以相应的“惩罚”。引入较大的正整数K1和K2当成惩罚因子，将约束条件变为模型加进目标函数：

4.3 改进算法的流程

用于求解舰载联合火力打击目标分配问题的改进MOPSO 的流程如图1 所示。

图1 改进MOPSO 的流程

5 仿真实验和结果分析

为了检测改进MOPSO 解决舰载联合火力打击目标分配问题的性能，将算法与NSGA-II 作比较，在配置为Intel Core i3-3110M 处理器，4 GB 运行内存的计算机上进行实验，仿真软件为Matlab2008。

假定一次舰载联合火力打击行动，5 个性能相同的敌方目标来袭，舰艇上共有3 个武器平台用来拦截这些目标，3 个平台配置的武器数目分别为5、6、7，打击过程中最多给每个目标分配的武器数分别为3、4、3、3、2。

同一个武器平台上配置的是同一类型的武器，对抗目标的命中概率是一致的，如下页表1 所示。

表1 命中概率

表2 改进MOPSO 的运行时间/s

表3 NSGA-II 的运行时间/s

从运行时间对比可知，同等情况下，改进MOPSO 在一定程度上比NSGA-II 的运行时间更短，具有更快的速度，更适合求解武器-目标分配的多目标优化问题。

将算法迭代总次数设定为100，粒子总个数为50，在这种情况下两种算法实验得到的Pareto 解集分别如图2 和图3 所示。

图2 改进MOPSO 的Pareto 解集

比较两个结果图能得出，改进MOPSO 最后求解得到的Pareto 结果的分布更均匀，精度更高，综合性能更优秀。而NSGA-II 获得的解分布性稍差，结果不够稳定。在武器使用量为10 和11 时没能得到最优解，在同等武器消耗时，采用改进MOPSO求出的打击失败概率更小，此次行动胜利的可能性更高。

图3 NSGA-II 的Pareto 解集

通过进行仿真实验，比较两种算法得到的实验结果，可知NSGA-II 和本文中的改进MOPSO 在解决舰载联合火力打击目标分配问题时，都能获得适宜的分配方案，但使用改进MOPSO 的运行速度更快，求出的方案可以达到更大的击中概率，更能适应战役需求。

6 结论

本文在打击失败概率最小的基础上兼顾消耗武器数量最少，构建舰载联合火力打击多目标分配模型，采用改进的多目标粒子群算法进行求解。通过与NSGA-II 实例仿真对比，改进MOPSO 得到的Pareto 解精度更高、多样性更好，且平均速度更快，更能适用于求解舰载联合火力打击目标分配问题。