从教材出发以能力立意

钱德春

图形与几何是初中数学的重要内容，因其直观性、逻辑性、演绎性和系统性等特点，一直为广大初中数学教师所重视，也受到中考数学命题者的青睐。几何压轴题既要基于学生认知，体现课标要求，尊重教学现实，又要有所创新，这对命题者来说具有一定的挑战性。事实上，数学教材提供了丰富的命题素材。充分挖掘素材的命题价值，考查学生的能力，是一种正确的命题导向。本文基于对2019年泰州卷第25题的特点分析，谈谈几何与图形试题命制与教学思考。

一、真题呈现

（2019年泰州卷第25题，以下简称“泰州真题”）如图1，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）。

（1）求证：△AEP≌△CEP;

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由;

（3）求△AEF的周长。

二、试题特点分析

1.试题来源：从教材中来。

笔者认为：“从教材出发”是图形与几何类试题命制的基本方法。以“泰州真题”为例，学生看到这样的图形，就有似曾相识的感觉，这缘于“试题源自教材基本图形”。

来源一：苏科版教材八年级上册第3章“勾股定理”第81页的探索。

把一个直立的火柴盒AKDF放倒（如图3-1），你能用不同的方法计算梯形DFBP的面积，验证勾股定理吗？

图中隐含了等腰直角△ADP，将该三角形沿PD翻折至△CDP位置，过点C作AB的垂线（如图3-2），便得到试题图形。

来源二：苏科版教材八年级下册第9章“中心对称图形——平行四边形”第82页例题。

如图4-1，在正方形BTKF中，点P、C、D、A分别在BT、TK、KF、FB上，且BP=TC=KD=FA，求证：四边形PCDA是正方形。

隐去图4-1中的线段FA、FD、DK、KC、CT，并过点C作AB的垂线，便得到试题图形（图4-2）。

这种命题方式关注了学生的应试心理，引导教师教学要从教材出发，充分挖掘并发挥教材的教学价值。

2.试题探究：从“两头”出发。

“泰州真题”的难点在第（3）问，但探究与分析是常用的策略——“从两头向中间”，即“从条件出发”向结论“挺进”，“从结论出发”向条件“靠拢”。这需要一定的联想能力，也需要较强的模型意识。

（1）从条件出发。

分析题干、图1及第（1）（2）小问中的结论发现下列条件：①线段AB=8;②四边形APCD是正方形;③△ABP是直角三角形;④△AEP≌△CEP;⑤CF与AB垂直。这些条件可以得出角的关系、线段相等，为解决问题提供了保障。

（2）从结论出发。

△AEF的周长=AF+EF+AE。所求的未知量一定与线段AB=8有关系，这就需要线段转换。如何转换？结合条件“AE=CE”，有△AEF的周长=AF+CF，故考虑AF+CF与AB的关系，继续进行线段转换。利用图形中“AP=CP”的条件，可通过构造三角形全等转换线段。

方法一：如图5，过点P作PQ⊥CF，垂足为Q。易证四边形PQFB是正方形，△CPQ≌△APB，故有FQ=FB，CQ=AB，所以AF+CF=AF+CQ+QF= AF+FB+AB=2AB=16，即△AEF的周長为16。

方法二：如图6，过点C作CS⊥BG，垂足为S。易证△CSP≌△PBA，同样解决问题。

观察两种方法发现：方法一的本质是将△APB绕点P顺时针旋转90°至△CPQ的位置;方法二是常见的“K”字型全等。它们有两个共同特点：都是图形变换，并且都充分利用了图形的条件“AP=CP、AP⊥CP”。

3.试题变式：以能力立意。

试题如何命制，如何呈现，不仅取决于试题本身，还受试题在试卷上的位置、知识分布、难度系数的影响。好的试题，不仅在于试题结构、呈现形式、考查指向、考查目标的恰当，还在于试题具有一定的发展与延伸空间，引导学生通过对问题的发展性思考与探究，发展学生联想与建模的能力，推理与表达的能力，迁移与创新的能力。

（1）试题结构的层次性。

试题的结构层层递进。“泰州真题”第（1）问“求证：△AEP≌△CEP”由图形条件直接可证明，又为第（2）问“判断CF与AB的位置关系”作了充分的铺垫，而第（3）问“求△AEF的周长”又建立在“CF⊥AB”的基础之上。但试题的难度逐步提升。3个问题的难度系数分别为0.7、0.6、0.3，发挥了几何压轴题应有的作用，体现了基础性与发展性相结合的原则。

（2）呈现形式的多样性。

“泰州真题”无论是条件还是结论，呈现方式可谓多姿多彩。

变式一：已知，如图7，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，将点P绕点A逆时针旋转90°到点D，连接PD，作点A关于DP的对称点C，作CF⊥AB，垂足为F。

①求证：AP平分∠EAB;

②求△AEF的周长。

这种变式是将题干用图形变换的方式描述，图形简洁，要求学生抓住图形变换的性质来思考。

（3）试题结论的拓展性。

变式二：如图8，已知：线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为直角边在△ABP外作等腰直角三角形APD，作点A关于DP的对称点C，作CF⊥AB，垂足为F。

①求证：四边形APCD为正方形;

②求线段CF的长度的范围。

变式三：如图9-1，过点D分别作AB、CF的垂线构成正方形DSFT，显然问题变为非常经典的“45°半角模型”：如图9-2，正方形FSDT中，AE分别为边SF、TF上的两点，且∠ADE=45°，求证AE=SA+ET或△AEF的周长等于正方形边长的两倍。

由一个正方形和一个等腰直角三角形还可以拓展出以下问题：

变式四：（2019年山东泰安卷第25题）如图10，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF=90°，FG⊥AD，垂足为点G。

①试判断AG与FG是否相等？并给出证明。

②若点H为CF中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明;若不垂直，说明理由。

变式五：（2019年四川南充卷第24题）如图11，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG。

①求证：CD⊥CG;

②若tan∠MEN=[13]，求[MNEM]的值;

③已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长度能否为[12]？请说明理由。

从图形结构上来看，此类问题可归结为两类：一类是“正方形+正方形”问题，另一类是“正方形+等腰直角三角形”问题，都包含45°的角;从解题方法上看，都利用三角形旋转型全等的方法;从试题发展上看，此类问题可向三角形相似、解直角三角形、代数方程、函数等方向发展，试题的发展性给教师教学与学生学习提供了广阔的空间。

（4）数学思想的渗透性。

感悟蕴含在数学问题之中的数学思想方法既是一种数学能力，更是一种数学素养。试卷渗透了初中数学的主要思想方法，以此体现对学生数学素养的考查。如“泰州真题”第（1）问中的证明△AEP、△CEP关于PD轴对称，体现了对称变换的思想;问题中全等的三角形△APB与△CPQ，其中的△CPQ可以看成由△APB绕着点P顺时针旋转90°得到，体现了旋转变换的思想;问题中点P在运动，但△AEF的周长始终等于2AB，体现了变中不变的思想。

三、教学启示

1.课标、教材是数学教学的源头。

在数学教学中有两类现象：一是教学内容超标，恣意拔高教学要求;二是抛开教材“肆意发挥”。笔者在一所学校发现：有二十几位数学教师的九年级备课组，居然找不到一本数学教材，这些现象必须引起高度重视。课程标准是教学的根本大法，也是教学评价的基本依据;教材将课程标准具体化，是教师的教材，也是学生的学材。教材中的公式、定理本质上就是数学模型，其结构与方法具有典型性、独创性，其结论具有广泛的应用性。因此，教学中要充分发挥教材的作用。

一是从教材出发。要体会教材编写意图和指向意义，充分挖掘与拓展教材，对教学资源进行二度开发，实现其应有的教学价值。如将图3-1、4-1适当补形或添加条件，就变成了思维含量较高的几何问题。

二是回到教材中。对于外来试题，从教材中找到源头，用教材中的知识、方法与原理给予解释。如图10、图11看似比较复杂，但将图形与问题适当分解或转换，便可还原为教材中的基本图形、基本问题。

2.学生发展是数学教学的宗旨。

数学教学旨在促进学生数学知识内化、数学能力提高，数学素养提升，但最根本的目标是促进学生终身发展，而学生终身发展所必备的数学能力包括探究与思维能力、联系与整合能力、推理与表达能力以及迁移与创新能力等。

（1）发展学生的探究与思维能力。

数学学习需要经历操作、观察、发现、猜想的过程，这个过程考验的是学生的探究能力。发现与猜想的结论正确吗？这就需要从定义、公理、定理出发，通过推理来证实或者证伪。这个过程更需要思维的参与。思维的方式较多，如形象思维与抽象思维、发散性思维与收敛性思维、批判性思维与反思性思维。

以“泰州真题”第（3）问为例，结论中的“△AEF周长”，必然与条件中的“线段AB=8”关联。那么二者间有何联系呢？这就需要操作、观察与猜想。如通过测量，直观地发现△AEF周长为AB长的两倍。这个猜想正确吗？此时需要深度思维。由△AEP≌△CEP可将△AEF周长转化为AF+CF，而要出现2AB，由条件AP=CP继续通过构造三角形全等转化。

探究与思维能力的培养要贯穿数学教学的全过程。如定理、公式的教学，不能只是关注结论的应用，而要引导学生经历“再创造”过程，通过操作、观察，发现、猜想结论，通过推理证明结论，或推翻结论。

（2）增强学生的联系与整合能力。

数学问题应该如何思考与分析？笔者认为，可以从两个方面进行。一是从条件出发：你想到了什么，还能想到什么，下一步又想到了什么。二是从结论出发：遇到这样的结论有哪些策略，常用哪些方法。让学生应尽可能多地说出想法、思路，不管这些思路对当前问题是否有效，教学中都应引导学生充分表达，只有这样才能拓展思路。思路的拓展需要联想，将条件、结论换一种表征方式就是一种联想方法。如解决“求一点到直线的距离”问题中的关键词是“距离”二字，就要抓住这个关键词充分联想。由“距离”联想到“垂直”，进而联想到“三角形的高”，再联想到三角形的面积法;联想“直角三角形”，考虑可否用“勾股定理”“直角三角形相似”“锐角三角函数”等。这里所有的思路都源自“距离”，将“距离”用不同的表征方式，便得到不同的解题思路，凸显了联想的神奇功效。

联想的东西有时是分散的、零碎的。在“泰州真题”中，由条件及联想可得“AB=8”“正方形APCD”“Rt△ABP”“△AEP≌△CEP”“CF⊥AB”等结论，这些结论哪些对解决问题有效，哪些无效，条件又如何用，都需要通过大脑的梳理、整合，使之结构化、序列化，为最终解决问题服务。

（3）强化学生的推理与表达能力。

“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”课程标准在谈到数学思考时明确要求“能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”。人类文明成果之所以能够交流与流传，得益于各种形式的表达与记载。因此，有序表达也是一种重要能力。面对数学问题，从寻找到解题思路到完整、准确写出解题过程，这之间还有一段距离。从“泰州真题”的阅卷情况来看，学生推理与表达存在的问题较多。有的缺乏语言组织，如“泰州真题”解答需要用到“CQ=AB、QF=FB”，这些由“△CPQ≌△APB”和“正方形FBPQ”得到，有的学生只证明三角形全等，而不证明正方形就直接得到上述结论;有的逻辑混乱，如△AEP≌△CEP的证明用“SAS”，但不少学生将条件顺序写成“SSA”;有的叙述繁琐，不能言简意赅，如解题中涉及角的关系，标上数字就能一目了然，许多学生仍然用三个字母表示，让人眼花缭乱;有的证明只是将定理堆砌在一起……如何解决这些问题，需要教师提出明确要求、适当板书示范，作业反馈矫正。

（4）增强学生迁移与创新能力。

创新能力是国家富强、民族兴旺的不竭动力。“由此及彼”“由少及多”“由表及里”“由特殊及一般”的本质就是迁移，而创新的方式较多，如添加一个条件、弱化条件，把条件与结论交换，与其他问题结合;由量的变化到质的飞跃;对现象提出质疑，猜想结论并验证结论，建构模型解决问题等都是创新。而数学中的抽象、建模和推理三大基本思想的本质就是创新。

如将“泰州真题”适当变化，则可以提出并探索新的问题。

一是将图4-1的正方形改为正六边形：如图12，正六边形ABCDEF的边长为12，点A′、B′、C′、D′、E′、F′分别为边AB、BC、CD、DE、EF、FA上的动点，且A′A=B′B=C′C=D′D=E′E=F′F。

①试证明线段A′D′一定经过某一定点;

②设A′B′C′D′E′F′的面积为S，求S的取值范围。

二是将“泰州真题”条件一般化：如图13，线段AB=a，∠ABG=α，P为射线BG上一点，以AP為边作菱形APCD，使∠APC=α，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）。

①若α=60°，请根据条件提出新的结论。（求证：△AEP≌△CEP;判断CE与BG的位置关系，并说明理由;求点C运动路径的长;④图形中有长度不变的吗？请说明理由。）

②若α为任意锐角呢？

教学中，教师要充分利用教材素材，拓展思维的广度，挖掘思维的深度，发展学生的迁移与创新能力。

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）