指数Levy跳扩散模型下一类新型期权的定价研究

赵家家

摘 要 在指数levy跳扩散模型下，通过在确定的两个时间点之间设置一个特定的常数障碍水平，构造出一类两时间点两资产最大或最小值障礙期权.这种新型期权具有两时间点彩虹期权与障碍期权的双重性质，使得该新型期权在未定权益定价方面的应用更为广泛.最后利用鞅方法，给出了该类期权的定价公式.

关键词 金融数学;新型期权;鞅方法;levy

中图分类号 F830.9文献标识码 A

Abstract Under the exponential levy jump diffusion model， this paper constructs a class of barrier options on the maximum or minimum of two assets with two time points by setting a specific constant barrier level between two fixed time points.The new options have the dual properties of the two assets rainbow options and barrier options，which makes them more widely used in the pricing of contingent claims.Finally， we give their pricing formulas by martingale method.

Key words Financial mathematics;New options;Martingale method;Levy

1 引 言

近些年来，奇异期权的定价问题成为人们的研究热点，其中的彩虹期权已经取得了一些重要的成果.Snorre和Lindset（2006）[1]在利率满足高斯模型的情形下，利用测度变换和鞅方法给出了多个资产的最大或最小值期权的定价表达式。陶雅楠（2012）[2]基于BlackScholes模型，扩展研究了两资产最小或最大值期权，构造出两时间点彩虹期权这一新型期权，利用测度变换和风险中性定价的方法推导出参数与时间有关的该新型期权的解析定价公式。石方圆等（2017）[3]在标的资产价格服从带跳的OrnsteinUhlenback（OU）过程模型下，基于无风险利率为时间的确定函数的假设，利用保险精算方法给出了彩虹期权的定价公式。石方圆和李翠香（2017）[4]在标的资产价格变化服从OU过程，利率服从Vasicek模型的假设下，同样采用保险精算方法推导了彩虹期权的定价公式.出于降低权利金成本的目的，综合考虑障碍期权能够降低期权价格、两时间点彩虹期权能够有效分散风险的优点，将陶雅楠所研究的两时间点彩虹期权与障碍期权进行结合，构造出一种新型期权的复合期权，即两时间点两资产最大或最小值障碍期权，又称为新型两时间点彩虹期权.

通过利用python和matlab软件，分别计算出标准欧式期权，两时间点彩虹期权与新型两时间点彩虹期权的理论价值，经比较得到新型两时间点彩虹期权能够有效降低期权金.

2 新型两时间点彩虹期权的定价

2.1 资产定价模型介绍

为了更好的模拟由于市场的不完备性导致标的资产价格产生的各种随机扰动，在文[2]的定价模型基础上加入了指数levy跳过程.

由表1可知，在相同的标的股票初始价格情况下，新型两时间点彩虹期权均低于标准欧式期权和两时间点彩虹期权的权利金，从而验证了新型两时间点彩虹期权具有降低权利金成本的效果.

4 结 论

构造的两时间点两资产最大或最小值障碍期权结合了两时间点彩虹期权与障碍期权的特点，采用了一种在文[2]中标的资产S1， S2满足模型的基础上进行创新的指数levy跳扩散资产定价模型，并通过数值算例验证了该新型两时间点彩虹期权能切实的达到降低期权权利金的作用.且在指数levy跳扩散模型下，对于两时间点两资产最大或最小值障碍看涨看跌期权，当满足标的资产价格S1（t），S2（t），具有股息收益率q1（t），q2（t）;下障碍SB趋于0，即没有障碍;定价模型中不含跳（N=0）等条件时，此时得到的结果就是文[2]中的结果.综上，上述定理进一步推展了文[2]的相关结果.

参考文献

[1] SNORRE，LINDSET. A Generalization of the Formulas for Options on the Maximum or the Minimum of Several Assets[J].The European Journal of Finance，2006，12（8）：717-730.

[2] 陶雅楠.关于两种新型奇异期权的定价问题[D].石家庄：河北师范大学数学与信息科学学院，2012.

[3] 石方圆，杨立保，李翠香.基于带跳的O-U过程的彩虹期权定价[J].合肥工业大学学报（自然科学版）， 2017， 40（12）：1714-1718.

[4] 石方圆，李翠香.随机利率及OU过程下的彩虹期权定价[J].周口师范学院学报， 2017，34（2）：1-6.

[5] M S VEILLETTE. Study of Gaussian processes， Levy processes and infinitely divisible distributions[M].Boston University，2011，119-125.

[6] B OKSENDAL，A SULEM.Applied Stochastic Control of Jump Discusions[M].Springer，2009， 6-21.

[7] F C KLEBANER. Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].London：Imperial college press，2005，275.