拟人腕关节机构的动载协调分配优化

2019-11-05李研彪罗怡沁徐梦茹

中国机械工程 2019年20期

李研彪王林罗怡沁徐梦茹郑航

1.浙江工业大学机械工程学院，杭州，3100232.浙江工业大学特种装备制造与先进加工技术教育部重点实验室，杭州，310023

0 引言

并联机构具有结构紧凑、工作空间大、承载能力强等优点，广泛用于拟人关节机构[1-4]。目前，拟人腕关节机构有轮系机构[5]、5R正交机构[6]、3RRR机构[7]、3UPU机构[8]等，但拟人腕关节机构的原型仍较少。笔者拓展一种3UPS/S并联机构，并将其作为拟人腕关节的机构原型。

并联机构在运动过程中需要克服重力、外力、惯性力等负载，并将这些负载合理地分配到各个驱动器，以实现动载协调分配的优化[9]。将不同因素作为优化目标，最终可以得到不同的分配方式，国内外学者对此进行了大量研究。徐桂玲[10]以驱动力最小为目标，应用虚位移原理和加权最小二乘法，对四足并联腿步行机器人进行优化；卿建喜等[11]、窦玉超等[12]通过优化驱动力、驱动功率来降低瞬时负载和瞬时功率；余联庆等[13]采用伪逆法来最小化瞬时驱动力的二范数，从而减小最大瞬时驱动力。上述并联机构均将驱动力或功率作为优化目标进行动载分配。单一考虑驱动力、功率时，机构可能存在运动速度、加速度等的突变，从而导致机构运动的不平稳。

有学者通过规划运动轨迹来实现动载分配。如LIU等[14]考虑驱动速度、加速度和驱动力的限制，采用多项式样条的方式来构建3RRRU并联机构的运动轨迹，从而求解出最优的运动时间。CHEN等[15]考虑驱动速度、加速度和驱动力，采用遗传算法对6SPS并联机构进行轨迹规划，使机构的能耗最低。KHOUKHI等[16]、GUILBERT等[17]提出了一种新的并行多目标轨迹规划方法，使并联机构实现低能耗的运动。上述优化方法从时间、能耗角度进行求解，但并没有考虑机构驱动器的输出情况，导致规划的轨迹存在驱动力较大、突变等问题。

本文研究拟人腕关节机构的动载协调分配问题，采用Dijkstra算法得到机构综合性能最优的运动轨迹，并综合考虑时间、能耗、平稳性，采用遗传算法优化求解广义时间，从而使机构在时间短、能耗低和性能优的条件下完成运动。

1 机构介绍

本文研究的拟人腕关节将3-UPS/S并联机构作为机构原型，如图1所示。该机构由动平台、定平台、3条UPS/S驱动支链和球铰支架组成。球铰支架固定在定平台上，通过球铰与动平台连接。球铰支架约束动平台的3个移动自由度，使动平台只有3个转动自由度。3条UPS/S驱动支链中，电缸为机构的驱动器(包括摆动轴和伸缩轴)，电缸的下端通过虎克铰连接定平台，电缸的上端通过球铰连接动平台。3个球铰中心在半径r1的圆上均布，3个虎克铰中心在半径r2的圆上均布，动平台和定平台的距离为r3。

1.定平台 2.电缸 3.球铰 4.动平台5.中央球铰 6.球铰支架 7.虎克铰图1 拟人腕关节机构的模型Fig.1 Model of humanoid wrist joint mechanism

图2 拟人腕关节机构简图Fig.2 Schematic diagram of humanoid wrist joint mechanism

定坐标系{A}与动坐标系{B}重合时，动平台处于初始状态。构建摆动轴局部坐标系Uixciycizci和伸缩轴局部坐标系Dixdiydizdi，分别记作{Ci}和{Di}，其中i=1,2,3。坐标系{Ci}的坐标原点与虎克铰的旋转中心Ui重合，坐标系{Di}的坐标原点与伸缩轴的质心Di重合，且zci轴和zdi轴沿着支链伸缩方向，yci轴和ybi轴垂直于OSiUi平面，根据右手定则确定xci轴和xdi轴。

2 运动学建模

2.1 位置反解

采用Z-Y-X型欧拉角描述腕关节的动平台姿态，则动平台的姿态旋转矩阵为

(1)

cj=cosjsj=sinjj=α，β，γ

在定坐标系{A}上，虎克铰和球铰的中心点Ui、Si的位置矢量为

(2)

ηi=5π/3-2iπ/3i=1，2，3

根据腕关节的结构特点，可得支链i驱动方向的矢量

li=Si-Ui

(3)

则腕关节的驱动支链i的长度为

(4)

2.2 速度反解

(5)

则球铰中心点Si的速度为

(6)

对式(6)两侧点乘ei，可得支链驱动线速度

(7)

对式(6)两侧叉乘ei，可得支链角速度

ωi=ei×(ωh×Si)/li

(8)

式(8)的矩阵形式为

(9)

E3=diag(1,1,1)

3 动力学建模

机构中的连接件不会对运动产生影响，故将其视为邻近连杆的一部分。同时，为便于动力学建模，忽略各运动副之间的摩擦力，将各连杆和动平台皆视为均质刚体，并考虑惯性力、外力和重力对机构的作用。

3.1 惯性力求解

采用拉格朗日方法，从能量的角度来计算惯性力。

3.1.1系统动能

系统动能包括摆动轴动能、伸缩轴动能和动平台动能。摆动轴绕虎克铰的旋转中心Ui转动，其动能为

(10)

(11)

(12)

伸缩轴运动包括绕虎克铰的旋转中心Ui的转动和沿伸缩方向上的移动，故其动能包括平动动能和转动动能：

(13)

(14)

(15)

式中，AIbi为支链i上的伸缩轴相对于过质心的坐标系的惯量矩阵；vbi为支链i上球铰中心Si的速度；mb为伸缩轴的质量；Ib为伸缩轴绕坐标系{Di}的主转动惯量；lb为伸缩轴质心到球铰中心的距离；Ji为雅可比矩阵J的第i行向量；S(ei)为ei的反对称矩阵。

由于动平台始终绕中央球铰的旋转中心O转动，故动平台的动能为

(16)

(17)

式中，Ih为动平台相对于动坐标系{B}的主转动惯量。

结合式(10)、式(13)和式(16)可得系统动能：

(18)

3.1.2系统势能

在定坐标系{A}中，取Oxaya面为重力零势能面，重力方向为za轴的反方向。由于动平台的质心与旋转中心O重合，且动平台始终绕旋转中心O转动，因此动平台势能为零。系统势能包括摆动轴势能和伸缩轴势能：

(19)

式中，zai、zbi分别为摆动轴和伸缩轴质心在定坐标系{A}中Z轴方向的坐标值。

3.1.3广义惯性力

根据朗格朗日方程可得

(20)

L=E-Vψ=[γβα]T

式中，FI为对应广义坐标ψ的广义惯性力。

将式(18)、式(19)代入式(20)整理可得

(21)

矩阵D为对称的广义惯量矩阵，除受构件的质量和分布影响外，还与雅可比矩阵有关。矩阵H、C分别表示系统的离心力和哥氏力，均与机构姿态有关，U为重力项。

3.2 外力求解

由于动平台始终绕旋转中心O转动，因此当外力和外力矩作用在动平台上的任意位置时，均可以等效成作用在旋转中心O上的外力和外力矩。因为作用在旋转中心O的外力对驱动力大小无影响，所以广义外力只需要考虑作用在旋转中心O的外力矩。动平台的外力分解模型如图3所示。

图3 动平台外力分解模型Fig.3 External decomposition model of moving platform

设作用在动平台任意位置上的外力Fg=[FM]T，则广义外力为

Ff=M+F×d

(22)

F=(Fx，Fy，Fz)M=(Mx，My，Mz)

式中，d为Fg到旋转中心O的矢量。

3.3 动力学模型建立

综合考虑重力、惯性力和外力作用，建立腕关节的动力学模型：

(23)

其中，τ=[τ1τ2τ3]T为3个驱动器对应的驱动力；JT为力雅可比矩阵，将广义坐标系上的驱动力转换到各驱动器上。

3.4 数值算例及模型验证

腕关节机构的参数如表1所示。承受外力F=0，M=[1 1 1]TN·m。基于上述动力学模型，利用MATLAB软件计算得到腕关节机构的关节驱动力矩曲线。为了验证动力学模型的正确性，利用动力学仿真软件ADAMS对腕关节机构进行动力学仿真。添加各类约束条件和外力，使仿真与理论计算的环境保持一致。将仿真得到的关节驱动力与理论计算得到的关机驱动力进行比较，并分析仿真结果与理论结果之间的误差，如图4所示。由图4可知，驱动力的仿真值与理论值的误差在1%左右，基本一致，验证了动力学模型的正确性。

表1 腕关节机构的参数

图4 关节驱动力理论值与仿真值Fig.4 Theoretical and simulated values of joint drive force

4 腕关节机构的性能分析

4.1 动力学性能评价指标

由式(21)可知，腕关节机构不同的运动状态会影响惯性力，其中，速度、加速度直接影响机构惯性力的大小。腕关节机构一般做低速运动，因此忽略速度影响，只考虑加速度的影响，则式(21)可简化为

(24)

(25)

对式(25)求偏导，可得

(26)

化简式(26)可得

(27)

式中，λ为矩阵DTD的特征值。

由式(27)可知，λ随机构姿态变化而变化，λ越小，由加速度引起的惯性力越小。

4.2 力映射性能评价指标

将式(23)化简可得

τ=JTτF

(28)

式中，τF为广义坐标系上的广义惯性力、重力和外力之和，称为广义驱动力。

由式(28)可知，通过虚功原理可将广义坐标系上的驱动力映射到各驱动器上。其中，力的雅可比矩阵JT代表该映射关系。

由于rankJ=3，故力雅可比矩阵JT可以奇异值分解，存在正交阵U∈R3×3和V∈R3×3使

JT=UΛV=Udiag(σ1，σ2，σ3)V

(29)

式中，σi(i=1，2，3)为力雅可比矩阵JT的奇异值且σ1≥σ2≥σ3。

设广义驱动力τF为单位向量，可得

τTU(ΛΛT)-1UTτ=1

(30)

当广义驱动力τF为单位矩阵时，关节驱动力矩分布在椭球上；σi越大，广义驱动力转换为驱动力的效率越高，因此将k3(k3=σ3)作为力传递性能评价指标，k3越大，力传递性能越好。

σ1=σ2=σ3时，驱动力分布在空间球上，驱动力之间的差值最小，因此将k4(k4=σ3/σ1且0

5 动载协调分配优化

本文考虑时间、能耗、性能，依据性能指标得到性能最优的轨迹，通过遗传算法优化求解最优广义时间，从而使腕关节机构在能耗最低、时间最短、性能最好的情况下完成运动。

5.1 综合性能最优路径

综合考虑动力学性能(动力学传递性能和动力学传递均衡性能)和力映射性能(力传递性能和力传递均衡性能)因素，采用加权求和法，将上述多性能指标转换成综合性能指标。

求解出各性能指标在全域范围内的最大值kjmax和最小值kjmin(j=1，2，3，4)，则不同姿态下的各性能指标可表示为

(31)

式中，Kj为性能指标在全域变换范围内的比值。

Ki越大，机构性能越好。

综合考虑上述4个性能指标的影响，构造综合性能指标函数

(32)

式中，δj为目标比重系数。

δj越大，该衡量指标越重要，本文中的δj=1，各性能指标的比重相同。K越小，机构的综合性能越好。

设腕关节机构姿态起点ψ0=[γ0β0α0]T，姿态终点ψt=[γtβtαt]T。腕关节机构从起点出发运动到终点有许多不同的路径。将起点至终点的区域进行离散，以不同的离散点组合来表示不同的路径，则离散步长为

(33)

式中，ΔSγ、ΔSβ、ΔSα分别为欧拉坐标γ、β、α的离散步长；n1、n2、n2为离散的步数。

将每一个离散点根据其位置关系进行标记，如图5所示。由图5可知，每一个单元存在单元起点和单元终点。根据单元标记规则，可以构建从起点至终点的路径网格。网格内的每个离散点存在一个表示某种姿态下机构的综合性能指标K，将K定义为该离散点的权值。将路径上所有离散点的综合性能指标K的和，表示该条路径的综合性能。路径综合性能指标越小，该路径的综合性能越好。

图5 离散单元标记规则Fig.5 Discrete cell marking rule

离散单元的路径规则如图6所示。离散点从单元起点出发，到达单元终点，且不存在返回的现象。从起点到终点的离散点构成了一条路径。路径上的离散点越少，该路径越短。

图6 离散单元路径规则Fig.6 Discrete cell path rule

给定姿态起点ψ0=(0, 0, 0)，姿态终点ψt=(π/18, π/18, 5π/36)。以路径最短、综合性能最好为目标，采用Dijkstra算法优化求解出从起点到终点的最优路径，算法流程如图7所示。

图7 Dijkstra算法流程图Fig.7 Dijkstra algorithm flow chart

由于规划出的路径为一系列离散点，无法实现光滑轨迹运动，故基于上述性能最优路径的结果，采用B样条曲线拟合方法构造动平台运动轨迹，即可得从起点至终点的最优轨迹，并利用多项式函数来描述，则最优轨迹方程如下

(34)

式中，u为路径中离散点的序号，u=0，1，…，8。

腕关节机构的最优路径和最优轨迹如图8所示，最优轨迹沿着最优路径分布，且避免了最优路径不光滑的缺点，确保了运动的平稳性。

图8 拟合轨迹Fig.8 Fitting trace

5.2 约束条件及目标函数建立

由最优轨迹方程(式(34))可知，动平台的运动轨迹与参数u有关。建立参数u与时间t的函数，确定腕关节机构的速度特性。采用多项式方程建立的时间函数为

u(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

(35)

式中，a0～a4为时间函数的系数。

5.2.1约束条件

已知腕关节机构的起点和终点的位置，且起点和终点的速度为零，故建立时间约束方程

(36)

式中，T为运动时间。

同时，驱动器输出的速度和力存在最大值，故建立驱动器输出约束方程

(37)

5.2.2目标函数

设腕关节机构在时间T内完成运动。腕关节机构在运动过程中可能存在时间很短、能耗很大或关节力矩变化很大的情况，因此，需要考虑能耗和关节力矩。建立能耗优化目标和力矩波动优化目标：

(38)

(39)

5.3 广义时间优化

考虑时间、能耗、稳定性，结合式(38)、式(39)，建立广义时间优化目标函数

(40)

其中，λ1、λ2为目标值所占的比重，λ1=λ2=0.5，将能耗和力矩波动视为同等重要。

优化过程如下：首先根据式(34)、式(35)计算出动平台的角位移和角速度，其次根据腕关节位置、速度反解方程求解关节驱动器的输出值，然后根据动力学模型得到关节驱动力矩，最后通过式(40)得到广义时间优化目标函数。采用遗传算法对式(35)时间函数中的系数ai和运动时间T进行优化求解，如图9所示，得到最小的广义时间f。