同一条件极值问题的多种求解思路

马林　王丹

【摘 要】本文针对《高等数学》教材中常用的关于多元函数条件极值的实际问题，建立模型，应用均值不等式法、等式约束极值的代入法、拉格朗日乘数法进行求解，一题多解，从而打开学生思路，启发学生思考。

【关键词】条件极值;均值不等式;等式约束;拉格朗日乘数法

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0013-02

多元函数的极值是多元微分学应用的重要知识点，也是高等数学紧密联系实际的最直观地体现。它分为无条件极值和条件极值两种情况，条件极值问题因其考虑约束条件，通常会复杂一些。本文针对教材中常用的关于多元函数条件极值的实际问题，建立模型，首先用均值不等式法、等式约束极值的代入法计算体积的最大值，最后用经典的Lagrange乘数法进行对比[1]。

实际问题：表面积为的长方体，问长、宽、高各为多少时，才能使得体积达到最大？

首先依据题意，可以建立模型，设长方体的长、宽、高各自为米、米、米，则

长方体的表面积     （1）

长方体的体积，    （2）

1   均值不等式法

中学时学习过均值不等式，当时，≥，当且仅当时等式成立，即几何平均数小于等于算数平均数，它可以推广到三个至个形式，即当，时，≥，

当且仅当时等式成立。

由此，上述实际问题中，要求体积的最大值，可以先求出的最大值，然后开方即得的最大值。

那么

≤=

当且仅当即时，

达到最大值，同时取到最大值。

由均值不等式的形式，也可以将该方法推广到元函数，在高维度亦适用。利用均值不等式求函数的极值，时常需要把函数先进行变形，这一步通常技巧性较强，起着承前启后的重要作用，接着再利用“积定”求和的最小值或“和定”求积的最大值。在运用均值不等式时，一定要注意“一正二定三相等”的条件[2]。

2   等式约束极值的代入法

将表面积的中约束条件代入体积，即变形等式（1）

得到，将代入（2）中有，

由此可得是和的二元函数，那么根据题意，我们需要计算这个的最大值，只需解下面的方程组：

化简后并代入约束条件（1）式得

由此得到唯一驻点。由题意知表面积固定体积最大的长方体一定存在，体积函数又只有唯一驻点，因此该驻点即为所求最大值点，从而当时，体积最大。

等式約束极值的代入法将多元函数条件极值问题转化为无条件极值问题，计算稍显繁复[3]。

3   拉格朗日乘数法

约束条件：

目标函数：

建立拉格朗日函数：

得方程组

进一步化简得

从而得，为唯一可能的极值点，从问题本身意义出发可知，此极值点即为最大值点，此时长方体体积达到最大。

拉格朗日乘数法需计算多元高次方程组，是求解一般多元函数条件极值问题的经典方法[4]。

4   结束语

纵观全文的三种解题方法，利用均值不等式的方法机巧多变，大幅度减轻了计算任务，但是它适应范围较窄，不具有普适性;等式约束极值的代入法，将约束条件代入目标函数，大大加重了计算量，且容易出错;拉格朗日乘数法，清晰明了，当之无愧的是计算多元函数条件极值的经典思路，当然多元高次方程组的计算难度也不容小觑。

本文针对多元函数条件极值问题运用一题多解的思想，有助于学生打开思路，更有效地理解和掌握这一重要知识点，并感受数学解决问题的精妙，提高学习知识的主观能动性。

【参考文献】

[1]凌亚丽.条件极值问题的初等解法和案例分析[J].河北北方学院学报，2011（6）.

[2]曹宏举等.多元函数条件极值的四种求解方法[J].高等数学研究，2017（2）.

[3]龚荣芳.关于多元函数极值判定方法的教学思考[J].中国科教创新导刊，2011（17）.

[4]吴赣昌.高等数学（下册）第四版[M].北京：中国人民大学出版社，2011.