基于子域法的游标混合电机电磁性能解析计算

杨玉波 刘国鹏 陈鹏 杨小童

摘要：针对游标混合电机（VHM）设计时难以实现快速准确的电机磁场求解问题，提出采用子域法推导游标混合电机的解析分析模型，实现电机磁场和电磁性能的快速准确计算。根据电机结构和各部分电磁特性，将电机求解区域划分为定子槽、定子槽口、永磁体（PM）、气隙和转子槽5个子域，根据各子域磁场偏微分方程和矢量磁位通解，结合边界条件求解各子域矢量磁位，计算气隙磁密、磁链、反电势（EMF）、齿槽转矩和电磁转矩。研究定转子槽宽对转矩脉动和平均转矩的影响，在不减小平均转矩的情况下，得到削弱转矩脉动的定转子槽宽组合。设计制造一台样机，实验结果验证了解析模型的正确性。

关键词：游标混合电机;子域法;矢量磁位;边界条件;有限元法

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.002

中图分类号：TM 351

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2019）09-0009-09

Electromagnetic performance investigation of vernier hybrid machine

YANG Yu bo，LIU Guo peng，CHEN Peng，YANG Xiao tong

（School of Electrical Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China）

Abstract：

Accurate and rapid calculation of magnetic field distribution is the key point of motor design and optimization. The analytical subdomain model of vernier hybrid machine （VHM） was first developed. The whole domain was divided into several subdomains， including the stator slot， stator slot opening， permanent magnet （PM）， air gap and rotor slot， according to the geometric configuration and electromagnetic properties. The magnetic vector potentials were obtained according to the general solutions and boundary conditions between the adjacent subdomains. Then the air gap flux density， flux linkage， back electromotive force （EMF）， cogging torque and electromagnetic torque were calculated. The effect of stator slot opening width and rotor slot width on the average torque and torque ripple was studied as well. The prototype machine was designed and produced， and the analytical model was verified with the experimental results.

Keywords：vernier hybrid machine; subdomain method; magnetic vector potential; boundary conditions; finite element analysis

0引言

游标混合电机（vernier hybrid machine， VHM）是一种新型的双凸极电机，其永磁体位于定子内表面，绕组安放于定子槽内，转子铁心上只有调制齿，不安放绕组。VHM具有高转矩密度和优秀的低速大转矩输出能力，散热性能好，转子结构简单可靠，适用于风力发电、潮汐发电和电动汽车等领域。

相关文献对VHM的结构和性能分析方法进行了分析与研究。通过分析VHM拓扑结构与工作原理，发现VHM难以同时兼顾高转矩密度和高功率因数。将传统游标混合电机的表面式磁极改为内置V字型，并在定子槽内增加励磁绕组，能够提高磁场调节能力。在旋转VHM的基础上，设计了单初级和双初级的VHM直线电机，提出了通过磁链、电流和位置數据预测电机性能的方法。采用直流偏置正弦电流控制游标混合电机，能够提高电机的转矩密度、功率因数和效率，扩大电机恒功率运行区域。

目前，游标混合电机的分析方法主要为有限元法。有限元法可以充分考虑铁心饱和、端部效应和漏磁等问题，求解精度高，但是计算时间长，建模复杂。作为一种解析分析方法，子域法具有计算时间短和计算精度较高等优点，已被用于表面式永磁同步电机和游标电机的磁场计算。本文采用子域法对VHM进行建模与分析，根据电机各部分电磁特性，将求解区域分解为多个子域，基于各子域的磁场偏微分方程和矢量磁位通解，根据各个子域交接处的边界条件求解得到各子域矢量磁位，并基于磁场进行电机性能计算。

1VHM工作原理

图1为VHM电机模型，永磁体和三相绕组都位于定子上。永磁体位于定子齿表面，箭头指向为永磁体的磁化方向。转子为开槽铁心，无绕组。

VHM的工作原理为磁场调制理论。定子永磁体的磁动势基波为

F=Fpmsin（Qpmθ+θ0）。（1）

式中：Fpm为永磁体磁动势基波幅值;Qpm为永磁体基波磁动势极对数;θ为机械角度;θ0为相位角。

由于转子的旋转，气隙磁导会发生周期性的变化，当转子沿逆时针方向旋转时，只考虑恒定值和基波，可将其表示为

Λ=Λ0+Λmsin（Qrθ-ωt）。（2）

式中：Λ0是气隙磁导恒定值;Λm为气隙磁导基波幅值;Qr为转子齿数;ω为转子旋转角速度;t为时间。

气隙磁密径向分量可以表示为

Br=FΛ=FpmΛ0sin（Qpmθ+θ0）+

FpmΛm2{cos[（Qpm-Qr）θ+θ0+ωt]-

cos[（Qpm+Qr）θ+θ0-ωt]}。（3）

气隙磁密主要包含3个分量，第1项是静止分量，极对数为永磁体磁动势基波磁极数Qpm;第2项是极对数为|Qpm-Qr|的旋转分量，若（Qpm-Qr）为正值，则该分量转向和转子运动方向相反，若为负值，则转向和转子运动方向相同;第3项是极对数为（Qpm+Qr）的旋转分量，转向和转子运动方向相同。两旋转分量会在电枢绕组中感应出交变磁链，转子旋转一周，磁链变化周期数等于转子槽数。

2子域划分与矢量磁位通解

根据VHM结构，求解区域可以被分为5个子域，分别为气隙、永磁体、定子槽口、定子槽和转子槽。子域划分和各子域主要结构尺寸如图1和图2所示。

在子域I（气隙）内，矢量磁位AI满足拉普拉斯方程：

2AIr2+1rAIr+1r22AIθ2=0。（4）

其通解可表示为

AI=∑k{[A1（rRm）k+B1（rRr）-k]cos（kθ）+

[C1（rRm）k+D1（rRr）-k]sin（kθ）}。（5）

在子域Ⅱ，对于径向充磁永磁体，磁化强度Mr可表示为

Mr=∑kMrkcos（kθ）。（6）

子域内矢量磁位AII满足泊松方程：

2AIIr2+1rAIIr+1r22AIIθ2=-μ0r∑kkMrksin（kθ）。（7）

式中μ0为真空磁导率。

其通解可表示为

AII=∑k{[A2（rRs）k+B2（rRm）-k]cos（kθ）+

[C2（rRs）k+D2（rRm）-k+μ0rkMrkk2-1]sin（kθ）}。（8）

在子域III（定子槽口）内，矢量磁位AIIIi满足拉普拉斯方程，其通解可表示为

AIIIi=C30+D30lnr+∑m[C3i（rRt）Fm+

D3i（rRs）-Fm]cos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（9）

式中Fm=mπ/α0。

在子域IV（定子槽）内，由于槽内导体中存在电流密度Ji，对其进行傅立叶分解，表达式为

Ji=Ji0+∑nJincos[En（θ-θi+αa/2）]。（10）

其中：

Ji0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jidθ， （11）

Jin=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（12）

式中En=nπ/αa。

该子域内矢量磁位AIVi满足泊松方程：

2AIVir2+1rAIVir+1r22AIViθ2=-μ0Ji。（13）

其通解可表示为

AIVi=C40+μ0Ji04（2R2sblnr-r2）+

∑n{D4i[G1（rR2sb）En+（rRt）-En]+

μ0JinE2n-4[r2-2R2sbEn（rRsb）En]}×

cos[En（θ-θi+αa/2）]。（14）

式中G1=（Rt/Rsb）En。

在子域V（转子槽）内，矢量磁位AVj满足拉普拉斯方程，其通解可表示为

AVj=C50+∑mD5j[（rRrb）Gm+（rRrb）-Gm）×

cos[Gm（θ-θj+αra/2）]。（15）

式中Gm=mπ/αra。

3边界条件与未知系数求解

在5个子域的矢量磁位通解表达式中，系数A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2、C3i、D3i、C30、D30、D4i、C40、D5j和C50为未知系数，需要结合相邻子域的边界条件，即矢量磁位连续和磁场强度切向分量连续，建立包含未知系数的方程组，进行求解。

在子域I（气隙）和子域II（永磁体）的交界面（r=Rm）上，矢量磁位A和磁场强度的切向分量Hθ满足边界條件：

AI（Rm，θ）=AII（Rm，θ），

HIθ（Rm，θ）=HIIθ（Rm，θ）。 （16）

从而可得：

A1+B1（RmRr）-k-A2（RmRs）k-B2=0， （17）

C1+D1（RmRr）-k-C2（RmRs）k-D2=μ0Rmkk2-1Mrk， （18）

μr[A1-B1（RmRr）-k]-A2（RmRs）k+B2=0， （19）

μr[C1-D1（RmRr）-k]-C2（RmRs）k+D2=μ0Rmk2-1Mrk。（20）

在子域II（永磁体）和子域III（定子槽口）的交界面（r=Rs）上，边界条件为：

AII（Rs，θ=θi±α0/2）=AIIIi（Rs，θ=θi±α0/2），

HIIθ（Rs，θ=θi±α0/2）=HIIIiθ（Rs，θ=θi±α0/2）。（21）

将矢量磁位AII统一到上，可得

AII=AII0+∑mAIImcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（22）

其中：

AII0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIdθ，（23）

AIIm=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIcos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（24）

将磁场强度切向分量HIIIθi统一到上，可得

HIIIθi=∑k[CIIIkcos（kθ）+DIIIksin（kθ）]。（25）

其中：

CIIIk=1π∫π-πHIIIθicos（kθ）dθ，（26）

DIIIk=1π∫π-πHIIIθisin（kθ）dθ。（27）

结合式（21），可得：

AII0=C30+D30lnRs， （28）

AIIm=C3i（RsRt）Fm+D3i，（29）

CIIIk=0， （30）

DIIIk=-kμrμ0RsMrkk2-1。（31）

在子域III（定子槽口）和子域IV（定子槽）的交界面（r=Rt）上，邊界条件为：

AIIIi（Rt，θ=θi±α0/2）=AIVi（Rt，θ=θi±α0/2），

HIIIθi（Rt，θ=θi±α0/2）=HIViθ（Rt，θ=θi±α0/2）。（32）

将矢量磁位AIVi统一到上，可得

AIVi=AIVi0+∑mAIVimcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（33）

其中：

AIVi0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVidθ，（34）

AIVim=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVicos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（35）

将磁密BIIIθi统一到上，可得

BIIIθi=B0+∑nBncos[En（θ-θi+αa/2）]。（36）

其中：

B0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθidθ，（37）

Bn=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（38）

结合式（32）可得：

AIVi0=C30+D30lnRt，（39）

AIVim=[C3i+D3i（RtRs）-Fm]，（40）

B0=-μ0Ji02（R2sbRt-Rt），（41）

Bn=-EnD4iRt[G2（RtRsb）En-1]-

2μ0JinE2n-4[Rt-R2sbRt（RtRsb）En]。（42）

在子域I（气隙）和子域V（转子槽）的交界面（r=Rr）上，边界条件为：

AI（Rr，θ=θi±αra/2）=AVj（Rr，θ=θi±αra/2），

HIθ（Rr，θ=θi±αra/2）=HIVjθ（Rr，θ=θi±αra/2）。（43）

将矢量磁位AI统一到上，可得

AI=AI0+∑mAImcos[Fm（θ-θj+αra/2）]。（44）

其中：

AI0=1αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIdθ，（45）

AIm=2αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIcos[Fm（θ-θj+αra/2）]dθ。（46）

将磁密切向分量BVθj统一到上，可得

BVθj=∑k[CVkcos（kθ）+DVksin（kθ）]。（47）

其中：

CVk=1π∫π-πBVθjcos（kθ）dθ，（48）

DVk=1π∫π-πBVθjsin（kθ）dθ。（49）

结合式（43）可得：

AI0=C50，（50）

AIm=D5j[（RrRrb）Gm+（RrRrb）-Gm]，（51）

CIIIk=kRr[A1（RrRm）k-B1]，（52）

DIIIk=kRr[C1（RrRm）k-D1]。（53）

结合式（17）～式（20）、式（28）～式（31）、式（39）～式（42）、式（50）～式（53），可以求解未知参数，进而得到各个子域内矢量磁位。

4计算结果与仿真验证

基于子域法解析模型，对一台定子6槽转子16槽VHM的性能进行了分析计算，样机的主要结构参数如表1所示。

图3为电机空载气隙磁密径向和切向分量曲线，解析法和有限元法的结果吻合，磁密径向分量曲线中，在0°、60°、120°、180°、240°、300°这6个角度所在区间的磁密为0，对应6个定子槽口。

对电机的空载气隙磁密径向分量进行快速傅里叶变换，主要谐波的幅值和相位角随转子位置的变化曲线如图4所示。气隙磁密径向分量中，幅值最大的谐波极对数为18，且相位保持不变，代表式（3）中的Qpm对极静止磁场分量;旋转分量的极对数分别为Qpm-Qr=2和Qpm+Qr=34，根据相位角的变化可知，转子旋转1个齿距，两旋转分量均变化1个周期。

图5为施加幅值为10 A的三相正弦电流负载时的电机气隙磁密径向和切向分量的计算结果，解析法和有限元法的结果较为吻合。通过与图3的对比可以看出，当电流幅值为10 A时，气隙磁场径向和切向分量与空载相差不大，说明电机的电枢反应较弱，电枢电流产生的磁场对气隙中的磁场分布影响较小。

电机的定子绕组位于子域IV（定子槽）中，可通过矢量磁位AIVi计算第i个定子槽内线圈边的磁链，从而得到每相绕组的磁链。线圈边的磁链可表示为

Φ=LefNAc∫RsbRt∫θ2θ1AIVirdrdθ。（54）

式中：Ac为线圈边的截面积;θ1和θ2为线圈边的起止角度。

电机转速为300 r/min时的空载和负载三相磁链波形如图6所示，解析法和有限元法的计算结果非常吻合，空载磁链幅值为0.04 Wb，负载磁链幅值为0.069 Wb。

电机反电势和磁链的关系为

E=-dΦdt。（55）

电机空载和负载三相反电势波形如图7所示。解析法和有限元法的计算结果非常吻合，空载时的反电势幅值为20 V，负载时的反电势幅值为34.5 V。

采用麦克斯韦应力张量法，转矩计算公式为

T=Lefr2μ0∫2π0BIrBIθdθ。（56）

式中：r为转子外径Rr和永磁体内径Rm的平均值;BIr和BIθ分别为气隙磁密的径向和切向分量。

图8为电机的齿槽转矩和电磁转矩计算结果，子域法和有限元法的仿真结果非常接近。电机电磁转矩的平均值为9.55 N·m，解析法的结果略大于有限元法的结果。齿槽转矩和电磁轉矩的波形对比说明齿槽转矩是转矩脉动的主要来源。

通过改变电机定转子槽口宽度，计算了齿槽转矩幅值和电磁转矩平均值，如图9所示。定子槽口宽和转子槽宽对齿槽转矩和电磁转矩均有较大的影响。当定子槽口宽度为8°，转子槽宽度为14.625°时，电机的负载电磁转矩为11.065 N·m，相比原尺寸的9.55 N·m提高了15.9%，此时电机齿槽转矩为0.208 N·m，相比原尺寸的1.35 N·m降低了84.6%，证明通过改变VHM转子槽宽和定子槽口宽，能够在不减小平均转矩的前提下，削弱电磁齿槽转矩。

5样机试验

样机定转子结构如图10所示，永磁体和绕组排布方式如图1所示。

样机试验中，样机由一台原动机拖动，转速为300 r/min。样机的三相反电势如图11所示，解析法、有限元法的计算结果和样机试验的结果非常吻合，反电势幅值为15 V。

通过改变原动机转速，得到VHM在不同转速下的反电势幅值，结果如图12所示，解析法、有限元法和样机试验的结果非常吻合，电机反电势幅值与电机转速成正比。

为了更好地观察电机气隙中的磁场分布，在样机的定子槽口安放了导线和单匝线圈，观察额定转速下导线和单匝线圈产生的反电势。导线共6根，分别安放在6个定子槽口中，按转子转向的位置顺序，定义为导线1～导线6;单匝线圈共3组，节距分别为1、2和3个定子齿距，定义为线圈1～线圈3。

样机导线1、2、3反电势的解析法、有限元法和样机试验结果分别如图13所示。在样机中，调制后的磁场基波极对数为2，相邻槽口导线的反电势相位差应为120°，所以导线1、2、3的反电势相位分别为0°、-120°、-240°。

样机线圈1、2、3反电势的解析法、有限元法和样机试验结果如图14所示。

线圈1、2和3的第1节距分别为1、2和3，其节距因数分别为0.866、0.866和0。绕组反电势与节距因数成正比，所以线圈1和线圈2的反电势幅值相同，线圈3反电势为0。

作为对比，对转子17槽的VHM进行分析，结果如图15所示。当转子槽数为17时，调制后的磁场基波极对数p为1，电机极距为3，线圈1、2、3的节距因数分别为0.5、0.866和1。根据仿真结果，线圈1、2、3的反电势幅值分别为206.8 mV、369.1 mV和430.8 mV，其比例0.48∶0.857∶1，与绕组节距因数比例非常吻合。

6结论

本文利用子域法建立了游标混合电机的解析模型，通过磁场偏微分方程和边界条件求解各个子域的矢量磁位方程，在此基础上进行电机的磁密、磁链、反电动势和转矩的计算，并与有限元仿真和样机试验结果进行了对比，结果表明解析法能够快速建立电机结构尺寸和性能之间的关系，特别适用于游标混合电机的初设设计和优化。

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