以性别区分人群的梅毒模型稳定性分析

石月莲

（晋中学院数学学院，山西晋中030619）

梅毒是由苍白密螺旋体引起的性传播疾病，它不仅是世界三大慢性传染病之一，也是长期以来困扰世界的难题[1-2]，在美国进行梅毒清除计划之后一段时间，世界上梅毒患者的数量大幅下降，但是随着时间的推移，性工作者人群数量的增加以及毒品品在全世界的流通，使得全球的梅毒患者呈现快速增加的趋势，加之同性恋者群体的出现使得梅毒患者处于同性化以及低龄化的状态，目前面临的形势不容乐观，也使之成为各界学者争相研究的对象。

梅毒传播过程复杂[3-5]，感染之后会进入潜伏阶段，平均时间为28天，在该阶段的患者不具有感染性，之后患者会进入梅毒一期，患者会在性器官及其附近出现硬下疳，平均46 天后硬下疳会消退进入一段无症状期，如果得不到及时的治疗，患者会进入梅毒二期，这时多出现全身症状，侵犯皮肤、黏膜、骨骼以及内脏，并伴有发热、头疼等症状的出现，3～5 天情况会有所好转，但是接着会再次出现反复情况。大约15周之后会进入延迟阶段，延迟阶段又可以分成早期延迟以及晚期延迟，两个阶段的区别只是时间上的区分，没有明显的界限，延迟阶段有时会持续几十年，延迟阶段之后是三期梅毒，但是只有三分之一未经治疗的人会进入三期梅毒，最为严重的情况就是梅毒会侵入心血管以及神经，形成心血管梅毒以及神经梅毒，而且造成的伤害不可逆，三期梅毒也是死亡率最高的阶段。

各界学者对梅毒的研究已经非常深入，也建立过很多的研究模型，Garnett等人[6]建立的梅毒模型没有区分早期潜伏以及晚期潜伏，在该模型中被治愈的患者没有进入免疫的仓室而是直接进入易感者仓室，Milner and Zhao 等人[7]在假设患者得到治疗后会获得终身免疫以及有效疫苗存在的情况下建立常微分方程模型，此外还有很多的数学模型[8]，在前人研究的基础上，将总的人口按照性别分成两个分组，每个分组中再根据梅毒的发展进程细化，为了更加贴合实际，将女性患者感染男性以及男性患者感染女性的感染率设置成不同的，在该模型中治愈之后患者得到的是暂时免疫，因病死亡只发生在梅毒三期，通过对模型全面系统的稳定性分析，对决定疾病是否继续传播的基本再生数进行敏感性分析，得到的理论结果对控制梅毒的传播具有借鉴意义。

1 模型介绍

1.1 模型的建立

将总人口按照性别分成两组，分别用S1与S2表示，在女性分组中又根据梅毒分传播过程分成潜伏期梅毒E1，一期梅毒W1，二期梅毒W2，早期延迟阶段L11，晚期延迟阶段L12以及免疫阶段T1，三期梅毒W3，同样在男性分组中也细分为潜伏期梅毒E2，一期梅毒M1，二期梅毒M2，早期延迟阶段L21，晚期延迟阶段L22以及免疫阶段T2，三期梅毒M3，模型中涉及的参数会在模型后加以说明，下面是具体的模型介绍：

模型中的变量β1表示女性梅毒患者对男性的感染率，β2表示的是男性梅毒患者对女性的感染率，d表示人群的自然死亡率，η1i(i=1,2,3,4,5)表示的是女性在患病期间，目前所处阶段到梅毒下一阶段的转化率（进程率），η2i(i=1,2,3,4,5)表示的是男性在患病期间，目前所处阶段到梅毒下一阶段之间的转化率（进程率），δi(i=1,2)分别表示女性分组以及男性分组中患者经治愈在此变为易感者的概率，τ1i(i=1,2,3,4)指的是女性分组中梅毒每个阶段的治愈率，τ2i(i=1,2,3,4)指的是男性分组中梅毒每个阶段的治愈率，因为当梅毒发展到三期梅毒时，基本上没有治愈的可能性，所以在该阶段没有设置治愈率，但是考虑到该阶段对人身体的危害性，故在该阶段考虑因病死亡，因病死亡率分别设置为b1和b2。此外，在模型中总的人口为Λ=Λ1+Λ2。

1.2 模型的正不变集

定义总的人口为

由模型（1）可知

由（2）知

所以模型（1）的正不变集为

Δ 是模型（1）的正不变集，在该集合中对模型进行研究，所得的理论结果都具有生物意义。

2 模型分析

2.1 基本再生数

由模型的正不变集可知无病平衡点为

根据下一代矩阵法[9]，定义在无病平衡点P0的Jacobian矩阵J(P0)，且有J(P0)=F-V, 其中

2.2 无病平衡点的稳定性分析

定理1当R<1 时，无病平衡点时全局渐近稳定的。

证明首先证明当R<1 时，E1→0 ，E2→ 0 ，将模型（1）中的部分方程改写成如下形式：

通过不等式组（4）可以得到

当R<1 时，不等式（5）将变成严格不等式这显然是不成立的，除非利用相似的过程可以证明当R<1 时同样由不等式（5）可知即整个系统将趋于无病平衡点

即当R<1 时，系统（1）的无病平衡点是全局渐近稳定的。

3 后向分支

假设

是系统（1）的一个地方病平衡点，为了方便求得分支参数，对系统（1）的方程进行适当的变换，令S1=x1，E1=x2，W1=x3，W2=x4，L11=x5，L12=x6，W3=x7，T1=x8，S2=x9，E2=x10，M1=x11，M2=x12，L21=x13，L22=x14，M3=x15，T2=x16，由此可得，

其中具体形式如（6）式，其中λ1=β1(x11+x12)，当R=1 时，将β*作为分支参数，令

计算当β1=β2=β*时，系统（6）在无病平衡点P0Jacobian矩阵J*

矩阵J*有一个右特征向量W=(ω1,ω2,...,ω16)T, 具体如下

同时，矩阵J*有一个左特征向量V=(v1,v2,...,v16)T，且满足V∙W=1, 根据文献[10]的定理4.1 计算分支系数a和b，定义如下：

因为分支系数b>0，所以当分支系数a>0 时，系统（6）将会产生后向分支。后向分支的出现的原因是病人获得的免疫是暂时免疫，一部分人会失去免疫再次进入易感者仓室，使得对疾病的控制一直处于循环的状态而无法得到显著的效果。

4 敏感性分析

4.1 对基本再生数敏感性分析

首先令

下面对R*进行求导，分析不同的参数对R*的影响，

由上面的分析结果可以知道，如果提高τ11，τ12，τ21，τ22以及η11，η13，η21，η23的值，将可以控制梅毒的传播，对于η12以及η22则需要进一步分析。

4.2 敏感性分析结果

首先对参数η12进行分析，结果总结如下：

（1）如果τ12>τ11或者τ11>τ12且η13>τ11-τ12，又或者τ11=τ12，这时提高参数η12将有利于控制疾病传播；

（2）如果η13=τ11-τ12(τ12>τ11)，这时提高参数η12将对控制疾病传播没有影响；

（3）如果η13＜τ11-τ12(τ12>τ11)，这时提高参数η12将不利于控制疾病传播；

对η12可以用相似的过程进行分析，具体如下：

（4）如果τ22>τ21或者(τ21>τ22)且η23>τ21-τ22,又或者τ21=τ22，这时提高参数η22将有利于控制疾病传播；

（5）如果η23=τ21-τ22(τ21>τ22)，这时提高参数η22将对控制疾病传播没有影响；

（6）如果η23<τ21-τ22(τ21>τ22)，这时提高参数η23将不利于控制疾病传播。

由上可知，若想有效的控制梅毒的传播，无论是在男性群组还是在女性群组，提高梅毒一期以及梅毒二期的治愈率都是十分有效的控制措施，此外，还可以通过调控梅毒不同阶段的进程率和治愈率之间的关系来控制梅毒的传播，高的进程率影响因素较多，如果患者本身患有其他的免疫缺陷疾病或者是医疗卫生条件的不足都会导致疾病的加速恶化，也就会加快梅毒不同阶段的进程率，这些结果都是与实际相结合，可以为采取防治梅毒措施提供参考建议。

5 结论

在前人的研究基础上将总的人口分成女性人群以及男性人群，在每个人群中，根据梅毒的疾病阶段再细分。为了使得模型更加的贴合实际，将不同分组的感染率设置成不同的，并在梅毒三期设置因病死亡率。患者治愈后获得的免疫是暂时免疫，通过求得基本再生数以及无病平衡点研究模型的稳定性，当R<1 时，无病平衡点是全局渐进稳定的，在R=1 时，模型会出现后向分支，暂时免疫的失去是导致后向分支出现的原因，此时为控制疾病而采取的措施有效性会降低,最后对基本再生数进行敏感性分析。研究不同的参数对基本再生数的影响，发现提高治愈率或者调节疾病不同阶段的进程率与治愈率之间的关系也可以达到控制疾病传播的目的，得出的理论结果具有参考价值和借鉴意义。