基于生活背景深入理解法则——《乘除与加减混合运算》教学思考与实践

沈佳璐

一、缘起

2018年5月，浙江省功勋教师张天孝老师带领新思维团队来到新湾小学，围绕“拓展课程”建设开展校本教研活动。在这次活动中，我第一次接触到张老师编写的《新思维儿童数学》，单看其中的一个个题目，感觉与人教版的知识点差不多，但仔细分析题目的前后联系、发展序列，则给学生的自主学习、独立学习和创造性学习预留了很大的空间。因此，我尝试将《新思维儿童数学》与人教版传统教学内容相结合，特别开设了《乘除与加减混合运算》这一堂课，写下案例与大家分享。

二、内容分析

1.比较四种教材。

●内容安排

表1 四种教材的内容安排

●学习起点

表2 四种教材的课时内容、学生起点情况分析

3人教版二年级下册12 7例1、例2、例3、练习十一、例4、练习十二、整理和复习、练习十三二年级上册：100 以内加减法、表内乘法（一）（二）二年级下册：表内除法（一）（二）4苏教版三年级下册10 5 例1、例2、例3、练习五、算“24 点”二年级上册：100 以内加减法、表内乘法（一）（二），表内除法（一）（二）二年级下册：有余数的除法、两位数的加法和减法三年级上册：两位数乘一位数，两位数乘两位数

2.为什么混合运算要先乘除后加减？

史宁中教授在《基本概念与运算法则》中提到“在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减。”“可是，为什么要有这样的规定呢？”“为了诉说规定存在的合理性，就必须回到现实世界。”“所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。在混合运算中，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列。在原本的意义上，这些故事应当分别计算，即先计算每一个具体的故事，然后再计算整体的故事，统观数学史，早期的数学都是这样计算的。如果希望用一个式子表达这样的故事，就形成了混合运算：用括号表示大故事所包含的小故事，用加号表示并列的故事。”

3.关键问题。

（1）知识背景。

学生在学习本单元之前，已经理解了加、减、乘、除的实际意义，有了运用连加、连减、加减、乘加（仅限于先乘后加）混合运算解决实际问题的经验，但把加法和乘除混合在一起解决实际问题，对学生来说还是第一次。另外学生可能会受到原有知识（连加、连减、加减、乘加混合）的干扰，仍然按照从左到右依次计算的思维习惯，而加减乘除的两级混合运算的计算顺序学生并不是很清楚，也不甚理解，这是教学的难点。

（2）学生知其然但不知其所以然。

人教版主题图的教学中，求乐园里的总人数时，学生倾向于先乘后加，呈现另一个算式7＋4×3，得出乘法与加法一起运算时都要先算乘法。学生能“记住”先乘除后加减，但是并不清楚为什么要先算乘法再算加法。练习时，乘除与加减的混合运算的错误率往往比同级运算和带有括号的运算更高。

基于对以上教材之间的对比和问题的思考，我进行了以下教学实践。

三、教学过程

1.情境引入。

师：佩奇去文具店购物，我们跟着她去看看吧！

【设计意图：根据低段学生的年龄特点，从学生喜爱的动画人物引出，开门见山地进入主题，激发学生的学习兴趣，强化数学知识和技能的学习以及数学思维的发展。】

2.学习不同类型的混合运算。

（1）教学乘加的运算顺序。

师：佩奇花了13 元钱，猜猜她买了什么？

出示：

算式：2×5＋3。

师：这个算式讲了什么事呢？

生：2×5 是两本书的钱，3 是一把剪刀的钱。

生：还可以买1 把剪刀和2 本书。算式：3＋2×5。

师：这个算式讲了什么事？

生：3 是一把剪刀的钱，2×5 是两本书的钱。

师：观察这两个算式，你有什么发现吗？

生：我发现两个算式的答案都是13。

生：都是先算2×5，再算加3 的。

师：为什么两个算式的答案一样啊？

生：因为买的东西一样。

师：为什么都要先算乘法？能不能先算3＋2？

生：不能，先算3＋2，答案等于25，不对了。

师：他从答案的角度来考虑，如果先算加法就与佩奇实际花的钱不一样了。想想3 指什么？2 指什么？

生：3 是一把剪刀的价格，2 是书的本数。

师：能直接相加吗？为什么？

生：不能。它们说的不是同一个事情。

师：你也能像佩奇这样来买东西吗？

出示：

师：你可以按照这样的格式来说——“我买的是____，我的算式是____，它先算____，再算____”。

【设计意图：在解决某个实际问题的过程中，理解运算的意义，引发运算的需要，讨论运算的结果。借助日常情境和图示，引导学生对两个算式进行比较，一方面学生能从结果的角度观察到运算法则的规定可以保证结果的一致性；另一方面，学生在对运算过程的情境意义的解释中进一步体会运算符号对数量关系的表征和表达，理解规定运算法则的必要性。在学生独立思考的基础上，组织交流，使交流的重点更加突出，认知层次更加深入。】

（2）教学减乘的运算顺序。

出示：20－2×7。

师：你知道这个算式说的是哪几件事吗？

生：我有20 元，买了7 块橡皮，每块橡皮2 元，还剩多少钱？

【设计意图：相对来说，学生根据情境意义列写算式比较容易，而根据抽象算式构想对应情境会比较难，但可以在两者之间灵活转换才能表示学生对数量关系和符号意义的认知达到了熟练的水平，所以特别创设这一任务，锻炼学生的思维能力。】

（3）教学减除的运算顺序。

出示：1 把刻刀40 元，3 个订书机27 元，1 把刻刀比1 个订书机贵多少元？

师：要求“1 把刻刀比1 个订书机贵多少元”，要先求什么？

生：要先求1 个订书机的价格，算式27÷3＝9，再求1 把刻刀比1 个订书机贵多少元，算式40－9＝31。

师：你能把两个算式合并成一个综合算式并计算吗？

（4）得出结论。

观察算式，得出结论：在一个算式里，既有加减法，又有乘除法，先算乘除，后算加减。

【设计意图：水平迁移，从“和结构”转向“差结构”。引导学生根据情境信息列出算式，进而结合实际情境意义理解并生成正确的计算顺序。比较例题，归纳运算顺序：有乘除法又有加减法的时候应先算乘除，后算加减。】

3.巩固练习。

【设计意图：巩固先算乘除后算加减的运算顺序，把分步算式合并为综合算式，突破计算中的难点和易错点，提高计算能力。】

4.回顾课堂，小结。

师：回顾刚才学的知识，你有什么想说的吗？

生：我学到了在一个算式里，既有加减法，又有乘除法，先算乘除，后算加减。

生：我学到了生活中的很多问题可以列综合算式来解答，每一步的计算都在解决一个问题。

师：是的，今天这节课，我们就是学了乘除与加减混合运算。你还有什么问题吗？

（揭示课题：乘除与加减混合运算）

【设计意图：回顾课堂可以帮助学生理清所学知识的层级结构，提高认知的系统性。最后点题，引出今天学习的主题，并引导学生质疑。学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。一节课的结束不仅体现在解决了一个问题，有了一项收获，也可能表现在发生了新的疑问，试图解决新的问题，为接下来的学习提供线索。】