浅析芝诺悖论中的无限思想

杨旭 曾丽

［摘           要］  悖论的产生可能引起数学危机，但是通过解决数学危机得以促进数学的发展。结合芝诺悖论中的“二分法”与庄子的无限分割思想阐述有限与无限之间的辩证关系。

［关    键   词］  芝诺悖论；二分法；一尺之锤；无限

［中图分类号］  O173 ［文献标志码］  A   ［文章编号］  2096-0603（2019）23-0172-02

悖论通常是指它的结论实际上违背客观实际，但其推理过程却看似合情合理。数学中某个悖论的提出在很长时期困扰着一些数学家及数学爱好者，但在其不断推理的过程中却推动了数学的发展。如芝诺提出的“二分法”“追龟论”“飞矢不动”“二倍等于一半”四大悖论，其结果荒谬，但推理过程却又似乎合乎逻辑，引起广泛的争论。

根据亚里士多德的记载，芝诺四个悖论的主要内容有以下几点：

1.“二分法”悖论是指运动不存在。芝诺认为一位运动者要想从起点到达终点，在这一运动过程中，他必须要先走到原来路程的一半，才有可能抵达终点，而原来路程的一半还会有它的一半，这样每个一半都有它的一半，如此类推下去，以至无穷，那么运动者连动也不能动。

2.“追龟论”是指阿基里斯（古希腊神话中跑步非常快的人）永远都追不上他前方爬的较慢的乌龟。芝诺提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的乌龟，必须要先追到乌龟爬行的起始位置，每一次当他追到乌龟的起始位置，乌龟又爬到了下一个起始位置，周而复始，纵使阿基里斯速度很快，他却永远追不上乌龟。

3.“飞矢不动悖论”是指射出去的箭矢是不动的。芝诺介绍道，射出去的箭矢在某一瞬间，它占据着一个固定的位置，并且每一个瞬间它都占据着一个固定的位置。运动是位置的变化，而箭矢在飞出之后由于任何时刻都待在一个固定的位置，因而飞矢不运动即飞矢在每个时刻都是静止的。

4.“二倍等于一半”：假定时空由最小不可分单位“瞬时”与“此地”组成有两个物体，一物体在瞬时向左移一个单位，另一物体在这瞬时向右移动一个单位，这样，在这瞬间两物体相距了两个单位。设问，当两物仅仅相距一个单位距离时，它们经历了多少时间呢？回答也只能是一个“瞬时”，结果导致“二倍等于一半”。

本文试图对芝诺悖论中的“二分法”作一些简要的剖析。

芝诺提出的“二分法”就是指出运动是不存在的，推理过程如下：

（a）时空可以无限分割。

（b）AB间存在中点C，AC间存在中点D，以此类推，以至无穷。

（c）为了从A到B，必须通过前面这些越来越小的差距，……■，■，■。

（d）有限的时间内不能通过无穷多个小的差距（这一点为芝诺那个时代的学者所认同）。

（e）运动者动也不能动。

由于（a）—（d）的推理过程是严密的，可以说是无懈可击，由此可以严格地得出结论（e）运动者只能一动不动了。显然结论是荒谬的，与芝诺同一个年代的隐士哲学家第欧根尼听到芝诺这个阐述之后，一反常态，走出长期隐居的大桶，用行动来驳斥芝诺推理中的结论。可以很轻松地用行动反驳芝诺，可是却不能用理论推翻这个结论。那问题出在哪里呢？在上述推理过程中，有两个前提条件：第一个是（a），而（b）（c）是（a）的直接推论，如果（a）错误，则会推出芝诺的的另外两个悖论即“飞矢不动”和“二倍等于一半”；第二个是（d），那问题应该就出现在这里，也就是说，在特定的条件下，有限的时间内是可以通过无穷多个越来越小的差距。假设运动者是匀速运动的，若他走完总路程一半的时间是t，那他走完余下一半路程的一半的时间是■，以此类推，运动者走完总路程的时间为：

T=t+■+■+■+…=t（1+■+■+■+…）

很明显这是一个对无穷多项等比数列求和问题，可以利用等比数列求和公式求出“有限项”的和，然后再对其求和，由此可以求出精确值。即根据a1=1，q=■，可得前n项为：

Tn=■=2t（1-■）

对上式进行求极限可以得出：

T=■Tn=■2t（1-■）=2t

无穷多项的和竟然是有限数，这个式子将有限和无穷两者辩证地统一起来。

无独有偶，一百多年后在遥远的中国，著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，可以看出他对无穷思想的认识非常深刻。整个分割过程实际上是构造了一个无穷递减的等比数列：■，■，■，…■…，分割之前与分割之后的总长度是相等的，因而下面式子显然成立；1=■+■+…+■+…

多么直观、清晰地让人们认识到无穷多项的和可以是有限数，然而若要求■+■+…+■+…的和，同样可以通过先求有限项的和再取极限的方法得出精确值，但很难通过经验或者直观想象得出该式子的精确值。这也就是芝诺那个时代的学者公认为有限时间内不能通过无穷个小差距的原因。当然并不是所有的无穷级数之和都会等于一个有限数，这需要考虑级数的敛散性。如■+■+■+…的和不是等于有限数。

悖论的产生可能引起数学危机，但是通过解决数学危机得以促进数学的发展。本文通过对芝诺悖论中“二分法”的推理过程进行剖析及对“一尺之锤”的分割过程的分析，意识到不能人为地割裂有限和无穷之间的辩证关系。一个整体可以进行无限的分割，而进行无限分割之后的整体在特定的条件下又可以收敛。

参考文献：

［1］郑伟宏.“阿基里斯追龟”辨析［J］.逻辑与语言学习，1982（14）：19-20.

［2］郭龙先，刘秀.“尺棰命题”的悖论何在［J］.广西民族大学学报（自然科学版），2012（18）：7-11.

［3］劉二中.解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞［J］.自然辩证法研究，2005，21（11）：1-4.

［4］韩锐锋，冯炎，郝自军.芝诺悖论分析及极限解释［J］.宁夏师范学院学报（自然科学版），2016，37（6）：106-109.

［5］黄华新.芝诺悖论浅析［J］.逻辑研究文集，2000：142-150.

［6］吕濯缨，曹秀娟.无穷级数概念教学中两个悖论引例的对比思考［J］.河南教育学院学报（自然科学版），2013（4）：54-56.

［7］罗契，郑伟宏.为芝诺悖论一辩［J］.复旦学报（社会科学版），1982（1）：100-105.

［8］洪辛.芝诺悖论与数学危机［J］.自然辩证法研究，1986，2（2）：39-48.

［9］柳燕.芝诺悖论中的无穷思想［J］.科技信息，2012（4）：160.

编辑 冯永霞