以“角的平分线的性质”一课为例谈数学实验创课

刘其武

（福建省厦门集美中学）

学习数学最好的办法是“做数学”.那么“做数学”的含义是什么？对很多人而言，“做数学”就是演练教材上一道又一道习题.但对热爱数学的人而言，“做数学”则是探索数学现象、研究数学规律、解决数学问题的过程.数学实验创课强调“做数学”，就是将抽象的数学转化为直观的实践，让学生感受现象、领悟本质，发现事物的共性或规律，感悟知识的形成过程.

一、数学实验创课的内涵

什么叫创课？有研究指出，创课是一项包括创想法、创教材、创设计、创教学、创反思的综合创新工程.如何进行数学实验创课？笔者认为，基于数学实验的创课是针对特定的学习内容，运用教育技术，借助实验工具（如纸片、剪刀、计算器、计算机软件等工具）创设数学实验，引导学生经历观察、猜想、推理、论证等数学基本活动，以探索、理解、验证数学知识、解决数学问题为主要目的数学课程.

数学实验创课以教材为依据，紧密结合学生的学习需要，鼓励学生以类似科学实验的方式亲身经历知识的发生、发展过程.通过还原知识的形成过程，借助教材中的问题情境，设计实验教学过程，提出动手操作的要求，在实验的基础上再进行严谨的数学推理、论证.其基本步骤如下：（1）给出问题实例，提出问题；（2）完成数学实验，发现规律；（3）描述实验结果，给出猜想；（4）根据实验现象，进行猜想和论证.下面，笔者以“角的平分线的性质”一课的教学为例，谈谈数学实验创课在教学中的应用.

二、数学实验创课教学案例

“角的平分线的性质”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册的内容，是全等三角形知识的运用和延续.本节课重点探索角的平分线的作法及角的平分线的性质，为今后证明两条线段相等提供思路和方法.通过本节课的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养，提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.

1.引导学生在“做”中感受现象，发现问题

探究1：在纸上画一个角，如何得到它的角平分线？

师生活动：学生可以用量角器量，也可以用折纸的方法得到.

追问：如果将纸换成木板、钢板等不方便度量、没办法折的角，又该怎么办？

创课设计1：感受现象.

师：同学们见过角平分仪吗？生活中，工人师傅常常利用这种简易的角平分仪来平分角.

追问：如图1就是角平分仪，你能说说为什么角平分仪能平分角吗？如何利用它平分一个角？角平分仪平分角的原理是什么？如何用数学方法进行证明.

图1

【设计意图】在探索角平分仪工作原理的过程中，让学生体会判断依据是三角形全等的判定方法，为下面用尺规作角平分线做铺垫.

创课设计2：发现问题.

师：如果没有平分角的仪器，如何找到角的平分线呢？我们用数学的作图工具，能不能实现角平分仪的功能呢？请大家试着做一做，找到用尺规作出角平分线的方法，并说明作图方法与角平分仪的关系.

追问：（1）此题中已知条件是什么？要求作的是什么？

（2）角平分仪的两组边相等，即AB=AD，BC=DC.怎样在作图中体现这个过程？

（3）根据角平分仪的制作原理，对作∠AOB的平分线有何启发？

（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？

学生小组交流后，教师请学生代表归纳角的平分线的作法，然后利用几何画板软件动画演示作图过程，并强调尺规作图的规范性.

数学表达：如图2，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

图2

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；

（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；

（3）作射线OC，射线OC即为所求（如图3）.

图3

【设计意图】通过对角的平分线的作法与角平分仪工作原理的比较过程，引导学生体会数学的应用价值.

2.引导学生在“悟”中揭示本质，解决问题

探究2：利用尺规作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质？

师：如图4，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取点P，过点P作OA和OB的垂线，分别记垂足为点D和点E，测量PD，PE的长度，并进行比较，你能得到什么结论？

创课设计3：揭示本质.

师：如图5，在角平分仪上的点C的位置系上两根绳子，绳子的另外两端分别系在AB，AD上.要使绳子用料最省，你认为应该将绳子的两端分别系在AB，AD的什么位置？

图4

图5

教师借助几何画板软件进行动画演示，验证学生得到的猜想是否正确.

【设计意图】以问题为导向，让学生主动参与、亲身体验、自我领悟，从而产生对知识的深刻理解，对技能的深刻感受，对思想方法的切实领会，最终完成对教学目标的顿悟与理解.

追问：（1）让学生先观察所系的两根绳子的长度有什么关系？

（2）由此，你能得出什么结论？

（3）如果改变点C的位置，这个结论还成立吗？同样，如果改变∠BAD的大小呢？

【设计意图】在对上述问题的探究过程中，让学生体会到角平分线上的任意一点到角的两边距离都相等.

猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

追问：这个猜想如何证明？对于这种几何文字命题，证明步骤是什么？

数学表达：①明确命题中的已知和求证；

②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证.

已知：如图4，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.

③ 经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.

证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，

所以∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP.

所以△PDO≌△PEO.所以PD=PE.

追问：你能把角平分线的性质用符号语言来表述吗？

符号语言：因为点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）

所以PD=PE.（角平分线上的点到角两边的距离相等.）

探究3：角平分线的性质有什么作用？如何判断和证明两条线段相等？

创课设计4：解决问题.

师：如图6，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB，交BC于点D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，试作出点E，并给出证明；若不能，试说明理由.

【设计意图】学生在对以上问题的探究过程中，充分体会角平分线性质的作用，经历“实践—猜想—证明—归纳”的过程，体会研究几何问题的基本思路，学会文字语言与符号语言之间的互化和几何问题的推理论证方法.

图6

三、几点思考

分析以上课例，实验创课设计是根据教材的内容，构建让学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的教学环境，让学生自己动手实验操作，探索发现各种结论.在这一过程中把三角形全等作为知识的生长点，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识——角的平分线的性质.这一知识的生长过程是一种主动的探索过程，不仅使新知识找到了牢固的附着点，而且使学生的数学认知结构在这一探索过程中得到发展，为学生的数学关键能力的落地找到了途径和方法.

1.数学实验创课以实践为依托，从现象到本质

本课例中，探究角平分线的性质就是通过数学实验创课让学生亲身经历实验过程，引导学生展开联想、合理猜想，在实验中发现问题、提出问题.

（1）展开联想.

通过设计“角平分仪系绳子”实验，引导学生观察实验现象，在观察中产生由此思彼的联想，联想“如果把绳子的两端分别系在角平分仪边上的什么位置，绳子的用料最省？”这些问题又不是凭空产生的，而是包含在知识形成过程的现象中.

（2）合理猜想.

科学上的许多发现都是凭直觉做出猜想的，而后才去加以证明和验证.在数学研究上，“先猜测后证明”是一种规律.上述课例中，通过“角平分仪系绳子”实验使学生在展开联想的过程中，通过合理猜想发现“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一结论.

2.数学实验创课以问题为基点，从猜想到论证

本课例中，探究角的平分线的作法就是让学生从现象中领悟数学本质，引导学生开展课堂讨论，讲述想法、鼓励质疑，让学生敢说、敢问、敢争辩，培养学生分析问题和解决问题的能力.

（1）讲述想法.

数学实验创课注重让学生讲想法，使学生体会到学习数学不仅是记住结论和模仿做题，而且要学习得到这些结论的途径和方法.例如，在本课例探究角的平分线的作法中，教师让学生在纸上画一个角，然后讲述平分一个角的方法和理由.

（2）鼓励质疑.

学起于思，思起于疑.数学实验创课营造了课堂研讨问题的氛围，激励学生积极、大胆地把自已异于其他学生、教师，甚至教材的想法和见解提出来，即使是浅显的甚至是不正确的，只要敢于质疑，都能培养学生分析问题和解决问题的能力.

总之，数学实验创课是一种全新且非常有效的教学方式.本文主要通过一个教学案例介绍了这种教学方法的设计和应用过程，并且对其设计过程进行了简要分析.期望数学实验创课能够成为教师落实学科关键能力的扶梯和抓手，从而促进学生数学关键能力的形成和发展.