关于煤矿安全检测与控制的数学模型

陈秀武

（兰州文理学院传媒工程学院，甘肃 兰州 730000）

1 符号说明

符号说明：

l-指采煤工作面到出风口的距离

l1-风巷口到出风口的距离

q (x )-单位时间内通过x ＞0 出的瓦斯量（或煤尘量）

ρ( x) -表示x 处瓦斯（或煤层的线密度）

u-表示煤层工作面的移动速度

u (x )-表示t 时单位时间巷道中瓦斯的浓度

w(x )-表示t 时单位时间巷道中煤尘的浓度

v-表示回风巷中的风速即单位时间的排风量

w0-瓦斯的平均线密度

b-巷道侧壁对瓦斯的吸附率

b'-巷道侧壁对煤尘的吸附率

m-为整个待采煤层所含瓦斯总量

s-为巷道的断面积

v-为巷道总空间体积

β-为总风巷道对瓦斯的吸附率

2 模型的建立与求解

2.1 模型假设

1）假设待采煤层中的瓦斯气体均匀分布，采煤工作面释放的瓦斯气体流动，一部分q0从出风口排除，另一部分q被巷道中的侧壁吸附，令；

2）工作面移动的速率为u 风速为v, v＞＞u 将待采煤矿整体近似看作长方体回风巷的长度l1就是煤矿的长度，回风巷口到出风口的距离为l -l1，如图1所示：

3）整体待采煤层所含瓦斯总量M 均匀分布在长为l1的煤矿中，于是瓦斯的平均线密度；

4）设在回风巷中煤壁对瓦斯的吸附率为b，在总回风巷中煤壁对瓦斯的吸附率为β；

5）根据附表2，日产量近似相等，可以认为采煤工作面推移的速度恒定，设t=0 时，在x=0 开始采煤，当时煤被采完。

2.2 建立模型与求解

2.2.1 瓦斯模型

下面分三个阶段进行建模讨论。

1）采煤工作面不动

设单位时间内通过x0处的瓦斯量q (x )，令ρ( x) 为x 处瓦斯的线密度，则

在[x, x+Δx ]这一段煤矿中瓦斯量可以表示为{1}：

图1 模型假设截面图

即

假设ρ( x) 可导，令Δ x→ 0 将上式两边分别求导

再设x0=0 采煤工作面在单位时间内放出的瓦斯量为H 待定顶参数，由假设（1）可知q ( x )=aH从而于是构成

（5）解得：

根据ρ( x) 在l1处连续可知

由（7）解得：

当x =l 时

2）确定煤层在开采过程中任意t ＞0 时刻，单位时间内通过x =l 处的瓦斯量q (l ,t )

由假设2）可知u=常数，t 时刻煤层工作面将在x =ut处，这时（A）中的q (x )、ρ( x) 、H 分别应记为q ( x,t )、ρ( x, t) 、H (t )完全类似于（A）中的ρ( x) 的表达式中的x 替换为x -ut ，H 换为H (t )。即得，

将q (l )中的l1，l 和Η 分别替换为l1t- ut ，l2- ut 和H (t )，得

下面确定H (t )

设t ＞0 时刻x =ut 处，单位时间内煤层推进的长度为u 煤内瓦斯含量H (t )的线密度为w( x,t )故

由（10），（11），（12）三式解得：

令w(0,0)=w0随着t 的增长煤壁吸附巷内的瓦斯含量，致使w(u t ,t )上升，在[t , t+Δt ]内

积分的：

由（15）解得：

3）确定整个待采煤矿开采完时通过x =l 处的瓦斯总量Q，开采完回风巷Ⅰ所围整个煤矿所需的时间

（19）式中的q (l ,t )为单位时间内巷道在出口（x =l ）处排放的瓦斯量，那么采煤工作面单位时间内产生的瓦斯量减去向外排放的瓦斯量，即为留存在巷道中的瓦斯量。在采煤工作面上单位时间产生的瓦斯量它与单位时间内的采煤量成正比，

任意时间风巷中瓦斯的浓度为：

u (t ) 表示在t时刻单位时间巷道中瓦斯的浓度

2.2.2 煤尘模型

同理，煤尘的浓度模型与瓦斯的模型相似，设w( t )表示在t时刻单位时间巷道中煤尘的浓度。只是巷道侧壁对其的吸收率不同。

3 模型评估

本模型考虑了风巷道侧壁对瓦斯和煤尘的吸附作用。模型主要以风速v以及采煤率 dm/dt为变量，u（t）和w（t）表示单位时间的浓度，它们都是风速（单位时间的排风量）的函数。只要适当控制巷道中的风速，即可控制井下的瓦斯浓度和煤尘浓度。所以本模型既是监测模型又是控制模型。