基于FRFT的Wigner-Ville分布交叉项抑制方法

(合肥工业大学 电气与自动化工程学院，安徽 合肥 230009)

线性调频信号是一种特殊的非平稳信号，广泛应用于通信、雷达、声呐和地震勘探等系统中[1]。对于非平稳信号，时频分析能清楚地描述信号频率随时间变化的关系。目前，常用的时频分析方法有短时傅里叶变换[2-3]、魏格纳-维尔分布(Wigner-Ville Distribution,WVD)[4-5]、分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)[6-7]等。

WVD因其具有良好的时频聚集性和时频边缘特性成为重要的时频分析方法之一。多分量线性调频信号WVD存在交叉项干扰，不利于对信号的时频分析。因此，多分量线性调频信号WVD的交叉项抑制是时频分析的研究热点之一[8-9]。文献[10]在实际信号分析过程中提出了一种自适应核时频分析方法抑制交叉项，但其中的时窗宽度和核函数体积这两个关键参数难以确定。文献[11]根据自项和交叉项在频域上的差异及FRFT时频旋转性，在旋转变换域上对多分量线性调频信号低通滤波处理，消除交叉项，该方法在信号参数未知时需要提前估计多个参数。文献[12]提出了一种基于变分模态分解的WVD交叉项抑制方法，该方法需知被分解信号的频域特性才能完成信号频带的自适应分解，不适合频域特性未知的多分量线性调频信号。

为了抑制多分量线性调频信号WVD存在的交叉项，本文提出在FRFT域上对信号进行分解，将多分量信号分解为多个单分量信号，叠加各单分量信号的WVD即可抑制交叉项。所提出的方法不仅可以抑制交叉项对时频分析的影响，而且在保持较高的时频分辨率的同时具有一定的抗噪能力。

1 线性调频信号的WVD和FRFT

1.1 线性调频信号的WVD

WVD具有很好的时频聚集性，可得到时频域的局部特征，多用于非平稳信号的分析处理。信号的WVD定义为信号x(t)的局部相关函数Rx(t,τ)做关于时延τ的傅里叶变换[4-5]，即

(1)

虽然WVD方法比其他的时频分布更适合线性调频信号，但是WVD变换的双线性导致多分量信号存在交叉项干扰。例如，两分量的线性调频信号x(t)=x1(t)+x2(t)的WVD为

Wx(t,f)=Wx1(t,f)+Wx2(t,f)+Wx1,x2(t,f)+Wx2,x1(t,f)

(2)

式中，等号右边前两项Wx1(t,f)、Wx2(t,f)称为自项，即x1(t)、x2(t)理想的时频分布；后两项Wx1,x2(t,f)、Wx2,x1(t,f)称为交叉项，即WVD双线性引起的干扰。

1.2 线性调频信号的FRFT

信号x(t)的FRFT的定义[6]为

(3)

其中，FRFT的变换核Kp(t,u)为

Kp(t,u)=

(4)

Xp(u)的逆变换为[6]

(5)

单分量线性调频信号的时频分布如图1所示，线性调频信号在最佳分数阶域中呈现出能量聚集[13]。

图1 线性调频信号的时频分布

2 基于FRFT的WVD交叉项抑制方法研究

由于多分量信号的WVD存在交叉项，提出了基于FRFT的WVD交叉项抑制方法，此方法的流程如图2所示，具体实现过程见本节内容。

图2 基于FRFT的WVD交叉项抑制方法流程图

2.1 多分量信号FRFT的最佳变换阶次

线性调频信号的FRFT在能量聚集时的变换阶次p和在FRFT域中位置u由对Xp(u)的能量的最大似然估计得到。

(6)

式(6)是二维搜索，计算量大,采用由粗略到精确的最大幅值算法[14]可以减少其计算量。对原信号进行最佳变换阶次p1的FRFT，如式(7)所示。

Xp1(u)=Sp1(u)+Wp1(u)

(7)

式中，Sp1(u)为线性调频信号的FRFT;Wp1(u)为噪声的FRFT。单分量信号的能量绝大部分集中在p1阶次FRFT域以u1为中心的窄带内，而噪声和其他信号分量不会呈现出明显的能量聚集[13]。

在分数阶为p1的FRFT域内使用窄带滤波器滤除单分量信号，即

=Sp1(u)M(u)+Wp1(u)M(u)

(8)

式中，M(u)为中心频率为u1的窄带带阻滤波器。

若剩余信号的幅值不低于设定的阈值，重复上述过程，直到剩余信号的幅值低于设定的阈值，即求得多分量线性调频信号的每一个分量的最佳变换阶次为p={p1,p2,…,pN}，及其在相应的FRFT域中u轴的值为u={u1,u2,…,uN}。

2.2 多分量信号WVD交叉项抑制方法

提出一种多分量线性调频信号的WVD交叉项抑制方法，首先将多分量线性调频信号在FRFT域中使用窄带带通滤波器提取固定调频斜率的信号，得到多个单分量线性调频信号；再计算单分量线性调频信号的WVD；最后将结果线性叠加即可得到抑制交叉项后的信号时频分布。

多分量线性调频信号WVD交叉项抑制方法具体步骤如下：

① 根据2.1节获得的多分量线性调频信号的最佳变换阶次估计方法估计p={p1,p2,…,pN}、u={u1,u2,…,uN}；

② 分别对原多分量线性调频信号进行pi阶次的FRFT，得到Xpi(u)；

⑤ 分别对单分量信号xi(t)进行WVD，再线性叠加即可得到原信号的WVD。

(9)

3 仿真验证以及改进处理

3.1 仿真验证

在Matlab中对多分量线性调频信号进行仿真，验证本文方法的有效性和适用性。选择平行多分量线性调频信号和非平行多分量线性调频信号作为仿真对象。

仿真实验通过与Choi-Williams分布(CWD)[2]、自适应核时频分布[10]方法对比，验证所提出的基于FRFT的WVD方法抑制交叉项的效果。

多分量线性调频信号模型为

(10)

式中，fi为线性调频信号的起始频率；ki为调频斜率；w(t)为噪声信号；信噪比(Signal Noise Ratio， SNR)为6 dB；信号总长度为10 ms；采样频率为50 MHz。

3.1.1 平行多分量线性调频信号

平行多分量线性调频信号仿真参数设置如表1所示，时频曲线对比图如图3所示。

表1 平行多分量线性调频信号仿真参数表

图3 平行多分量线性调频信号时频曲线对比图

图3中，WVD时频曲线(图3(a))信号之间存在明显的交叉项；CWD时频曲线(图3(b))仍存在部分交叉项，且时频分辨率较差，信号时频分析可读性差；自适应核时频分析方法的时频曲线(图3(c))抑制了部分交叉项，但是时频分辨率仍然不高；基于FRFT的WVD时频曲线(图3(d))中，交叉项得到抑制，时频分辨率高，时频分析可读性好。通过与CWD、自适应核时频分析方法对比可知，所提出的方法可对平行多分量线性调频信号进行时频分析，且抑制WVD的交叉项的效果明显。

3.1.2 非平行多分量线性调频信号

非平行多分量线性调频信号仿真参数设置如表2所示，时频曲线对比图如图4所示。

表2 非平行多分量线性调频信号仿真参数表

图4中，WVD时频曲线(图4(a))交叉项严重；由CWD时频曲线(图4(b))可知，CWD只抑制了部分交叉项，无法抑制信号在时频平面上间隔较小时出现的交叉项，信号的时频分析可读性差；由自适应核时频分析方法的时频曲线(图4(c))可知，无法抑制交叉点处的交叉项；基于FRFT的WVD的时频曲线(图4(d))中，充分抑制交叉项的干扰，时频分析可读性好。通过与CWD、自适应核时频分析方法对比可知，所提出的方法可对非平行多分量线性调频信号进行时频分析，抑制WVD的交叉项的效果明显。

图4 非平行多分量线性调频信号时频曲线对比图

3.2 改进过程

当仿真信号为调频连续波信号时，采用所提出的方法仍存在交叉项干扰。根据所提出的方法理论推理及调频连续波信号的周期特性，分析得到分解后的单分量信号周期之间存在影响。针对这一问题，先估计调频连续信号的周期，再将分解后的信号在时域按周期遮蔽处理，避免其他周期对本周期的信号影响。经过改进，有效解决了调频连续波的WVD时频分布交叉项的问题。

调频连续波信号模型为

(11)

式中，mod(·)为取余运算；T为周期。

调频连续波信号以锯齿波为例，仿真取3个周期的锯齿波。参数设置为：调频斜率为1 MHz·s-1，周期T为10 ms，SNR为6 dB,采样频率为50 MHz。

锯齿波线性调频信号时频曲线对比如图5所示。其中，CWD时频曲线(图5(a))虽然交叉项得到了抑制，但是牺牲了时频分辨率；自适应核时频曲线(图5(b))受到了信号的周期干扰并且时频分辨率不高；基于FRFT的WVD时频曲线(图5(c))中，交叉项得到了抑制，并且时频分辨率高，但是受到了信号的周期干扰；改进的基于FRFT的WVD时频曲线(图5(d))无交叉项干扰、时频分辨率高，并且消除信号的周期干扰。

图5 锯齿波线性调频信号时频曲线对比图

3.3 抗噪性能

为了研究所提出的基于FRFT的WVD时频分布抗噪性能，在高斯白噪声环境下，以仿真实验中的平行多分量线性调频信号为对象，采用WVD、CWD、自适应核时频分析和基于FRFT的WVD方法估计调频斜率，并计算其均方误差(Mean Square Error,MSE)，MSE的计算公式为

(12)

在不同SNR情况下进行500次Monte-Carlo实验，随SNR变化的曲线如图6所示。

图6 估计调频斜率k的均方误差

从图6可知，由于WVD方法对信号以及噪声间产生的交叉项不具有抑制作用，其MSE小于CWD、自适应核时频分析和本文方法。CWD、自适应核时频分析与本文方法相比，所提出的基于FRFT的WVD具有更强的抑制交叉项的能力，在低信噪比情况下仍可取得不错的估计精度。

4 结束语

针对多分量线性调频信号WVD存在交叉项和噪声干扰问题，提出了一种基于FRFT的多分量线性调频信号WVD的交叉项抑制方法。通过多分量线性调频信号在FRFT域的时频聚集性将其分解为多个单分量信号，线性叠加每一个单分量信号WVD，即可抑制交叉项。仿真结果表明,对于多分量线性调频信号，该方法能够有效抑制交叉项，且具有一定的抗噪性能。在实际过程中，例如雷达的发射信号为调频连续波信号，受信号周期性影响无法滤除周期间的交叉项，本文进一步提出在基于FRFT的WVD中增加周期遮蔽处理，改进后可以有效解决该问题。本文的研究对提取多分量线性调频信号的调制域的特征信息具有积极的意义。