网络控制系统丢包稳定性研究

王耀庆，孙建平

（华北电力大学，河北 保定 071003）

0 引言

网络控制系统（NCS）指的是由网络组成的一个闭环的反馈控制系统[1]。它是一种全分布式、网络化的实时反馈控制系统，是某个区域现场传感器、控制器以及执行器和通信网络的集合，提供设备之间的数据传输，使该区域内不同地点的用户实现资源共享和协调工作[2]。网络控制系统在众多应用领域给人们带来了十分巨大的便利，但它也有一些不足的地方，而正是这些问题阻碍了它的进一步发展，所以为了解决这些问题使网络控制系统更好地服务于人类，关于其相关内容的研究是很有意义的。本文将在忽略网络诱导时延的影响下，对网络控制系统中的数据包丢失情况进行模型建立，并对其稳定性问题进行分析研究。

1 网络控制系统的数据包丢失

1.1 数据包丢失的原因

网络拥塞、时序错乱和宽带限制是网络控制系统中数据包发生丢失的主要原因[3]。其中，宽带限制指的是在因特网发生拥塞期间，TCP 信源和响应数据流按照网络中要求的数据包丢失率调整自己的发送速率，而无响应的数据流不能降低其发送的数据速率。这种极度不平衡情况可能导致带宽的严重短缺，甚至导致拥塞的雪崩式发生。

1.2 数据包丢失的解决策略与方法

图1 单个数据包丢失的网络控制系统图Fig.1 Network control system diagram for single packet loss

当前对于网络控制系统中的数据包丢失的解决策略与方法主要应用的是抑制丢包的产生和修复丢失的数据包。其中，抑制丢包的产生的这种方法应用较多，本文的研究也是基于这种情况的。可以这样理解，对于数据包丢失的发生是大家不想看到的，但是它的发生在现有的技术水平下是无法避免的，但是可以尽量做到使这种丢包现象较少地发生，而不是想在之后怎么弥补其发生带来的影响。当然，对于其确实发生的情况下还是要用修复数据包的这种方法来降低它的影响的。

2 网络控制系统数据包丢失的稳定性分析

现在，对网络控制系统丢包问题的分析可以分成两个大类：第一类是随机方法。比如，假定网络的数据包丢失规律满足某个概率的分布情况，再用伯努利随机数列或者马尔科夫链来刻画系统的不确定丢包行为；第二类是确定性模型的方法。这种办法的做法是，首先要把存在数据包丢失的网络控制系统建模为切换系统，而后再借助切换系统的丰富理论，对有着随机数据包丢失的网络控制系统进行稳定性分析[4]。本章应用的是第二类方法对带有丢包的NCS 进行建模与稳定性的分析。

2.1 单数据包丢失的网络控制系统的模型建立

网络控制系统的反馈形式分为状态反馈和输出反馈，数据包丢失的状况可以分为单个数据包丢失和多个数据包丢失，本节只考虑状态反馈下具有单个数据包丢失的情况，其NCS 结构图如图1 所示。

被控对象的离散化模型为：

离散控制器为：

其中，x(kh)为传感器数据经由网络达到控制器端的输入信号。

开关置于S1 时，就是包含x(kh)的单个数据包传输成功，那么这种情况下有S1：x(kh)=x(kh)。开关置于S2 时，表示含有x(kh)的单个数据包丢失，那么在这种情况下往往会使用这样的一种方法，用上一个传输值来代替这一次丢失的单个数据包，即S2：x(kh)=x((k-1)h)。

接下来定义一个全新的变量z(kh)，使其满足z(kh)=然后利用式（1）和式（2）可以得到一个具有单个数据包丢失影响下的网络控制系统的模型：

其中，S=1，2。在式（3）中，当开关打到并处于S1 时，S=1；当开关打到并位于S2 时，S=2。结合式（1）、式（2）和z(kh)可以计算得出

2.2 单数据包丢失的网络控制系统的稳定性分析

对于一个网络控制系统而言，系统本身对数据包的丢失是有一定的承受能力的。因此，需要计算能保证系统稳定的丢包率界限（1-r）（其中r 表示系统的传输率）[5]。

定理1 考虑图1 所描述的单个数据包传输系统，假设数据包从被控对象x(kh)传输到控制器的传输率为r（即丢包率为1-r），假若以下李雅普诺夫函数V(x(kh))=xT(kh)Px(kh)以及标量α1，α2存在，并且符合以下的要求：

那么，就可以认为这个网络控制系统能够保持它的指数稳定性。

为了检验定理1 所述的关于网络控制系统的稳定性的判定，考虑如下的一个时间连续的被控系统

此系统采样周期是0.2954S，u(kh)=-Kx(kh)，k=[3.7495,11.4996]。利用定理1 来确定当传输效率为0.6995 时，这个有一定丢包率的网络控制系统模型稳定性是否正常。

首先把这个连续的系统离散化处理，计算求出Φ 和ΓΚ

图2 系统仿真输出曲线图Fig.2 System simulation output graph

由于这个系统是一个单个数据包传输的网络控制系统，对于图1 描述的模型，将上述计算所得到的Φ 和ΓΚ 带入Φ1和Φ2，并且利用定理1，从而求得了满足公式（4）的α1和α2以及P 如下所示：

这3 个参数的存在可以说明当传输速率为0.6995 时，即丢包率为0.3005 的时候，系统仍能保持稳定。

为了更进一步了解该系统的稳定性，用MATLAB 来构造这个网络控制系统的模型，并进行仿真，仿真结果如图2 所示。

由图2 能够看出，控制系统的性能受到了影响，但是这个控制系统并没有失衡。

3 结语

本文首先介绍了网络控制系统数据包丢失的原因与解决策略和方法，然后应用确定性模型的方法，在忽略网络诱导时延对系统影响的情况下，构造起拥有单数据包丢失的离散化网络控制系统的模型。针对这个模型给出了判断网络控制系统稳定性的定理，并通过计算与仿真证明了给出的数据包丢失率确定情况下的模型的稳定性，从而确定了定理的可靠性。本文建立的网络控制系统模型均是在对象为线性定常系统的基础上建立的，如果被控对象的模型已知并且为线性定常系统，都可以采用本文所提及的模型。