在线投资组合选择的半指数梯度策略及实证分析

吴婉婷 朱燕 黄定江

摘 要：针对传统投资组合策略的高频资产配置调整产生高额交易成本从而导致最终收益不佳这一问题，提出基于机器学习与在线学习理论的半指数梯度投资组合（SEG）策略。该策略对投资期进行划分，通过控制投资期内的交易量来降低交易成本。首先，基于仅在每段分割的初始期调整投资组合而其余时间不进行交易这一投资方式来建立SEG策略模型，并结合收益损失构造目标函数;其次，利用因子图算法求解投资组合迭代更新的闭式解，并证明该策略累积资产收益的损失上界，从理论上保证算法的收益性能。在纽约交易所等多個数据集上进行的仿真实验表明，该策略在交易成本存在时仍然能够保持较高的收益，证实了该策略对于交易成本的不敏感性。

关键词：机器学习;在线学习;投资组合选择;半指数梯度策略;因子图

中图分类号： TP301.6

文献标志码：A

Semi-exponential gradient strategy and empirical analysis for online portfolio selection

WU Wanting1*， ZHU Yan1， HUANG Dingjiang2

1.School of Science， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China ;

2.School of Data Science and Engineering， East China Normal University， Shanghai 200062， China

Abstract： Since the high frequency asset allocation adjustment of traditional portfolio strategies in each investment period results in high transaction costs and poor final returns， a Semi-Exponential Gradient portfolio （SEG） strategy based on machine learning and online learning was proposed. Firstly， the SEG strategy model was established by adjusting the portfolio only in the initial period of each segmentation of the investment period and not trading in the rest of the time， then a objective function was constructed by combining income and loss. Secondly， the closed-form solution of the portfolio iterative updating was solved by using the factor graph algorithm， and the theorem and its proof of the upper bound on the cumulative loss of assets accumulated were given， guaranteeing the return performance of the strategy theoretically. The experiments were performed on several datasets such as the New York Stock Exchange. Experimental results show that the proposed strategy can still maintain a high return even with the existence of transaction costs， confirming the insensitivity of this strategy to transaction costs.

Key words： machine learning; online learning; portfolio selection; semi-exponential gradient strategy; factor graph

0 引言

投资组合选择即在不确定环境下作出决策，选择最优的资产组合进行投资，涉及传统金融理论、量化金融[1-3]、机器学习[4-6]和人工智能[7-10]等多个领域。在线投资组合选择[11-12]是指不考虑价格所遵循的任何模型，仅基于当前信息，且对未来信息不作任何统计假设的前提下，通过设计合理的在线学习算法序贯地构造投资组合的在线决策问题。经典的投资组合策略大多建立在金融市场不存在交易成本这一假设下，而交易成本作为市场中的核心因素之一，几乎存在于所有的金融贸易当中，投资者面对交易成本时的投资策略也会有极大的不同，因此基于这一假设的策略在实际应用中的效果往往并不可观，而投资者如何在交易成本存在的情况下进行交易决策仍然是一个重要的问题。

为解决交易成本存在时的决策问题，本文基于传统的指数梯度（Exponential Gradient， EG）策略，结合在线算法和竞争分析的思想，提出了半指数梯度（Semi-Exponential Gradient， SEG）策略，通过权衡交易所带来的成本与所获得的收益，对是否进行交易作出决策;其次，建立收益比例度量投资组合向量的累积损失程度，并在多个金融市场的数据集上进行了仿真实验。

1 相关工作

投资组合选择依据其遵循的根本原则，大致分为以Markowitz均值方差理论[13]为基础的静态情况研究与基于Kelly资本增长理论[14]的动态情况研究。后者关注多期或者序列投资组合选择的在线决策方式与机器学习中的在线学习一致，因此基于在线学习的各种算法在投资组合选择中得到了广泛的研究。

尽管基于上述理论的投资组合选择策略具有不同的适用条件与优点，但多数没有考虑交易成本的存在。近年来，一些在线投资组合的研究者试图去解决交易成本[15-17]的问题。现有的关注于交易成本的在线投资组合策略大致可以分为以下两种类型：

1）在每个投资期都进行资产配置调整，即在每个投资期都对投资组合向量进行调整。该策略关于交易成本的处理主要分为两种：

一种是通过在损失函数中增加交易损失项，利用范数正则项来度量交易量的大小，如在线懒惰更新 （Online Lazy Updates， OLU）[18]，该策略通过优化模型中参数的稀疏，采用懒惰更新来调整投资组合向量以控制交易成本。除此之外，还有一些策略采用成比例支付交易成本的方式，依据资产所占权重来支付交易成本，如泛化投资组合 （Universal Portfolio， UP）[19-20]。尽管这些算法在一些数据集上实现了较好的结果，但是它们在整个投资期内的交易成本总量仍旧很高，这是由于此类策略在每个投资期都进行了资产配置的调整，而这并不总是必要的。

2）只在有限的投资期内进行资产配置调整，即只在某些选定的时间节点进行资产配置调整，在制定交易策略时考虑交易成本的影响，控制交易次数，依据预测的交易收益与交易成本对是否交易作出决策，从而有效控制策略的交易成本总量，如半常数再平衡投资组合（Semi-Constant Rebalanced Portfolios， SCRP）[21-23]、半泛化投资组合（Semi-Universal Portfolios， SUP）[24]。

本文提出的SEG策略采用动态的投资组合向量更新规则，与在交易期内采用固定不变的向量进行投资的SCRP策略相比，能够获得更高的收益，且更加符合变化的金融市场;此外，SEG策略利用指数函数进行投资组合向量更新，解决了SUP策略中由于存在积分计算而导致求解困难的问题。

2 半指数梯度策略问题描述

2.1 基本定义

考虑金融市场中一个具有m类资产、n个交易期的投资任务。第t个交易期各类资产的价格表示为 p t=（p1t， p2t， …， pmt）∈ R m+， pit代表第i类资产的收盘价格， R m+为m维正实数向量構成的特殊集合。资产价格的变动由相对价格向量 X t=（x1t，x2t，…，xmt）∈ R m+表示，其中xjt=pjt/pjt-1表示第j类资产在第t个交易期的收盘价格与第t-1个交易期的收盘价格的比值。记n个交易期的相对价格序列为 X n=[ X 1， X 2，…， X n]。

第t个交易期初，依据投资组合向量 b t=（b1t， b2t，…， bmt）∈ R m+在m类资产中分散全部的资本，bjt表示第j类资产的投资比例。本文假设投资组合满足 b t∈Δm， Δm= {  b t： bjt≥0， ∑ m j=1 bjt=1 } ，即投资任务为自筹资金，且没有保证金以及卖空的情况出现。记n个交易期的投资组合向量为 B n=[ b 1， b 2，…， b n]。

第t个交易期内，投资组合 b t的收益增长了st倍，增长比率st= b t· X t=∑ m j=1 bjtxjt。在不考虑交易成本存在的情况下，n个交易期后，投资组合策略 B n得到的累积收益Sn相比初始资产的增长比例为∏ n t=1  b t· X t，即Sn（ X n）=S0∏ n t=1  b t· X t，其中S0表示初始资产。

投资者的目标是设计投资策略 B n以最大化累积收益Sn，通常依据价格的历史信息，序贯地进行投资决策。具体来说，在第t个交易期，投资者依据此前的历史相对价格向量，决策一个新的投资组合向量 b t，并基于此产生该交易期内的收益st，重复该过程直至交易期结束，依据最终的累积收益对策略进行评判。

2.2 交易成本

设交易成本比率为c（0≤c≤1），即每交易一单位资产的净收益为1-c。第t个交易期结束时第i类资产的交易成本Cit=stc |  it-bit+1 | ，其中 it= bitxit  b t· X t 表示第t个交易期结束、（t+1）个交易期未开始时第i类资产的比例，   t=[ 1t， 2t，…， mt]为该时刻对应的投资组合向量， b t+1=[b1t+1，b2t+1，…，bmt+1]为第（t+1）个交易期初的投资组合向量。故第t个交易期结束时的交易成本为Costt= C t· e ，其中 C t=[C1t，C2t，…，Cmt]，  e =[1，1，…，1]，则该交易期内的净收益为sct=st-Costt。n个交易期后投资组合策略 B n在有交易成本情况下的累积净收益为Scn（ X n）=S0∏ n t=1 sct。

2.3 EG策略

在给出本文的SEG策略之前，先对EG策略[25]进行简要的介绍。EG策略的核心思想是追踪前一交易期表现好的投资组合，并通过一个正则项来保持之前投资组合的信息。EG考虑如下优化问题：

b t+1=arg maxηlog（ b · X t）-R （ b ， b t）

其中：R（ b ， b t）表示正则项;η>0表示学习率。第一项的目的是最大化对数资产收益;

第二项为正则项，趋向于使投资组合向量 b t+1接近于 b t。学习率η控制这两者的相对重要性。

EG策略采用相对熵作为正则项，投资组合向量的更新法则为：

bit+1= 1 Zt  bitexp  ηxit  b t· X t

其中Zt=∑ m i=1 bitexp  ηxit  b t· X t  是一个标准化，保证 b t+1∈Δm。

3 半指数梯度策略

3.1 策略思想

在介绍SEG策略模型之前，先通过一个虚拟市场的实例来阐述策略的核心思想以及优势。假设当前的金融投资市场由两只股票组成，考虑其中连续的5个投资期。在该投资期内，两只股票的相对价格向量分别为[3，3，3，1/3，1/3]和[2/3，2/3，2/3，3/2，3/2]，交易成本比率c=0.05，初始投资策略 b 0=[1/2，1/2]，初始投资金额S0=1。EG策略在每个投资期都会进行资产配置调整，而SEG策略会对交易成本与交易当期所能获得的收益进行权衡，当交易成本大于收益时避免交易，反之则利用EG策略进行投资组合调整。这便是离线SUP策略的思想。表1给出了利用Matlab模拟后各个投资期内的交易成本与净收益。

从表1可以观察到，SEG策略通过避免不必要的交易，能够获得更高的累积资产收益。当然该计算结果是在已知完整的市场价格序列情况下求解的离线最优值。尽管这是一种能够“预知未来”的理想情况，但仍然能够基于竞争性算法的思想完成在线SEG策略的建模，并结合因子图算法对其进行求解，下面将对此作更为详尽的介绍。

3.2 SEG策略模型建立

本节给出SEG策略的竞争性算法，该算法基于历史信息来选择进行交易的时间节点，当交易成本大于投资收益时不进行交易，即只在有限多个投资期内进行投资组合调整。

首先，考虑将整个投资期划分为k+1个不同的时间段，只在每个时间段的初始进行一次交易，分割区间内的其余时期均不进行交易。将划分的k+1個时间段序列和每个时间段初始的投资策略称为k分割。假设存在一个特定的k（0≤k

{ X t0，…， X t1-1}，{ X t1，…， X t2-1}，…，{ X tk，…， X n}

SEG策略只在时间节点（t1，t2，…，tk）处利用EG策略进行投资组合调整，得到 b ti（i=1，2，…，k），其余时间点不进行交易。特别地令t0=1，tk+1=n+1，初始投资组合向量 b t0=（1/m，1/m，…，1/m）。

SEG策略第i个时间段的最后一个交易期为ti-1，它在此时间段的累积资产收益为：sti-1=∏ ti-1 t=ti-1  b ti· X t（i=1，2，…，k），其中ti点处的投资组合策略 b ti利用下式进行计算：

bjti= 1 Zti-1  bjti-1exp  ηxjti-1  b ti-1· X ti-1

其中：Zti-1=∑ m j=1 bjti-1exp  ηxjti-1  b ti-1· X ti-1  为一个标准化;bjti-1= bjti-1∏ ti-1 t=ti-1 xjt  b ti-1· （ti-1 t=ti-1  X t ）  是第ti-1个交易期第j类资产的权重;表示逐元素相乘。

设第i个时间段的交易成本为Costti-1，则该时间段内的净收益为scti-1=sti-1-Costti-1， n个交易期后的总净收益：

Sc（ X n |  B k，Tk，n）=∏ k i=0  [（ ∏ ti+1-1 t=ti  b ti· X t ） -Costti+1-1 ]

它是在路径Tk，n和投资组合 B k=[ b t1， b t2，…， b tk]条件下的总收益。

为了确定最佳策略，在这个竞争类算法中考虑全部的路径与投资组合，其中包括基于事先观测整个相对价格序列而选择的使得累积资产收益最大的最优路径T*k*，n，即Sc（ X n |  B *k，Tk*，n*）=sup Tk，n  Sc（ X n |  B k，Tk，n）。本文的优化目标即为在此分割框架之下构造序列投资组合，使得其累积收益尽可能大，即尽可能地接近最优路径下所实现的收益sup Tk，n  Sc（ X n |  B k，Tk，n）;从另一个角度来看即为序列地构造投资组合 B    ^   n=（   1，   2，…，   n），使得最优路径下的收益与该投资组合收益之间的比值尽可能地小。

因此，优化目标为最小化两者的投资收益比率：

Rc B k=sup  X n  sup Tk，n  Sc（ X n |  B k，Tk，n） S   ^   c（ X n |  B    ^   n）

其中，S   ^   c（ X n |  B    ^   n）=

∏ n t=1 （ b    ^   t· X t-Costt）是 b    ^   t所实现的累积资产收益。这里 b    ^   t是严格的序列投资组合，即 b    ^   t是 X 1， X 2，…， X t-1的一个函数，它并不取决于未来的相对价格向量。在下文中还将证明， b    ^   t不依赖于Tk，n，k，n的先验知识，即对于任何的Tk，n都可以构造一个序列投资组合 B    ^   n=（ b    ^   1， b    ^   2，…， b    ^   n），使得其累积资产收益尽可能地接近最优分割下得到的收益。

对投资收益比率Rc B k取对数得到：

Loss=log Sc（ X n |  B k，Tk，n）-log S   ^   c（ X n |  B    ^   n）

则优化目标改写为在所有的分割中得到使SEG策略累积资产收益损失最小的序列投资组合。损失定义为SEG策略的对数收益与序列投资组合对数收益之间的差值。下面对SEG策略进行求解，给出算法的伪代码，并证明对于一个给定的SEG策略 b ti（i=1，2，…，k），算法的损失为O（klog（n））。

3.3 投资组合序列更新算法

下面考虑如何求解序列投资组合 b    ^   t。由于3.2节定义的SEG策略对于给定的n和k存在Ckn-1个可能的交易路径Tk，n，然而在不知道关于未来价格信息的情况下，无法确定最优的参数k。若依次执行这2n-1个不同的交易路径，最后在所有交易路径中找到最佳的那一个路径，算法的复杂度将会很高。因此考虑利用因子图算法[26-27]进行求解，因子图是在线学习中的一个经典算法，它根据资产的不同状态进行划分，并将资产之间的迭代关系以递推关系图的形式描述出来，其中，每一条路径相当于是一个专家意见，对这些专家意见采用K-T权重的集成作为最终结果的一个近似估计。

由于S   ^   c（ X n |  B    ^   n）=∏ n t=1  S   ^   c（ X t |  B    ^   t） S   ^   c（ X t-1 |  B    ^   t-1） =∏ n t=1  b    ^   t· X t，故為了求解序列投资组合 b    ^   t，先计算比例式 ：

S   ^   c（ X t |  B    ^   t） S   ^   c（ X t-1 |  B    ^   t-1） 。

利用因子图进行求解的过程如下，如图1所示，在时刻t将所有可能的路径Tk，t（k=1，2，…，t-1）看成t交叉集。标记资产最后一次交易的时间状态为vt，最后交易时间点相同的资产具有相同的状态，则对于给定的t，资产最多有t个状态vt=1，2，…，t。

定义t时刻状态vt下第j类资产的收益为S   ^   ct（ X t，vt， j）（j=1，2，…，m），则该时刻下所有状态对应的资产收益之和为总体累积收益。因子图中的每一个方格即表示某一状态vt对应的资产S   ^   ct（ X t，vt， j）（j=1，2，…，m）。由图1可知，从某一状态开始继续形成新的路径仅有两种转换：横向的路径表示上一时刻和该时刻处于同一分割，即没有进行交易;倾斜的路径则表示处于不同分割，即发生了交易。

没有交易发生时，在t-1时刻以状态vt-1=v结束的所有路径，在时刻t仍以该状态vt=v结束。状态vt-1=v（v=1，2，…，t-1， j=1，2，…，m）所对应的资产收益S   ^   ct（ X t，v， j）即为S   ^   ct-1（ X t-1，v， j）乘以相对价格xjt以及状态转化概率Pkt（vt=v | vt-1=v）。累积资产收益为：

S   ^   ct（ X t，v， j）=

Pkt（vt=v | vt-1=v）S   ^   ct-1（ X t-1，v， j）xjt

（1）

如果在时刻t发生了交易，即开始了一个新的分割vt=t。由于从t-1时刻的状态vt-1=1，…，t-1产生t时刻的新状态vt=t存在t-1个可能的交易路径，即图1中每条倾斜向上的路径，且每条路径上均发生了投资组合向量调整，此时S   ^   ct（ X t，t， j）的计算公式为：

S    ^   ct（ X t，t， j）=

∑ t-1 v=1  （ ∑ m r=1 S   ^   ct-1（ X t-1，v，r） ） Pkt（vt=t | vt-1=v）bjtxjt

（2）

将全部状态的结果相加得到该时刻下的总体累积收益：

S   ^   c（ X t |  B    ^   t）=∑ Tk，t P（Tk，t）S   ^   c（ X t |  B    ^   t，Tk，t）=

∑ t v=1 ∑ m j=1 S   ^   c（ X t，v， j）=

∑ t v=1 ∑ m j=1 S   ^   ct-1（ X t-1，v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）· X t

其中 e j=[0，0，…，0，1，0，…，0]。因此可知：

S   ^   c（ X t |  B    ^   t） S   ^   c（ X t-1 |  B    ^   t-1） = ∑ t v=1 ∑ m j=1 S   ^   ct（ X t，v， j） ∑ t-1 v=1 ∑ m r=1 S   ^   ct-1（ X t-1，v，r） =

∑ t-1 v=1 ∑ m j=1 σct-1（v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）· X t

其中：

σct-1（v， j）= S   ^   ct-1（ X t-1，v， j） ∑ t-1 v=1 ∑ m r=1 S   ^   ct-1（ X t-1，v，r）

因此：

b    ^   t= ∑ t-1 v=1 ∑ m j=1 σct-1（v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）

（3）

其中 b t表示EG策略，算法在每个时刻t的复杂度为O（tm）。

SEG策略如算法1所示。

算法1

SEG策略。

输入

相对价格向量 X n;

输出

序列投资组合 b    ^   t。

程序前

1）

初始化： b 1=（1/m，1/m，…，1/m），S   ^   c0（0，0，：）= b 1

2）

fo r t=1 to N

3）

计算该交易期内资产收益：   t· X t

4）

fo r v=1 to t-1

5）

fo r j=1 to m

6）

式（1）计算没有交易发生的资产收益：

S   ^   ct（ X t，v， j）

7）

fo r v=1 to t-1

8）

fo r j=1 to m

9）

式（2）计算发生交易的资产收益：

S   ^   ct（ X t，t， j）

10）

式（3）更新序列投资组合向量：   t

程序后

3.4 SEG策略收益理论保证：

下面给出该策略收益性能的理論保证，即证明对于一个给定的SEG策略 b t（i=1，2，…，k）来说，算法的损失为O（klog（n））。

定理1  令{ X t}是相对价格向量的任意序列，且满足xit≥r>0，对于任何的ε>0，交易成本比率c、时间t以及SEG策略投资组合 b t∈Δm，都可以构造一个序列投资组合 b    ^   t，它在每个交易期内关于t为线性复杂度，且使得SEG策略的损失上界：

Loss=log Sc（ X n |  B k， T*k，n）-logS   ^   c（ X n |  B    ^   n）

满足不等式：

Loss n ≤ （k+1）  log m 2nr2  +（k+ε） log n n + 1 n  log（1+ε）+k log 1 ε

证明

首先，定义交易路径Tk，n被选择的概率P（Tk，n）服从K-T权重分布，即P（Tk，n）≥0， ∑ n-1 k=0 ∑ Tk，n P（Tk，n）=1。由贝叶斯公式可知：

S   ^   c（ X n |   B    ^   n）=∑ n-1 k=0 ∑ Tk，n P（Tk，n）Sc（ X n |  B    ^   n， Tk，n）

则对于最优路径T*k，n，成立不等式：

log Sc（ X n |  B    ^   n）≥log P（T*k，n）+log Sc（ X n |  B    ^   n， T*k，n）

其中对于K-T权重成立不等式：

-log P（T*k，n）≤   （k+ε）log（n）+ log（1+ε）+k log 1 ε

依据文献[25]中叙述的定理1推知SEG策略每一段交易期内的投资组合累积收益满足不等式：

log （ ∏ ti-1 t=ti-1   ct ） ≥

log （ ∏ ti-1 t=ti-1  sct ） -  tilog m 2r2

其中sct= b t· X t-Costt， ct= b    ^   t· X t-Costt分别为SEG策略的投资组合 b t与构造的序列投资组合 b    ^   t在第i段分割期内的净收益。考虑上述不等式到k+1段分割中，由于：

Sc（ X n |  B k，Tk，n）=∏ k+1 i=1 ∏ ti-1 t=ti-1 sct

S   ^   c（ X n |  B    ^   n，Tk，n）=

∏ k+1 i=1 ∏ ti-1 t=ti-1  ct

特别地，对于最优路径T*k，n成立：

logS   ^   c（ X n |  B    ^   n，T*k，n）≥ log Sc（ X n |  B k，T*k，n）-∑ k+1 i=1   ti log m 2r2

则有：

logS   ^   c（ X n |  B    ^   n）≥log P（T*k，n）+   log Sc（ X n |  B k，T*k，n）-∑ k+1 i=1   ti log m 2r2

由于ti≤n，i=1，…，k+1，因此，损失上界满足不等式：

Loss n ≤ （k+1）  log m 2nr2  +（k+ε） log n n + 1 n  log（1+ε）+k log 1 ε

4 实验结果与分析

本章通过SEG策略与现有的5个同属于追踪高收益策略类的算法进行比较，分别为常数再平衡投资组合（Constant Rebalanced Portfolios， CRP）策略、半常数再平衡投资组合（SCRP）策略、泛化投资组合（UP）策略、半泛化投资组合（SUP）策略与指数梯度投资组合（EG）策略。通过在两个经典数据集上的对比实验，来说明SEG策略的优越性。

4.1 度量标准

累积资产收益：整个交易期内由策略所实现的总收益，是度量一个策略表现的重要指标之一。累积资产收益越高，说明该策略越优。

无交易成本下的标准计算式如下：

Sn（ X n）=S0∏ n t=1  b t· X t

交易成本下的标准计算式如下：

Scn（ X n）=S0∏ n t=1 （ b t· X t-Costt）

其中 b t是各策略采用的投资组合向量，依据上式计算得到各策略最终累计资产收益。各变量数学含义上文已作详细介绍，在此处不再加以赘述。

4.2 实验数据集

实验中采用的数据集分别為NYSE（O）和DJIA。NYSE（O）数据集为纽约交易所自1962年7月3日至1984年12月31日，22年间包含的36只股票的历史数据集，在此数据集上以每两天为一个交易期进行实验;DJIA数据集为2001年1月1日至2003年1月14日，包含30只股票的历史数据集，在此数据集以每1天为一个交易期进行实验。

4.3 结果分析

4.3.1 累积收益

表2、3是在不同交易成本比率c值下的累积收益结果。其中：

表2为从NYSE（O）数据集中随机选取3只股票，初始投资金额设置为1，以每两天为一个交易期进行50次独立实验的结果;

表3为从DJIA数据集中随机选取3只股票，为突出对比数据变化，初始投资金额设置为10，以每一天为一个交易期进行50次独立实验的结果。

从表2、3可以看出，同其他5种策略相比，SEG策略在不同的交易成本比例下都获得了最大的累积资产收益;而且当交易成本比率增大时，SEG策略的累积资产收益并没有明显下降。在表3中DJIA数据集上的实验结果可以看到，随着交易成本比率的增大，SEG策略累计资产收益在小数点后第4位开始才略有降低，说明与其他策略相比，SEG策略的累积收益受交易成本影响的下降幅度最小。

4.3.2 交易成本分析

图2、3分别为SCRP、CRP、EG和SEG四种策略的累积资产收益随交易成本比率值的变化趋势，以及在不同交易成本下，累积资产收益随时间的变化趋势。

图2直观地展示了CRP、SCRP、EG、SEG四种策略受交易成本影响的程度。可以观察到四种策略的累积收益随着交易成本比率的增大而减小，但SEG策略的累积收益曲线始终位于其他三种策略之上，且SEG策略对交易成本敏感度较低，累积收益曲线随着交易成本变化的波动并不明显，而CRP策略与EG策略受交易成本比率影响较大，当交易成本增大时收益急剧下降。因此，可以说明，在相同交易成本比率下，SEG策略能够获得最高的累积收益;此外，当交易成本增大时，SEG策略仍然能够维持较高的累积收益。

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