一种线性相位LC滤波器的设计

魏 强

(中国电子科技集团公司第二十六研究所, 重庆 400060)

0 引言

LC滤波器电路拓扑结构灵活，封装方式多样，在相对带宽BW≥5%(窄带)及BW≥100%(宽带)、频率4 GHz以下弹载、机载、雷达和星载设备中均能发挥作用，具有目前其他无源滤波器无法替代的行业地位。

滤波器群时延是接收链路导致信号延迟和失真的主要因素[1-2]。滤波器带外抑制和线性时延是一对矛盾的指标[3]。传统的LC滤波器多采用椭圆函数型实现，近端带外衰减高，但群时延波动大；而采用线性相位函数贝塞尔型或高斯型的滤波器,存在带外衰减缓慢的问题。因此,传统的设计方法已经无法满足系统需要，线性相位滤波器的研究越来越受到重视。

1969年，Rhode提出利用等间距线性相位多项式设计线性相位滤波器低通原型和综合过程[4]，根据低通原型传输函数，通过复平面上设置实零点或复零点，即可实现平坦的群时延特性。2003年，Cameron提出了交叉耦合技术，利用多项式迭代，通过改变滤波器传输极点的分布，极大提高了类切比雪夫滤波器带外抑制[5-6]。文献[7]发现,广义切比雪夫滤波器传输零点的实部和虚部主要分别影响滤波器群时延的时延幅值和线性度，调整滤波器传输零点的虚部，可以改善群时延的线性。文献[8]采用无约束优化算法来优化滤波器群时延波动，并使滤波器具有幅相对称性。但这些文献中均未研究LC线性相位滤波器的设计，未涉及线性相位和群时延波动的关系。

本文介绍了一种线性相位滤波器设计方法，采用零点放置技术、级联混合网络来设计电路拓扑，实现具有高矩形系数、相位波动小的LC滤波器。

1 线性相位滤波器

1.1 滤波器传输零点

滤波器的传输函数H(S)可表示为2个复变量S的多项式之比：

(1)

对于一个可实现的滤波网络，式(1)中系数ai、bi必须为实数。E(S)多项式的根pk称为传输极点，只能位于复平面的左半开平面。F(S)多项式的根zi称为传输零点，其根的分布有5种情况：

1) 虚轴上共轭对。

2) 实轴上正、负对。

3) 以原点对称分布的四组合共轭对。

4) 原点。

5) 无限远。

每种情况零点的阶数n、极点的阶数m都可以是多阶的。以中心频率1 GHz、带宽200 MHz的五阶滤波器为例，设置不同传输零点，推导出滤波器归一化低通原型传输函数，并分析了对其选择性和群时延的影响。滤波器归一化低通原型传输函数Hl(S)(l=1,2,…,5)为

H1(S)=0.580 8/[(s2+0.382 6s+1.288)·(s2+1.002s+0.728 7)(s+0.619)] (零点在原点处，五阶)

(2)

H2(S)=[1.41×10-3×(s2+9)(s2+49)]/[(s2+0.354 4s+1.273)(s2+0.995 9s+0.76)(s+0.642 9)]

(零点在虚轴上(±3j,±7j))

(3)

H3(S)=[1.236×10-3×(s2-49)(s2-9)]/[(s2+0.409 2s+1.302)(s2+1.006s+0.700 5)(s+0.597 7)]

(正负零点在实轴上(±3,±7))

(4)

H4(S)=[8.885×10-2×(s2-4)(s2-1)]/[(s2+0.611 2s+1.401)(s2+0.999 5s+0.531 8)(s+0.477 2)] (正负零点对在实轴上(±1，±2))

(5)

H5(S)=[0.368 3×(s2-1)(s2-0.64)]/

[(s2+0.893 6s+1.493)(s2+

0.925 2s+0.394 9)(s+0.399 9)]

(正负零点对在实轴上(±1，±0.8))

(6)

其中，H1(S)和H2(S)分别是典型的切比雪夫和椭圆函数滤波器的频响。在传输函数中引入不同的传输零点可改善滤波器的选择性或群时延特性(见图1)。在选择性改善的同时，群时延特性恶化了。而当零点在复平面的实轴上时，可得到通带内较平坦的群时延，其值越小，群时延波动也越小，但当其取值小于1时，群时延波动反而增大，呈凸形状。

图1 传输函数对滤波器带外抑制、群时延特性和相位波动的影响

表1为传输函数对滤波器性能的影响。由表可见，选择性越好，带内群时延波动越大。

表1 传输函数对滤波器性能的影响

表2为切比雪夫响应函数±5°相位相对带宽和3 dB相对带宽间的关系。如三阶、插损为1.2 dB条件下，在3 dB相对带宽66%内其相位线性波动绝对值小于5°。

表2 ±5°相位相对带宽和3 dB相对带宽间的关系

1.2 群时延和线性相位波动的关系

群时延是每个频率分量通过滤波器的实际延迟时间，反映的物理含义是滤波器的相位线性度。

将相位函数θ(ω)在中心频率ωc处泰勒展开：

θ(ω)=c0+c1(ω-ωc)+

c2(ω-ωc)2+c3(ω-ωc)3

(7)

群时延定义为相位对频率的一阶导数，即对式(7)求导，则

τg=dθ(ω)/dω=-d1-2d2(ω-ωc)-

3d3(ω-ωc)2

(8)

式中：ci,di分别为相位函数θ(ω)和群时延τg的系数；d1为通常定义下的群时延，即零阶群时延；d2、d3为一阶、二阶群时延。图2为非线性系统相位和各阶群时延特性曲线。

图2 非线性系统相位和各阶群时延特性曲线

式(8)说明，d1值可能很小，但d2、d3等高阶分量可能很大，导致滤波器相位曲线的波动大。即零阶群时延和线性相位波动并不是绝对的对应关系。与零阶群时延相比，相位波动的定义更能准确反映滤波器的非线性。

为了描述系统相位畸变引起的相位失真，通过去除相移的线性部分(即零阶群时延)，就可得到线性相位波动。线性相位波动可直观地观察相位数据，对于传输调相信号的滤波器，相位数据更有用。这也是越来越多的电子系统(如相控阵雷达系统)强调相位波动的原因。

1.3 零点放置技术

在滤波器中，可通过交叉耦合及LC谐振电路两种方法来引入传输零点。

对于集总参数电路拓扑结构而言，常采用LC谐振回路方式。串、并联LC电路互为对偶电路。串联电路谐振时，阻抗无穷大，表现为带外衰减，利用这一原理并根据指标要求灵活设置串联LC谐振回路谐振点的位置，从而产生带外抑制点，改善带外抑制和线性相位的矛盾。

在图3中以一个常用的滤波电路拓扑结构对零点放置技术加以说明。如果在1处串联1个适当的电容到地，在低端会产生1个传输零点。如果在1处串联1个适当的电感到地，在高端会产生一个传输零点。如果在2和3之间放置一个串联LC谐振回路，在低端或高端会产生一个传输零点。调节电容、电感值可改变传输零点的位置。由于实际的LC滤波拓扑电路结构多样，在工程设计中可灵活设置零点产生电路的位置。

图3 零点位置放置示意图

由于谐振回路的加入，改变了电路的阻抗特性，需要重新调整元件值，通常采用优化的方法达到指标要求，但元件值的选取和零点位置一定便于工程调试。

1.4 均衡电路

滤波器的群时延通常呈凹形的抛物线形状，可采用群时延特性呈凸形抛物线的均衡电路补偿时延波动，起到调平时延的作用。

均衡一般采用全通网络实现，其幅度变化与频率无关，相位和频率成线性关系[9]，理想的全通网络结构如图4所示，其传输函数可定义为

(9)

式中E(S)为严格的胡氏多项式，其根的分布只能在复平面的左半开平面，有在实轴上和以原点对称分布的共轭对两种情况,即

(10)

sq=δq+jωq

(11)

式中:δo,sq为E(S)的根;p,r为阶数;δo,δq,ωq只能是正实数，同时要求传输函数幅度和相位满足：

(12)

图4 二阶格型均衡网络

图4中，电感L1、L2及电容C1、C2取值满足：

(13)

式中K为任意给定整数值，根据给定零点位置，由此确定均衡网络元件参数。

2 设计实例

线性相位滤波器设计有外均衡、内均衡两种方法。外均衡法是通过设计一种与滤波器时延特性相反的时延均衡器来与滤波器级联，从而实现带内较平坦的相位特性。内均衡法是在传输函数的实轴上放置传输零点来实现通带内线性相位。外均衡设计更灵活。但两种方案均增加了元器件，在小体积、低损耗的场合受限。

2.1 外均衡法

滤波器指标要求如下:

1)f0为21.4 MHz。

2) 0.5 dB带宽≥10 MHz。

3) 中心插损≤2 dB。

4) 带内相位非线性波动≤±5°(16.4～26.4 MHz)。

5) 带内群时延波动≤15 ns。

6) 带内驻波≤1.5。

7) 带外抑制≥45 dBc@12 MHz和≥45 dBc@32 MHz。

由于指标要求相对带宽大于10%，12 MHz和32 MHz处带外抑制大于45 dBc，因此选用9节椭圆滤波电路(见图5)实现。电路串臂上第一、三个串联谐振分别实现通带高端44.6 MHz、32 MHz传输零点,电路串臂上第二、四个串联谐振分别实现通带低端10.28 MHz、12 MHz传输零点。但单纯采用这样的拓扑结构，群时延波动大于100 ns，相位波动大于15°，不能满足要求。

图5 采用外均衡电路拓扑结构

本文设计的二阶均衡电路(见图5)串臂上第一对零点对应峰值频率31.1 MHz，用来补偿高于中心频率处的相位波动；均衡电路串臂上第二对零点对应峰值频率16.6 MHz，用来均衡低于中心频率处的相位波动。最后级联上述两部分电路，结合计算机辅助设计软件优化元件取值，仿真结果如图6所示。采用均衡电路后，滤波器的群时延波动小于14 ns，滤波器的相位波动由16°提高到7°，带外抑制满足要求。

图6 外均衡带外抑制和相位波动仿真结果

2.2 内均衡法

滤波器指标要求如下：

1) 中心频率f0为1 300 MHz。

2) 1 dB带宽≥200 MHz。

3) 带内损耗≤2 dB。

4) 带内相位非线性波动≤±5°(1 200 MHz～1 400 MHz)。

5) 带外抑制≥35 dB@1 100 MHz，≥35 dB@1 500 MHz，≥60 dB@1 700 MHz，≥60 dB@300 kHz～700 MHz，≥60 dB@1 900 ～3 000 MHz。

由于要求f0±200 MHz处带外抑制大于35 dB，因此采用9节椭圆滤波电路(见图7)实现。和外均衡法不同,改变了传输零点的位置，电路串臂上第一、四个并联谐振分别实现通带高端1 960 MHz、1 678 MHz陷波点,电路串臂上第二、三个并联谐振分别实现通带低端946 MHz、956 MHz的陷波点，但单纯采用这样的拓扑结构，无法满足远端带外大于60 dB的要求。因此,设计PI型低通网络，通过电容耦合级联拓扑结构来改善传统椭圆滤波电路远端带外抑制差的缺点，满足高端抑制要求。采用内均衡混合电路拓扑结构如图7所示。

图7 采用内均衡混合电路拓扑结构

采用内均衡法和采用纯切比雪夫电路拓扑结构对比(见图8)，滤波器的群时延波动由50 ns减小为25 ns，相位线性波动由25°减小为5°，兼顾了带外抑制和相位线性的要求，满足指标。

图8 内均衡带外抑制和相位波动仿真结果

2.3 优化

虽然在原型电路拓扑和均衡电路连接时已做了阻抗匹配，但由于原型电路设计应用综合法，而均衡电路的设计应用分析法，因此，在连接时存在一定程度的阻抗失配，有必要进一步对电路进行仿真优化处理。步骤为：

1) 设置优化目标。按技术条件要求设置：通带频率范围内衰减不大于设计值；阻带频率范围内衰减不小于设计值。

2) 确定需要优化的元件，设置其变化的范围。

设置完成后即可进行优化，完成滤波器的设计。

3 结束语

采用零点放置、混合网络拓扑技术设计线性相位滤波器，具有较好的工程应用价值。在科研生产中，我们多次采用这种设计方法，在不牺牲幅频特性的同时，提高了滤波器的相位线性度，均取得了满意的效果。但由于内、外均衡网络的加入，增加了通带损耗和设计的复杂度。研究表明，深刻理解滤波器传输函数零极点特性是设计出高性能线性相位LC滤波器的关键，对滤波器的生产性、可靠性都有很好的保证。