问题引领下的数学探索

摘要：随着中国教委会对基础教育课程一次又一次的改革，数学问题中的情境设计逐步迈向了新的台阶，它既能让学生在生动有趣的情境中获取数学知识和技能，又能使学生在答疑时体会数学空间的无穷魅力。而我们的数学课程又是基础教育课程的重要组成成分，因此在逐次的教学改革与逐步完善的《新课程标准》中，数学课程提出了很多新理论，有了很多新的变化。本文主要研究了数学习题中问题的价值，并进一步探索问题背后的知识海洋。

关键词：数学习题;数学问题;数学空间

一、 引言

数学新课程提出的很多新理论，有了很多新的变化，这种“新”的变化既呈现出了数学作为一门基础学科的自身特性，又在情景导入方面别具一格，显现出的内容更加让数学生活化、多元化。同时，在习题的创设方面也更有针对性，更能巩固和提升学生的思维创新意识和逻辑推理能力;在问题设计方面也更具有新颖性和创造性，逐步引导学生进入问题的深思中。这样一系列的训练不仅能加强学生自身对知识的应用能力，也能提高学生对问题的深层探索能力。因此我们对数学部分习题中反映出来的问题进行针对性的研究将具有更深远的影响意义。

二、 研究背景

而今，我国中学生普遍注重解题，轻视体验，缺乏循序渐进，脚踏实地的探索精神，对习题的设置意图和问题的提问角度持冷落态度。然而，学习和研究数学的我们都知道，习题是认识、理解、掌握和巩固数学知识的钥匙，而“问题更是数学的心脏”，因此习题中的问题就像心脏中的脉搏一样，它扮演着举足轻重的角色，起着至关重要的作用。毕竟，对数学问题的解决可以让人体验那种从沉思、迷惘、犹豫、猜想、探索和研究到柳暗花明，豁然开朗后成功的喜悦和快感，真是痛并快乐着，喜在眉头，甜在心头，别具一番滋味，而此也正是大多数人喜爱数学，专研数学进而痴迷于数学的主因。

三、 研究过程演练

曾几何时，有如下几道题目困扰我很久，同时我也相信有许多和我有着相同疑惑的同学及同事：

【例1】如方程（x-1）2+（y+2）2=|2x+y|所表示的轨迹是什么？

当我看到这道题目时，我欣喜如狂，因为我相信并坚信可以不费吹灰之力攻破它，因为我知道（x-1）2+（y+2）2表示的就是点P（x，y）到点F（1，-2）的距离，而|2x+y|=5|2x+y|5，其中|2x+y|5表示的是点P（x，y）到直线2x+y=0的距离，那么由上我们很容易地得到：（x-1）2+（y+2）2=5|2x+y|5，也就是（x-1）2+（y+2）2|2x+y|5=5，很明显它的几何意义表示的就是动点P（x，y）到定点F（1，-2）的距离与动点 P（x，y）到定直线2x+y=0的距离之比为5>1，这不就是圆锥曲线中椭圆的第二定义嘛！于是我很不屑地给出我的答案：此方程的轨迹就是椭圆。可是我们都知道：当办一件事情及其顺利或解一道看似不寻常的题时及其简单，反而我们显得更加紧张和担忧，经常会多问自己几个“为什么？”“真的是这样吗？”。此题目过后，我内心同样的紧张和擔忧，带着先前的疑问去和老师一起探讨，原来如此：我的解题过程中竟然没有考虑到此定点F（1，-2）竟然在直线2x+y=0上，这与定义要求“定点不能在定直线上”相矛盾，于是我的答案就被否定了，其实我们可以继续研究：它的轨迹其实是两条相交直线。

虽然在解此题时，我给出的结果是不科学的，但是带着疑问和困惑，让我清楚地认识到了此题背后所蕴含的内涵和学识，通过此题，我相信我对圆锥曲线的内在条件认识的更加到位，这就是思考问题所带来的喜悦和收获！

【例2】已知：1x+x=1，则x2+1x2的值为多少？

当我们解这道题目时，每位同学都比较容易上手，因为我们都学习过：（a+b）2=a2+2ab+b2，依样画葫芦便可得：1x+x2=x2+2x·1x+1x2=x2+2+1x2，于是很快有：x2+1x2=-1，可是我们不禁要问：“x≠0时，x2+1x2>0，可为什么会有x2+1x2=-1呢？”于是我们陷入了沉思，百思不得其解。当我们带着这些疑问去研究这道题时，我们的数学修养将会发生质的飞跃。这时我们不妨回头看1x+x=1这个方程，很容易发现此方程无实数解。为了解决此问题，就自然地引出另外一种数域——复数域。由此可知：这样的结果也就在情理之中了！

对于这道题而言，它的设置意图就是制造悬念，进而引起思考和疑问，并进一步去获取新知——复数，这就是多思多疑后的成果。

【例3】我们知道：①对于指数函数y=ax（a>0且a≠1），如果：x=y，那么：ax=ay;②如果：a=b，x=y，那么：ax=by。

同样我们也知道：26=13，按照常理我们也有：（-8）26=（-8）13，可是我们应该仔细琢磨一下：（-8）26=？（-8）13=？，当我们仔细考虑这些问题时，我们必然会有意想不到的收获。

【例4】同样我们感觉整数分为偶数和奇数，我们就会认为整数个数多于偶数个数，这种思想看是平常，其实不然。因为我们知道当给它们建立一个双射f：k→2k（k是整数）时，就可得出：只要有一个整数，就会得到一个和它对应的偶数，因此从广义上讲它们的个数是一样的，这些问题都应该引起我们的思考和探索甚至是共鸣。因为它们必将能开阔我们的视野，增长我们的见识，增强我们的求知欲！

四、 研究的目的和意义

多思考习题中的问题对于学生而言作用颇多，首先，它能让其感知教学中的知识导向、能力导向以及未知领域中的进军方向，从而做到对已学知识的复习巩固、综合应用及拓广探索。这样既培养学生独立思考问题的能力，又让学生体验习题中渗透的数学思想，何乐而不为！其次，它能让其对所学的知识结构在脑海里进行浮现，对所涉及的相关问题进行预想，对问题的解决方案进行初步诊断。这样既是知识的积累，又是能力的培养。最后，它也能培养学生的逻辑推理能力，使他们的思维更加具有灵活性和创造性，让学生在疑问中体会动与静，变与不变间的种种思想，进而增强思维的变通性。

五、 总结

综上，对数学习题所设问题的思考在整个学习生涯中起着不可取代的作用，它是我们迈上更高台阶的最佳楼梯，我们必须思考数学问题背后蕴含的思想内涵和衔接知识，还数学知识“有趣，益智，交叉，互融”的本来面目，使数学意识和数学素养深入大众，通过分析和探索数学问题，感知和体会这些问题所带来的惊喜和奥秘。

我们知道一切创新知识和创新活动都是从疑问中诞生的，因此我们在以后学习数学的道路上，就应该带着疑问与思考一起前行，齐头并进，一起去探索那未知的世界，去体会数学空间的无穷魅力。久而久之，我们必将会打造出一条属于自己的成功之道，大可尽情地去享受成功路上的喜悦与收获。

参考文献：

[1]徐金梅.数学例题及习题进行研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2007.

[2]贤家兴.简析数学习题的导学功能[J].教学与管理，2004.

作者简介：

张富冬，浙江省温州市，温州第二实验中学。