感生和动生磁动势的产生和测量

邹剑飞 张开骁

摘 要：全电流安培环路定律表明磁场的环量除了可以由传导电流产生，还可以由电位移通量的变化产生，据此可以推广磁路中磁动势的概念。磁动势应包括传导电流产出的常规磁动势和电位移通量变化导致的感应磁动势。再类比电路中的感生和动生电动势，可以把感应磁动势分解为感生和动生磁动势，其中感生磁动势来自于穿过磁路的外电场的变化，动生磁动势来自于磁路线段切割电场线的运动。而且本文提出了在实验上测量感生和动生磁动势的实验方案。

关键词：电磁学;磁路;磁动势

1 绪论

把各种电气元件如电源、电阻和电容等通过导线连成闭合回路就构成了电路。要在电路中形成电流，就要有电源提供电动势。电动势驱动电路中的电子（载流子）定向移动形成电流。所有的直流和低频交流电路都满足两个基本定律，即基尔霍夫第一和第二定律。[1-2]其中第一定律即电流定律来源于电流的连续性方程，第二定律即电压定律是静电场和似稳电场环路定理的直接结果。电路是电流形成的闭合回路，与之对应，磁路是磁通构成的闭合回路。例如绕有线圈的闭合铁芯环构成的磁路，其中高导磁的铁芯组成导磁回路，相当于电路中的导线和电阻器。铁芯上的线圈通有电流，在铁芯环中产生磁通，相当于电路中的电源。可以看到磁路和电路具有类比（对偶）关系。[3-4]事实上，磁路系统也有类似于电路的欧姆定律和基尔霍夫定律。[1-2]根据磁路中磁通的連续性可以得到磁路的基尔霍夫第一定律，根据磁场强度的安培环路定律可以得到磁路的欧姆定律和基尔霍夫第二定律。磁路理论在电机、变压器和磁流变阻尼器等电器的研发设计中发挥重要作用。[5-7]

电路中电源的类型有很多种，不同类型的电源产生电动势的非静电力不一样。例如干电池和蓄电池把化学能转化为电能，非静电力是有效的化学力。发电机是把机械能转化为电能，非静电力是感生电场或洛伦兹力。而在磁路中，磁动势的来源在教科书和其他研究论文中只涉及一种，即通电线圈或等效的磁铁。本论文则提出了基于磁路中电位移通量的改变而引起的感应磁动势的概念。类比电路中的感生和动生电动势，我们把感应磁动势细分为感生和动生磁动势。而且我们在理论上设计了一个实验装置用于测量这两种感应磁动势。

2 推广的磁动势

先简单回顾一下电路中电动势的概念。电动势是电源的重要参数，它表示把单位正电荷从负极经电源内部移动到正极的过程中非静电力所做的功，其定义式是：

ε=∫ + - E  ne ·dl， （1）

其中 E  ne.为电源内部有效的非静电力，例如在化学电池内部非静电力为化学力。

电路中除了各种电池可以产生电动势外，利用电磁感应现象也可以产生电动势，例如发电机。根据法拉第电磁感应定律，线圈中磁通量的改变产生感应电动势：

ε=-d Φ  m dt， （2）

其中  Φ  m = SB·dS 是线圈中通过的总磁通，它关于时间的变化率可以分成两部分：

-d Φ  m dt=- SBt·dS+∮v×B·dl， （3）

其中第一项 ε  i =- SBt·dS 表示线圈固定时改变磁场导致的感生电动势，它的本质是变化的磁场在空间激发感生电场（涡旋电场），利用麦克斯韦方程表示即 ∮ E  i ·dl=- SBt·dS ，其中 E  i.表示感生电场或总电场。第二项 ε  e =∮v×B·dl 表示在磁场不变的条件下导线以速度 v 运动导致的动生电动势 ε  e.，它的本质是电子所受洛伦兹力沿着导线方向做功。

因此，一个电路回路中总的电动势可表示为

ε=∮ E  K ·dl= ε  ne + ε  i + ε  e ， （4）

这儿总的非静电力由三部分组成 E  K = E  ne + E  i +v×B ，其中外接电源内部的有效非电场力（如化学力和热力） E  ne.产生外加电动势 ε  ne.，感生电场 E  i.产生感生电动势 ε  i.，洛伦兹力 v×B 产生动生电动势 ε  e.。

类比电路中电动势的概念，可以在磁路中引入磁动势的概念，它表示在磁性材料中产生磁通或磁场的起因，定义为：

F  m =∮H·dl， （5）

其中 H 为磁路上的磁场强度。在传统的磁路中磁动势来源于励磁电流 F  m =NI ，其中 I 是缠绕在磁路上的载流线圈中的电流强度， N 为匝数。但根据全电流安培环路定律：

∮H·dl=NI+d Φ  D dt， （6）

其中  Φ  D = SD·dS 是电位移通量，它关于时间的变化率可以分成两部分：

d Φ  D dt= SDt·dS-∮v×D·dl， （7）

上式中的第一项 F  im = SDt·dS 代表磁路固定时电位移（电场）变化导致的磁动势，第二项 F  mm =-∮v×D·dl 表示电位移不变的条件下磁路运动产生的磁动势。仿照法拉第电磁感应定律中感应电动势的分类，我们称 F  im.为感生磁动势（induced magnetomotive force）， F mm.为动生磁动势（motional magnetomotive force）。这两种磁动势都是电位移通量的变化引起的，可以统称为感应（induction）磁动势。另外，由励磁电流激发的传统磁动势不妨称为电流磁动势 F cm =NI 。这样，磁路中总的磁动势可表示为

F m=F cm +F im +F mm ， （8）

可以看到，推廣的磁动势和电动势公式形式上具有一一对应关系，它们的对应关系见下表。

电动势和磁动势的对应关系表

总电动势

ε=∮ E  K ·dl

总磁动势

F  m =∮H·dl

外接电源电动势

ε  ne =∫ + - E  ne ·dl

电流磁动势

F  cm =IN

感生电动势

ε  i =- SBt·dS

感生磁动势

F  im = SDt·dS

动生电动势

ε  e =∮v×B·dl

动生磁动势

F  mm =-∮v×D·dl

对于一个简单的闭合磁路，全磁路欧姆定律可表示为：

F  m =∑ i.R  i. Φ  m ， （9）

这里 R  i.表示第 i 段磁路的磁阻，  Φ  m.表示磁路中的磁通。对于复杂的磁路，全磁路欧姆定律可以推广到基尔霍夫第二定律的形式。需要强调的是，据我们所知，感生磁动势和动生磁动势这两个概念还没有在其他的文献中提出过，而且动生磁动势的表达形式也没有在任何其他文献中出现过。

3 感生磁动势的实验测量

考虑下图所示的矩形磁路系统，放置在真空或空气中并处在 xoy 平面，外加电场 E 垂直于磁路所在平面。我们采用细长的磁性材料做磁路，其中磁路 ab — 段长为 l  1.， bc — 段长为 l  2.，磁路线段的截面积均为 S 。磁路中 ab — 段磁棒可沿水平（ x 轴）方向自由滑动，其他线段都固定不动。 cd — 段缠绕一个线圈，匝数为 N ，它外接一个电压表，用以测量感应电动势。 da — 段中开一个小空隙放置Hall探头，用以测量磁场。

感生和动生磁动势的产生和测量图

当磁路固定不动电场变化时，系统中有感生磁动势产生。假设电场变化规律 E（t）= E  0.cos ωt ，则根据公式（7）得感生磁动势

F  im =- 0.l  1.l  2 ω E  0.sin ωt， （10）

根据磁路欧姆定律可得磁路中产生的磁通

Φ  m =- 0.l  1.l  2 ω E  0.sin ωt R  m ， （11）

其中 R  m.为磁路中的总磁阻。考虑磁路中空隙长度 δ 为小量，总磁阻可表示为 R  m =2（ l  1 + l  2 ） μ  0 μ  r S+δ μ  0 S ，其中 μ  0.和 μ  r.分别表示真空磁导率和导磁材料的相对磁导率。因此空隙中的磁感应强度

B= Φ  m S=- 0.l  1.l  2 ω E  0.sin ωt R  m S， （12）

利用霍尔效应传感器，通过测量霍尔电压可以求出空隙中的交变磁感应强度，从而可求出外加电场的强度和频率，进一步可求出感生磁动势。

另外，根据法拉第电磁感应定律，线圈中有感应电动势产生，即实验上测得线圈两端的电压：

U=-Nd Φ  m dt= N  0.l  1.l  2.ω.2.E  0.cos ωt R  m ， （13）

可以看到线圈输出一个和外加电场同频率的交变电压，并且电压正比于外加电场强度 E  0.和频率的平方。因此通过测量线圈中的感应电动势也可以求得外加电场的强度和频率，再代入公式（10）可得磁路中的感生磁动势。

实验上若取磁路尺寸 l  1.=l  2 =20cm ，截面积 S=1 cm.2.，空隙 δ=0.5cm ，材料相对磁导率 μ  r =1000 ，线圈匝数 N=1000 ，电场幅度 E  0 =300V/cm ，频率 f=ω2π=10KHz

。可得磁场的频率为 10KHz ，磁场振幅 B  0 =1.4× 10.-3 Gs

，可见磁场太小，实验上测量困难，但可以通过增加电场强度或频率的办法来增大感应磁场。另一面，线圈电压的频率也为 10KHz ，振幅 U  0 =0.91mV 。若磁路中无空气隙，电压可增大到 U  0 =66mV 。可见实验上线圈输出电压容易测量。

4 动生磁动势的实验测量

当磁路置于沿 z 方向的静电场 E  0.中时，磁棒 ab — 沿 x 方向以速度 v 运动，磁路中有动生磁动势产生，表达式为

F  mm =D l  1 v= 0  r.E  0.l  1 v， （14）

注意这里的电位移位于相对介电常数为  r.的磁棒中。就像电路中导线不考虑磁化一样，传统的磁路线段是不考虑介质的电极化的，这时  r =1 。但实际的磁路若用硅钢、碳钢等金属作导磁材料，它们处在静电场中时内部的电位移为零，因此用金属材料做磁路难以观测到动生磁动势。实验上要观测动生磁动势，应使用非金属磁性材料，如稀土氧化物。

根据磁路欧姆定律可得空隙中的磁感應强度

B= Φ  m S= 0  r.E  0.l  1 vS R  m ， （15）

注意磁棒运动导致总磁路长度的改变，因此磁阻随时间发生变化，变化率 d R  m dt=2v μ  0 μ  r S 。如果磁棒以速度 v 做匀速直线运动，则 v>0 （ v<0 ）时磁场随时间单调减小（增加）。

另一方面，由于磁棒的运动导致磁动势和磁阻的变化，从而导致磁通量的变化，因此在线圈中产生感应电动势

U=-Nd Φ  m dt=- N  0  r.E  0.l  1.R  m dvdt+ N  0  r.E  0.l  1 v R.2  m d R  m dt， （16）

其中第一项来源于磁棒的加速运动导致的感应电动势，第二项来源于磁阻的变化导致的感应电动势。如果磁棒做匀速直线运动则，则式中第一项为零，且 v>0 （ v<0 ）时测得的感应电动势随时间逐渐减小（增加）。

如果磁棒在 x 方向做简谐振动，速度为 v= v  0.sin ωt ，则磁路中产生交变磁动势 F  mm = 0.  r.E  0 l  1 v  0.sin ωt 。若磁棒振动幅度小，可忽略磁路因长度的变化导致的磁阻变化，则磁感应强度表达式为：

B= 0  r.E  0. l  1 v  0.sin ωtS R  m ， （17）

可见磁感应强度是交变的，频率同磁棒的振动频率。同时线圈中产生的交变感应电动势简化为：

U=- N  0  r.E  0. l  1 v  0 ω cos ωt R  m . （18）

因此当磁棒运动时，也可以通过测量磁场或感应电动势的方法测量磁动势。

实验上若磁路参数同上一节，导磁材料相对介电常数  r =5 ，静电场 E  0 =300V/cm ，磁棒振动频率 f=ω2π=500Hz ，振幅 A=2cm ，可得磁场振幅 B  0 =3.6× 10.-5 Gs ，这个磁场太小，实验上测量困难，但可以通过增加磁棒振幅或频率的方式增大磁场。另一面，磁路中有无空隙时线圈两端电压幅度分别为 U 0=1.1μV 和 82μV 。线圈输出电压也较小，但在实验上还是容易测量的。因此实验上测量感生和动生磁动势的最好方法都是利用线圈测量感应电动势。需要说明的是，我们这里研究的是理想的磁路系统，没有考虑导磁材料的磁滞损耗、边界效应以及磁漏等因素。这在磁性材料磁导率很高，电导率很小，线圈匝数很密，磁路中空隙很小，电场强度和频率不大的条件下是合理的。

5 总结

根据全电流安培环路定律以及电路和磁路的类比关系，我们提出了与感生和动生电动势对应的感生和动生磁动势的概念，指出了变化的电场产生感生磁动势，预言了磁路的一部分切割电场线运动时产生动生磁动势的现象，并指出了在实验上可以通过测量线圈中感应电动势的办法来观测感应磁动势。

致谢

作者感谢河海大学理学院朱卫华教授有益的讨论。本论文受国家自然科学基金（批准号：61404044）的资助。

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