关于函数奇偶性的一些研究

吴方

摘 要：函数的奇偶性作为函数的基本性质之一，是技能高考中的一个热点。综合近四年的真题分析，试题主要是考察函数奇偶性的判定，笔者对函数的奇偶性相关知识点作出了以下的总结来帮助学生快速地判断出函数的奇偶性，以及利用函数的奇偶性的一些特性来解决一些数学问题.

关键词；函数；奇偶性；判定

一、函数奇偶性概念的理解

设函数的定义域为数集，对任意的，都有（即定义域关于坐标原点对称），且（1）函数的图像关于轴对称，此时称函数为偶函数；（2）函数的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数为奇函数.如果一个函数既是奇函数又是偶函數，此时称函数为非奇非偶函数.如果一个函数既是奇函数又是偶函数，此时称函数为既奇又偶函数.

二、函数奇偶性的判定方法

1.定义法：判断步骤（1）求出函数的定义域；（2）判断对任意的是否都有.若存在某个但，则函数肯定是非奇非偶函数；（3）分别计算出与.若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数；若且，则函数为非奇非偶函数.在用定义法判断函数的奇偶性时，一定要先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数成为偶函数或奇函数的一个必要条件.

2.图像法：（1）如果函数图像轴对称，则函数为偶函数；（2）如果函数图像关于原点对称，则函数为奇函数.

3.规律法：（1）偶函数+偶函数=偶函数；（2）奇函数+奇函数=奇函数；

（3）奇函数+偶函数=非奇非偶函数；（4）奇函数×奇函数=偶函数；

（5）偶函数×偶函=偶函数；（6）奇函数×偶函数=奇函数.

注：存在既奇又偶函数，定义域关于原点对称且.因此规律法中的第三条的结论成立的前提是奇函数与偶函数要求都不是既奇又偶函数.

三、常见的奇函数与偶函数

1.常见的偶函数奇偶

可以验证，当奇函数项或偶函数项前面的系数不是1的时候，函数的奇偶性不会改变，例如f（x）=x为奇函数，g（x）=3x仍为奇函数.

四、偶函数与奇函数的一些结论

（1）如果一个函数是偶函数或奇函数，则这个函数的定义域关于原点对称；（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像关于轴对称，反之也成立；（3）如果一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；（4）偶函数在对称的两个区间的单调性是相反的，奇函数在对称的两个区间的单调性是一致的；

五、关于函数奇偶性的典型例题

[解析]第一步：求出函数的定义域，是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则为非奇非偶函数；如果关于原点对称，则可以按照规律法进行判断，判断结果为（1）非奇非偶函数，（2）偶函数，（3）奇函数，（4）非奇非偶函数.

[解析]函数为偶函数，故定义域关于原点对称，有a-1+2a=0，可算出a.再依据规律法，可以得出奇函数项x前面的系数应该为0，故b=0.

参考文献

[1]徐洪丽.浅谈函数奇偶性的教学[J].基础教育论坛，2019（07）：40-41.

[2]丁亮，杨星光.换一些新思路去理解函数的奇偶性[J].中国校外教育，2014（06）：79.

（作者单位：武汉市仪表电子学校）