贪吃的九头龙问题

2019-10-21王伟业路宇李晓寒

青年生活 2019年14期

王伟业路宇李晓寒

摘要：贪吃的九头蛇是树形动态规划的经典问题，是基于树结构的动态规划问题。

关键词：树形动态规划

一、问题描述

传说中的九头龙是一种特别贪吃的动物。虽然名字叫“九头龙”，但这只是说它出生的時候有九个头，而在成长的过程中，它有时会长出很多的新头，也会有旧头因衰老而自己脱落。有一天，有 M（M≥3）个脑袋的九头龙看到一棵长有 N 个果子的果树，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必须照顾到每个头，因此它需要把 N 个果子分成 M 组，每组至少有一个果子，让每个头吃一组。这 M 个脑袋中有一个最大，称为“大头”，是众头之首，它要吃掉恰好 K 个果子，而且 K 个果子中理所当然地应该包括唯一的一个最大的果子。果子由 N-1 根树枝连接起来，由于果树是一个整体，因此可以从任意一个果子出发沿着树枝“走到”任何一个其他的果子。对于每段树枝，如果它所连接的两个果子需要由不同的头来吃掉，那么两个头会共同把树枝弄断而把果子分开;如果这两个果子是由同一个头来吃掉，那么这个头会懒得把它弄断而直接把果子连同树枝一起吃掉。当然，吃树枝并不是很舒服的，因此每段树枝都有一个吃下去的“难受值”，而九头龙的难受值就是所有头吃掉的树枝的“难受值”之和。九头龙希望它的“难受值”尽量小，你能帮它算算吗？

二、例题求解

例：果树包含 8 个果子，7 段树枝，各段树枝的“难受值”标记在了树枝的旁边。九头龙有三个脑袋，大头需要吃掉 6 个果子，其中必须包含最大的果子。

即 N=8 ，M=3 ，K=6。

首先，判断问题是否有解。判断是否有解是十分简单的。我们只需要看在给每个小头分配1个，大头分配K个的情况下，所需要的果子的数量是否大于了果子的总数，即若M+K-1>N，则无解，此题M+K-1=8=N，故有解。

接下来就是有解的情况了。

首先我们需要知道，再分配好大头之后，剩下的果子必然存在一种分配方式，使得九头龙的难受值不会再增加。考虑树的结构，每一条线都连接相邻两层的果子，故只需由第一层到最后一层让小头依次吃，如果层数多于小头数量，则循环进行。

解决了这个问题之后，我们就只需要考虑大头了。对于每一个果子来说，它要么是被大头吃，要么是不被。于是，我们便可以用树形DP来解决。

设DP[u][sum][0]表示u结点，它以及它的儿子中，大头吃了sum个果子，并且当前这个没有被大头吃。

那么DP[u][sum][1]就是表示u结点，它以及它的儿子中，大头吃了sum个果子，并且当前这个被大头吃了。

可得递推关系式：

DP[u][sum][0]=min{sigma{min（DP[v][j][0]，DP[v][j][1]）}} sigma{j}=sum;

DP[u][sum][1]=min{sigma{min（DP[v][j][0]，DP[v][j][1]+len）}} sigma{j}=sum-1;