圆x2+y2=（a+b）2上的点到椭圆最短距离的探究

摘 要：数学教学通讯在2006年第17期教师版上刊登了一篇名为《正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题》，又在2007年一月上半月总第266期刊登了一篇《直线上的点到椭圆最短距离的讨论》。在此基础上，本文再次研究了平面内一类特殊圆上的点到椭圆最短距离问题。本文采用初等方法得到了这类圆上的点到椭圆的最短距离，并确定了圆的点到椭圆的距离最短时对应椭圆上点的坐标。

关键词：椭圆 点 距离 坐标

[定理]已知椭圆为椭圆的半焦距长。则圆上任意点到椭圆的最短距离为。

（其中即为点P的“势”，关于“势”的定义见我在《高考》2019年5月下旬刊总第343期第187页刊登的文章《二次曲线等势线性质妙解椭圆一类面积最值》）。[1]

分析：显然，圆上的点必然在椭圆的外面。由椭圆的对称性，我们不妨把圆上的任意点设定在第一象限。易知，有且仅有唯一的圆以为圆心，且与椭圆外切，切点也必然在第一象限。

[引理]已知圆上的任意点，则点必在椭圆上。且与椭圆垂直。[2]

证明：在上，则，

将点带入椭圆方程得：

故，点必然在椭圆上;

连线的斜率为

设椭圆在点的切线为，由椭圆垂径定理可知，

即 变形得，

∴与椭圆垂直。得证。

定理的证明：

由引理可知，点是上任意一点，则点到椭圆上的最小距离时，椭圆上的坐标即为点。

最小距离为：

证毕。

因为点是上任意一点

故圆上的点到椭圆距离。[3]

到此，图二中曲线任意点到椭圆距离都有公式可算。

参考文献

[1]董奇.正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题.数学教学通讯，2006（9）.

[2]曾中君.直线上的點到椭圆最短距离的讨.数学教学通讯，2007（1）.

[3]谢朝.用二次曲线等势线性质妙解椭圆一类面积最值问题.高考，2019（5）.

作者简介

谢朝（1987.5.6—），男，籍贯：四川省通江县，职业：教师。