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圆x2+y2=(a+b)2上的点到椭圆最短距离的探究

2019-10-21谢朝

新教育时代·学生版 2019年39期
关键词:椭圆距离

摘 要:数学教学通讯在2006年第17期教师版上刊登了一篇名为《正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题》,又在2007年一月上半月总第266期刊登了一篇《直线上的点到椭圆最短距离的讨论》。在此基础上,本文再次研究了平面内一类特殊圆上的点到椭圆最短距离问题。本文采用初等方法得到了这类圆上的点到椭圆的最短距离,并确定了圆的点到椭圆的距离最短时对应椭圆上点的坐标。

关键词:椭圆 点 距离 坐标

[定理]已知椭圆为椭圆的半焦距长。则圆上任意点到椭圆的最短距离为。

(其中即为点P的“势”,关于“势”的定义见我在《高考》2019年5月下旬刊总第343期第187页刊登的文章《二次曲线等势线性质妙解椭圆一类面积最值》)。[1]

分析:显然,圆上的点必然在椭圆的外面。由椭圆的对称性,我们不妨把圆上的任意点设定在第一象限。易知,有且仅有唯一的圆以为圆心,且与椭圆外切,切点也必然在第一象限。

[引理]已知圆上的任意点,则点必在椭圆上。且与椭圆垂直。[2]

证明:在上,则,

将点带入椭圆方程得:

故,点必然在椭圆上;

连线的斜率为

设椭圆在点的切线为,由椭圆垂径定理可知,

即 变形得,

∴与椭圆垂直。得证。

定理的证明:

由引理可知,点是上任意一点,则点到椭圆上的最小距离时,椭圆上的坐标即为点。

最小距离为:

证毕。

因为点是上任意一点

故圆上的点到椭圆距离。[3]

到此,图二中曲线任意点到椭圆距离都有公式可算。

参考文献

[1]董奇.正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题.数学教学通讯,2006(9).

[2]曾中君.直线上的點到椭圆最短距离的讨.数学教学通讯,2007(1).

[3]谢朝.用二次曲线等势线性质妙解椭圆一类面积最值问题.高考,2019(5).

作者简介

谢朝(1987.5.6—),男,籍贯:四川省通江县,职业:教师。

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