优化课堂教学 提升数学素养

张君

摘 要：2017版的新课程标准里明确提出了高中数学教育的首要目标就是培养和提高学生的数学学科核心素养。数学学科核心素养包括：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算。这些核心素养既相互独立又相辅相成，是学生通过高中三年的学习必须形成的能力和素质，教师作为教学中教的主体引导者，在教的时候必须围绕教材和考纲，精心钻研、设计，优化课堂教学，提升学生的数学学科核心素养。

关键词：数学素养;面面垂直;教学设计

立体几何作为高中数学的必修内容之一和高考必考内容之一，一直以培养学生的数学抽象、逻辑推理素养和直观想象素养为首要目标。笔者以《平面与平面垂直的性质》一课为例，让学生按照“直观感知、猜测结论、推理论证、解题运用”的认知过程，使学生通过对空间图形的观察、想象、推理和论证，理解并掌握平面与平面垂直的性质定理，进一步促进学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养的养成。

一、平面与平面垂直的性质的教学设计

（一）教材与学情分析

本节课是人教A版必修二第二章第三节的第四课时《平面与平面垂直的性质》一课，其内容是研究在已知两个平面垂直的条件下，我们能得出什么结论。之前，学生已经学习了空间中线平面平行以及面面平行的判定定理与性质定理，知道要证线面平行或面面平行即证线线平行，反之，如果已知线面平行或者已知面面平行即能够推出线线平行，初步有了“空间问题平面化”以及“空间和平面间条件可以互化”的思想认知，但是还不够系统、明确，而在《平面与平面垂直的性质》一课的前一课时，学生已经初步学习了线面垂直以及面面垂直的判定定理，知道了要证面面垂直即证线面垂直，为本节课也即必修二第二章的最后一节课做了大量的知识积累和铺垫。教学中教师需要引导学生思考之前学过的判定定理和性质定理，结合具体例子和合理论证，使学生能够直观感知在已知平面与平面垂直的条件下能够推出哪些特殊的直线、平面的關系，而后推导出平面与平面垂直的性质定理，以及初步掌握如何在已知平面与平面垂直的条件下，落实到哪条直线与哪个平面垂直，因为在立体几何垂直题型里，直线与平面垂直是最为重要的条件和结论。

（二）教学目标：

教学的目标是通过对实际情景的直观感知、推理论证，抽象出平面与平面垂直的性质定理，培养学生直观想象、逻辑推理的数学核心素养以及在理解平面与平面垂直的性质定理的前提下，通过探究、归纳、交流，总结出如何运用性质定理解决问题的方法。其中，教学的重点是面面垂直性质定理的内容，性质定理的推导以及综合应用是教学的难点。

（三）教学过程设计

1、课题引入，直观感受

从学生所熟悉的知识点：空间点线面的位置关系引入新课，承前启后

师：我们知道，黑板所在的平面与地面是垂直关系，那黑板所在平面内的直线与地

面有哪些位置关系？

生1：相交、平行、垂直

师：其余同学有没有补充的？

生2：相交的情况例包括垂直，还有黑板所在平面与地面的交线，既在黑板所在平面又在地面上

师：对，垂直是相交的特殊情况，两个平面垂直有一条交线，那么既然除了这条交线之外，黑板所在平面内的直线与地面的位置关系会平行，会垂直，那请问怎么找出黑板所在平面内与地面平行的直线？

生3：黑板内只要平行交线的直线，就平行地面

师：很好，要证直线平行平面只需在平面里找出一条直线平行该线即可，两平面的交线是现成的，我们利用交线在地面内，所以黑板所在平面里所有平行于交线的直线即平行地面设计意图：结合之前学过的知识，通过直观想象，让学生先梳理出在两个相互垂直的平面里，一个平面里的直线与另一个平面有哪些位置关系，而后通过证明直线平行平面，一方面是复习之前的知识点，另一方面来突出两平面交线的重要性，为下面平面与平面垂直的性质定义的引出做好铺垫，培养学生直观想象的数学素养

2、类比平行，猜测结论

师：刚刚提到，黑板所在平面内的直线只要平行于两平面的交线，就能够推出平行地面，那么我们怎么在黑板上画出与地面垂直的直线？也即如果两平面垂直，怎么在一个平面内找出另一个平面的垂线？

生4：只要垂直两平面的交线即可

设计意图：类比推理是逻辑推理的一种，它是从特殊到特殊的推理，是学生发现、了解新事物新知识的常用方法。既然黑板内的直线只要平行于两平面的交线就能够平行地面，类比到在黑板内怎么画直线与地面垂直，在已知两个平面垂直的情况下，学生很容易想到是不是也只需垂直两平面的交线即可

3、交流探讨，证明定理

师：为什么？请同学们同桌间相互讨论研究

教师在黑板上画好图形，板书题目：

师：请第一组的同学回答

生5：不会证明

师：没有关系，这个本来就是我们今天需要克服的难点，那一般怎么去证明直线和平面垂直？

生5：在平面内找两条相交直线和已知直线垂直，就可以证明直线垂直平面了

师：根据已知条件，我们在平面β内还需要找出一条直线，满足AB垂直该直线就可以了，我们还有哪个条件没有使用？

生5：

师：那也就是说我们还需要把两个平面垂直这个空间条件翻译成平面条件，那么现在 垂直，也即所成的二面角为直二面角，我们用什么来刻画二面角的的大小的？

生5：二面角的平面角

师：对的，其实作出二面角的平面角就是把空间图形平面化，怎么作二面角的平面角？（这个时候已经有学生在座位上跃跃欲试，有思路了），我们一起来听听这位同学来分享一下他的思路

生6：在平面β内过点B作          ，因为                                                 ，

所以                                                    ，又因为             ，所

所以                                                      ，所以       垂直平面     。

师：非常好，再请这位同学总结一下刚才我们论证的命题的条件和结论

生6：略

师：这位同学利用二面角平面角的定义，成功地把空间图形条件：两个平面垂直转化为二面角的平面角为直角这个平面图形的结论，从而在平面     内找到了直线      ，证明了在已知两个平面垂直的条件下，一个平面内的直线只要垂直两平面的交线就能够垂直另一平面。我们把这个结论称为面面垂直的性质定理，也即只要面面垂直，就一定可以得到线面垂直这个性质，这里结论里面的线面垂直的“线”只需满足什么條件？

生（集体回答）：只需垂直两平面的交线就行

设计意图：数学抽象是贯穿高中数学教学的首要数学核心素养，学生在学习生活中需要碰到很多不同的题型和题目，学生必须学会将表面的、复杂的因素过滤掉，抽象出本质，所以事实上，抽象就是对现实的一种简化，也即透过想象看本质。面面垂直性质定理的推导一直是本节课的难点，一方面是因为他前一节刚刚学过二面角的定义以及求法，还无法把二面角这个空间角与其平面角等同起来，另一方面，学生在整体上尚未养成利用“空间问题平面化”以及数形结合的思想来解决立体几何问题的习惯，需要老师引导、强化，按部就班的培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养

4、实践探索，掌握定理

师：通过平面与平面垂直的性质定理我们可以把两个平面垂直这个条件转化为直线

和平面垂直，这条直线有什么要求吗？

生一起回答：必须垂直于交线

师：好，我们一起看一下例2

师：直线α与平面α是什么位置关系？

生7：平行

师：能不能把你的思维流程和大同学们分享一下？

生7：要证明直线α与平面α平行，就需要我们在α找出一条直线和α平行，但是现在

没有直线，所以需要我们作出一条直线来

师：怎么作？

生7：因为平面 平面 ，所以我们只要在平面a 内作一条直线b 与两平面的交线垂直就得到了b⊥ 平面β ，这样，我们只要能证明a平行b 就能证明a 与平面α 平行，又因为α⊥β，b⊥β ，根据直线与平面垂直的性质定理，就有a∥b 得证。

师：通过本题，谈一下你的收获？

生8：平面与平面垂直的条件必须转化为直线与平面垂直，这样才能用到实处

师：那说明关键在于找到垂线，垂线怎么找？

生8：先找到两个垂直平面的交线，然后看看有没有现成的，如果没有就大胆作交线的

垂线。

师：所以在已知平面与平面垂直的条件下我们要做到第一件事就是把面面垂直转化为线面垂直，转化的的关键是在其中一个平面内找出或作出垂直于交线的直线，接下来，我们一起来看一下例3

生9：因为平面ABC⊥平面BCD，交线为AC，所以延长CB，过点A作AO 垂直延长线于点O，（教师在黑板上添加辅助线），则AO⊥平面BCD，连接OD，易证                             ，所以DO⊥OC ，所以CO⊥平面AOD ，所以CO⊥AD

师：很好，抓住了条件的关键点，把面面垂直转化为线面垂直，也即作两个平面交线的垂线，然后通过证明线面垂直来证明线线垂直，那第二小题怎么解？

生9：要作出直线AB 与平面ABC 所成角的平面角就需要找到点B 平面ADC 内的射影点，或者求出点B 到平面ADC 的距离也可，找射影点有困难，我们可以使用等体积法求出点B 到平面ADC 的距离

师：怎么求距离？

生9：                              ，点A到平面BDC的距离就是刚刚第一小题的垂线段 AO

设计意图：面面垂直性质定理的运用是本节课的第二个难点，学生不仅需要知道必须把面面垂直转化为线面垂直，而且需要知道怎么去找出（作出）那条垂线，通过本题的训练学生已经习惯在找不到现成的垂线的情况下作出垂线来解题。

5、学以致用、巩固强化

面面垂直的性质定理一般不会拿出来单独考，总会结合线面垂直的判定或者二面角的形

式出现，学生在初步熟悉了面面垂直的性质定理以后，必须通过具体题目的训练来强化对定理的理解和运用，进而能够抽象出面面垂直的性质定理判定定理之间的联系，所以笔者设计了例四

本题综合性比较强，有一定难度，先让学生相互通过讨论解题，然后学生回答，老师启发、点评。如图4，学生在解决第1小题时基本没有困难，因为在平面PAB 内找不到直线与MN 平行，所以取AD 中点O ，构造平面MNO 与平面PAB 平行，从而达到线面平行;第二小题涉及到二面角平面角的构造、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，学生在转化条件時比较困难，教师需要通过启发、提问，耐心引导学生解决两个问题：1.把二面角P-AD-C 为       转化为哪个平面角;2.作出二面角的平面角

∠POM 之后，如何过点M 作平面PAD 的垂线。

针对问题1，因为MO为中位线，且PA=PD ，所以学生很自然地会连接 PO，从而得到∠POM为二面角P-AD-C 的平面角，且                          ;回到

本题的关键突破点：在已有的条件下如何过点M作平面PAD垂线？事实上，通过作出二面角P-AD-C 的平面角∠POM ，学生已经构造了平面POM，而平面POM交平面PAD 于PO ，有学生就提出过M作MQ⊥PO 于点QQ ，老师问：为什么只需MQ⊥PO 就有MQ⊥平面PAD ？学生答：因为AD⊥ 平面POM ，而                               ，所以平面PAD⊥ 平面POM 于PO ，又MQ⊥PO ，所以MQ⊥ PAD ，至此，二面角P-AD-C 为         成功转化为

Rt△QOM 中，                                                   。其余解题过程略。

为了明确该题思路，教师立即叫该同学把整个题目的解答过程口述一遍，然后提问全体学生：通过这个题目你有什么收获？

结合学生回答，教师整理并板书结论：1、条件所给出的已知大小的二面角（空间角）必须转化成某个平面角;2、二面角的平面角其本质是构造了一个和棱垂直的平面;3、二面角的平面角也是构造了一个与二面角的两个半平面都垂直的平面，二面角的平面角的两条边即为两对垂直平面的交线。强调在已知二面角大小的情况下，需要过某点作哪个平面的垂线只需过该点作出二面角的平面角，然后过该点作平面角的一边的垂线即可，根据面面垂直的性质可知垂直交线即垂直平面，这样学生对空间线面、面面垂直的判定、性质定理以及二面角就有了整体认识。

设计意图：数学抽象贯穿教学的始终，学生怎样才能及时有效地抽象出知识点、如何把模糊的认知清晰化并学以致用，一直是学生需要提升的重难点，在笔者看来及时的总结是提高数学抽象这一核心素养的有效途径，当学生经过教师例题设置、层层提问并用心去总结某一规律某一结论时，他就会有条理地分析、完整该知识点，那么他的抽象能力、思维缜密度以及语言表述能力将有效提高。

二、教学反思、小结

本节课是高中必修二第二章《点、线、面位置关系》的最后一节，是整章的重点也是难点，学生在学习本节课的过程中不仅需要运用直观想象和逻辑推理来掌握面面垂直性质定理的内容以及应用，更要能够抽象归纳出空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的本质以及联系。所以教师上课的过程必须是启发、引导、倾听、互动和总结的过程，让学生的“学”成为教学的主体，其中有两点笔者觉得必须强化应用：

1、类比。类比是逻辑推理的一种，是发现两个事物相似点并做以衍生。类比能够让应用更加快速，理解更加透彻，记忆更加牢固，思考更加深远，甚至触类旁通。所以教师在设计教学环节时应抓准切入点，多利用类比来引入。

2、总结。归纳总结是数学抽象和逻辑推理的具体表现。学生在学习的过程中必须养成及时总结的习惯，这样他就能够把片段的知识系统化整体化，成为大脑里一座座清晰的里程碑，真正有效地做到学以致用。

结论：

教师必须让学生在学习过程中明确他在学什么，在哪里碰到问题，这个问题的本质是什么，我能不能运用已有的知识去解决它，这节课的内容和之前学的内容有什么联系。切忌生硬地抛出概念或定理，更不能让学生死记硬背。这就要求教师在教学的过程中科学安排、精心设计上课环节，优化教学，启发学生通过观察、想象、猜测、归纳、合情推理来获得面面垂直的性质定理，然后通过例题的具体实践操作和及时的小结，使学生树立“空间问题平面化”的解题思路，从而对空间中垂直等位置关系有整体的认识和把握，进而达到提升数学核心素养的目的，把立德树人、发展素质教育的根本任务落到实处。