数学中考代数综合题的命题规律及教学策略

陈建平

【摘要】结合新课标与考纲，通过对2017年几个省的中考数学代数综合题进行分析，寻找隐含在解题思路中相对稳定的命题规律，然后从“重视概念的精致，构建完善的认知结构”“重视数学思想方法领悟”“重视答题的心理状态”三个角度和常规、融合、深化三个教学阶段，制定相应的教学策略，提高学生解决此类数学问题的能力。

【关键词】数学中考；代数综合题；教学策略

代数综合题是中考数学的必考题目，是实现试题区分度的主要题目之一，考察学生关于代数部分的综合解题能力。在广东中考的考纲中，明确规定第23题分值为9分，对于考生的总分能否上100分有决定性作用。因此，无论从提升学生的数学问题解决能力，还是从提高学生应试水平来看，研究它的教学策略都有着重要的意义和价值。笔者将对2017年的几道中考数学代数综合题进行分析。

一、真题呈现

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C。

（1）求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值。

本题还用到2017年中考数学真题的“广州卷第23题”、“嘉兴卷第20题”、“深圳卷第21题”、“湖南省湘潭卷第25题”。

二、分析真题，寻找命题规律

（一）求函数解析式

上述真题考察了求解二次函数（抛物线）、一次函数（直线）、反比例函数（双曲线）的解析式，而求解析式一般的做法是用待定系数法。待定系数法最关键一步是：得到在图象上的点的坐标。

题型1，直接用待定系数法，把已知点代入。如广东省的题目直接给出图象上的两点求两个待定系数，湖南省的题目直接给出图象上的一个点求出一个待定系数。题型2，转换交点定义，给出两个图象的交点坐标。学生需要理解交点就是在每个相交的图象上的点，如广州、深圳、嘉兴的题目。由于三元一次方程组是选修内容，因此题目一般不会给出图象上三个点，用待定系数法求二次函数解析式。除非其中一个点是与y轴的交点，即获得常数项c的值，从而代入数值即得二元一次方程组。题型3，给出的交点坐标含有未知数。要先用一个交点坐标求出其中一个解析式，再把另一个含有未知数的交点坐标代入，求出该交点坐标，如深圳、嘉興的题目。题型4，需要结合其他知识求出图象上的点的坐标，如2016年广东省的中考题第23题。给出一个已知点P，先要求出点P关于直线y=x对称点Q（抛物线上点）的坐标。又如，2017广州的中考题：二次函数y1的对称轴与y2交于点A（-1，5），学生需要理解对称轴就是x=-1，便可求出m的值，再把点A坐标代入，即可求出n的值，从而得到解析式。其第2问，若y2随着的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点。要求y2的解析式，只有一个点A的坐标是不够的，还要寻找二次函数y2图象上的另一点。“y1与y2都经过x轴上的同一点”，即告诉学生令y1=0，可以列出一个一元二次方程，求出与x轴交点，这就是y2经过的第2个点的横坐标，由于与x轴交点，其纵坐标为0，于是就得到另一个点的坐标。

还有一些题目给出一次函数或反比例函数名称但没有给出解析式，需要先设解析式，再用待定系数求出其解析式。

（二）在函数图象的背景下，构造三角形模型问题

题型1，构造直角三角形。如广东题的第2小题，点P是线段BC的中点，知道点B的坐标，但不知道点C的坐标，无法利用中点公式求出点P的坐标。如果学生能用构造直角三角形的想法，便很容易获得解题思路。如图2，在Rt△ABC中，作PD垂直于直线AB于点D，则PD∥OC。此时，图中出现了Rt△PBD和Rt△OBC。因为点P为线段BC中点，所以点D也为线段OB的点，所以点P的横坐标为1.5。再把横坐标代入二次函数解析式，便可求出点P的纵坐标。如果学生做第三问求sin∠OCB，想到在Rt△OBC中运用解直角三形的方法，会自然获得解题思路，先求点C的坐标。而求点C的坐标，又需要用到前面Rt△PBD和Rt△OBC构成的图形，得到OC=2PD。PD就是点P的纵坐标，前面已经求出，此题解题思路已明。深圳的题目（图3）也可以构造两个直角三角形，把证AD=BC的问题，转化为求这两个直角三角形全等的问题。图2图3

题型2，构造等腰三角形。嘉兴题目的第二问，在轴上是否存在点，使其为等腰三角形？题目只给出线段AB（图4），需要在x轴上找点P，连接PA、PB构造等腰三角形。可分三类情况构造等腰三角形，PA=AB、PB=AB、PA=PB。第1类以A为圆心，线段AB为半径作圆，与x轴相交的点即为点P（图中的P1、P2）；第2类以B为圆心，线段AB为半径作圆，与x轴相交的点即为点P（图中的P3、P4）。最后一类，作线段AB的垂直平分线，与x轴相交的点即为点P（图中的P5）。本题的点P是有限制的，要求n>0，即点P要在x轴的正半轴。因此符合要求的点P，只有P2、P4。湖南省湘潭市题目的最后一问，要在抛物线上找点P。比较容易想到的一种情况是，过点A作PA//BC，交抛物线点于P，由“两直线平行，内错角相等”可知此时点P为所求。但另外一种情况，就需要构造等腰三角形，如图5，作线段AB的垂直平分线，交抛物线于点P，交x轴于点D，则△ABD为等腰三角形，AD=BD。

图4图5

题型2，把多边形切割为三角形或梯形求面积最值。把广东的题目进行变式，加上问题“在（2）的条件下，在线段PB上方的抛物线上找点Q，使得四边形PABQ的面积最大，求此时点Q的坐标和四边形PABQ的面积。”方法1（图6），由于四边形PABQ可以切割为△ABP和△PBQ，而⊿ABP是不变的，要求四边形的最大值，即求△PBQ的最大值。过点Q作x轴的垂线并线段BC于点H。此时把△PBQ拆成△PQH和△BQH，拆成的两个三角形，它们的底都是QH，高的和是点P与点B的横坐标之差（固定值）。线段QH取最大值的时候，△PBQ的面积最大。QH的长度可以用抛物线与直线BC的解析式之差来表示，这样就转变为二次函数的最大值问题。方法2（图7），把四边形PABQ拆为△PAG、△BQH和梯形PGHQ。其中△PAG面积不变，梯形PGHQ与△BQH的和可以用含有x的函数来表示，转化为求函数的最值问题。图6图7

三、教学策略

（一）重视概念的精致，构建完善的认知结构

数学教育心理学理论指出：个体对概念的理解结果既非来自外部提供的信息，也不是原来的长时记忆，而是思维过程的产物，认知心理学家将之称为“精致的概念”。在数学学习中，“精致”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握得更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等。对概念的精致越充分，越能形成良好的记忆。一旦某个概念出现遗忘，精致还可以帮助个体进行重新推导。对概念的另一种精致方式是组织。组织是对新信息分类并标明它们之间关系的过程。在概念的系统中学习概念，使所学概念与其相关的知识之间的联系明确化，使概念的网络结构更加清晰。这一过程使概念成为一种有层次的“组织”，其作用是能使人对记忆进行结构化地搜索，这将使概念的提取更加迅速和准确。[1]

因此，在中考数学代数综合题的教学中，先让学生把一次函数、二次函数、反比例函数各自的概念、性质理解透彻，再把三者结合一起研究学习，重新组织三者，进行混合运用。当对概念精致到一定程度后，自然會构建一个相对完善的认知结构。

（二）重视数学思想方法领悟

数学思想方法是数学的灵魂。因此把数学思想方法作为学生学习数学的核心素养是必要的。从上述讨论构造三角形模型的解题思路，渗透着数学建模思想与数形结合思想；从图中找等腰三角形，渗透着几何直观的思想；从构建函数解决面积最大值问题，渗透着函数的思想；求解析式时，使用待定系数法等。因此，在讲解中渗透各种数学思想方法，让学生领悟并掌握显得尤为重要。

（三）重视答题的心理状态

从每年广东的中考评卷情况来看，大部分学生的第1、第2问做得并不理想。除了不会做的原因外，更重要的原因是心理状态。要解决学生的畏难情绪，教师需要在平时教学中教会学生如何保持心理的平稳、安定、适度紧张的心理状态。要学生在平时的解题中理解第1问一般是常规题，只要平时做到概念的精致，并且灵活组织运用三类函数，就能快速解决。如果遇到稍难的第2问，一般用化归、建模、数形结合等数学思想可以解决。教师尽量不主张题海战术，但适量的题目练习还是必须的。

四、结语

中考数学代数综合题是历年中考的拉分题，是提高试题区分度的主要题目。学生需要一个系统的专题教学才能达到中考考查优生的应有水平。本文只是选择2017年的五道中考数学代数综合题，必然存在一定的片面性，还有很多考察的题型并没有在本文叙述。其次，如果能从一道基本的典型的母题，逐步变式，把所有的题型都能涉及，学生可能更容易领悟并掌握。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[2]邹香根.浅谈中考数学试题的题型及解题策略[J].中学教学参考，2015（08）：47～48.

[3]张雁.中考数学复习专题四——代数与几何综合题复习[J].中学生数学，2013（06）.