多层次城市轨道交通网络时间-拓扑 可达性分布规律研究

万传风 冷顺多 秦暄阳 赵小军

摘 要：根据城市轨道交通网络速度等级的差异与换乘特性，划分多层次城市轨道交通体系，结合线网可达性的时间因素和拓扑因素，构建时间-拓扑可达性模型，采用深度优先搜索算法计算网络的时间-拓扑可达性。采用分形理论研究线网可达性的分布特征，根据分形规律将线网的可达性分布划分为不同圈层区域，根据不同区域线网可达性分布特征差异和分布特点，从提升线网可达性的角度，给出对未来线网规划的建议。

关键词：城市轨道交通;可达性;复杂网络;双目标最短路径

中图分类号：U121;U239.5

截至2018年12月31日，我国内地开通并运营城市轨道交通的城市为35个，运营线路里程达5766.6km，拥有庞大的城市轨道交通规模。轨道交通网络的可达性是衡量1个线网形态的重要指标，也是城市发展的重要指示标准。

在城市轨道交通网络可达性研究方面，Y Song等人利用时间可达性探究了首尔市30年来地铁网络的演变过程。Andrzej Soczówka对波兰城市卡托维兹卫星城的公共交通网络可达性进行了分析研究，采用距离等值线、平均出行时间及各个社区被公交网络连接的次数对各社区的可达性进行综合评价。张亦汉等以广州地铁为研究对象，以平均加权时间为指标，分析了广州市地铁网络的可达性。郭谦，吴殿廷等以候车时间、运行时间和换乘时间组成线路的单程通达时间，构建了基于通达时间的可达性指标。

由于城市空间庞大，处在城市各个位置的人群对于城市轨道交通可达性的关注度不同，因此进行兼顾城市轨道交通网络换乘可达性和时间可达性结合的研究是非常必要的。本文以北京市未来城市轨道交通规划线网为研究对象，计算站点的时间-拓扑可达性，研究线网可达性的分布特征，划分可达性分布圈层，研究线网时间-拓扑可达性分布规律。

1 时间-拓扑复合可达性模型

1.1 模型构建

时间可达性能够突出不同层次线网的速度差异，换乘网络的拓扑可达性能够体现城市轨道交通的换乘特性，因此综合考虑时间因素及换乘因素构建复合城市轨道交通网络可达性模型。

时间可达性采用距离测算法，拓扑可达性采用最短距离矩阵法。这2种算法除单位有差别外，在本质上是一样的，只是一个用于几何网络，一个用于拓扑网络。在本节研究中，综合考虑时间长度和拓扑长度的最优距离采取最短距离测算方法。其可达性表达式为：

（1）

式（1）中，Ai为节点i在城市轨道交通网络中的可达性指标，lij为节点i与节点j间综合考虑了时间因素和换乘因素的最短路径的长度，n为城市轨道交通网络的节点数量。

lij用公式表示为：

（2）

式（2）中，为节点i与节点j间第k条路径的时间长度归一化后的值，为节点i与节点j间第k条路径的拓扑长度归一化后的值，λ1、λ2分别为时间长度和拓扑长度的权重，表示时间因素和换乘因素在综合可达性中的重要程度。

1.2 求解

求解问题的数学模型如下。有网络G =（N，E），其中N为网络的节点集合，E为网络中边的集合，在此假设N = n，E = m。fu（i，j）≥0（u = 1，2），为节点i到节点j的第u个目标值。求起点O到终点D的2个目标值下的最优路径。

研究采用線性加权法解决双目标最短路径问题，将双目标函数的各目标按相应的准则加权后以某种方式进行求和，将双目标最优化问题转化为单目标最优化问题，并做出评价函数u（f（x）），再对评价函数进行单目标最小化计算。表达式为：

（3）

定义1：若有决策变量x∈X，满足约束条件gi（x）≤0和hj（x）= 0，则称x为可行解。

定义2：由X中所有的可行解组成的集合称为可行解集合。

由定义1和定义2可知，式中X={x∈Rn|gi（x）≤0，hj（x）= 0}，为可行解的集合;λi >0（i = 1，2）为各目标函数的权重值，且有λ1 + λ2 = 1。

提出以网络拓扑直径长度为限制条件的算法思路，城市轨道交通网络模型的拓扑直径表达的含义是线网中保证任意2点间可达的最少换乘次数。添加合理的限制条件，能使原始算法得到改进，使得设计算法在大规模的城市轨道交通网络应用中得以实现。

基于以上的分析定义，设计求解城市轨道交通网络时间-拓扑最短路的算法，进而计算出既能体现线网层次差异带来的时间影响，又能体现城市轨道交通换乘特点的时间-拓扑可达性。

2 实例验证

2.1 线网层次划分

以北京市为例进行实例研究。选取北京市轨道交通第二期建设规划（2015年—2021年）项目中目标线网的方案（不含单独收费的机场专用线）作为分析对象。

方案中目标线网含线路32条，总规模约1 200 km，车站508座，根据不同线路的运行速度差异，目标线网划分为快线A、快线B、普线A和普线B共4个层次。如图1所示。

为了更加直观地说明问题，对相同速度等级的线路统一赋值，如表1整理所示。

2.2 北京市轨道交通线网时间-拓扑可达性分析

对时间-拓扑可达性公式中2个权重参数采用熵权法进行标定。

熵权法是一种客观赋权方法，利用不同指标的熵值所提供的信息量大小来决定指标权重。此次研究中的指标为时间可达性指标与拓扑可达性指标，这里使用的时间可达性指标是在拓扑距离限制下的时间可达性指标。在时间-拓扑可达性算法介绍中，提到了以网络的拓扑直径c作为限制条件来搜索站点间的路径集合。研究对象中线网的拓扑直径以5作为临界值，既满足网络中任意点间可达，又体现出人们在出行过程中，若换乘次数过多将不会选择该路径出行的实际意义。具体步骤如下。

第1步：计算整理样本数据。

以北京规划线网中的508个站点为样本，计算出样本在限制条件下的时间可达性值和拓扑可达性值组成原始数据矩阵R = [ rij ]508×2（ i = 1，…，508;j = 1，2），其中ri1表示站点i的时间可达性值，ri2表示站点i的拓扑可达性值。

消除指标间的量纲差异，进行归一化，得到矩阵R' = [ r'ij ]508×2，计算站点限制条件下的时间可达性和拓扑可达性在样本中的比重 yij。

（4）

第2步：计算限制条件下时间可达性和拓扑可达性的信息熵 ej。

（5）

K为常数，计算公式为：

第3步：确定信息熵冗余度fj。

fj = 1- ej                                   （6）

信息熵冗余度是指信息的重复度，取决于其信息熵与1之间的差值，信息熵冗余度越大，表明其重要性越高。

第4步：计算权重。

依据指标的信息熵冗余度来确定指标的权重 λj，指标的信息熵冗余度越大，该指标的重要性越强，权重值也越高，计算公式为：

（7）

本文按照上述步骤，编写Matlab程序，计算出时间因素与拓扑因素的权重值分别为λ1 = 0.5681，λ2 = 0.4319。

将权重赋值时间-拓扑可达性算法当中，用C++语言编写代码运行，得到网络所有站点对间的双目标最短路径，并输出所有站点对间双目标最短路径的时间距离和拓扑距离，将时间距离和拓扑距离去量纲化，计算出双目标最短路径的综合值l ij = λ1×tij' + λ 2×dij'，最终利用式（1）计算出网络中所有站点的时间-拓扑可达性。

这里列举网络中可达性最好的20个车站和最差的20个车站，如表2所示。

由表2中数据验证得出以下结论。

（1）时间-拓扑可达性排名前20位的车站均是换乘站，且除了西单站、东单站、张自忠路站，其余車站都是6号线和R1线上的车站，其中有10个车站是6号线上的站点，7个是R1线上的站点。6号线虽然不是快线，但是其连接线路比较多，出行路径多，拓扑可达性和时间可达性都比较高。R1线为穿越城市核心区的东西向径向线，属于快线范畴，与1号线平行共走廊，具有时间和拓扑的双重优势。

（2）时间-拓扑可达性最差的20个站点都隶属于外围线路，且除了阎村东站是房山线和燕房线的换乘站外，其余各站均为非换乘站，时间可达性和拓扑可达性都比较差，其中时间可达性和拓扑可达性均最差的燕房线，时间-拓扑可达性也最差。

再根据时间-拓扑可达性公式计算出网络中所有站点的时间-拓扑可达性，借助Arcgis将离散站点的数据连续化表达，生成综合可达性的等值线图，如图2所示。

从图2中能够总结出线网时间-拓扑可达性空间分布的结论：

（1） 线网的时间-拓扑可达性呈现“中心-边缘”的圈层分布趋势：可达性的空间分布自线网中心向边缘以不规则圈层的形式逐渐衰减;

（2）线网的时间-拓扑可达性呈现沿快线“凸起”形态，体现出快线的速度优势;

（3）线网的时间-拓扑可达性在中心城区外呈现“东高西低”的形态。

2.3 北京市轨道交通线网时间-拓扑可达性分布规律

由于站点和线路数目较多，借助分形理论对线网的整体特征进行研究，探索可达性分布规律。

描述分形体分形特征的数学指标是分形维数，利用半径维数进行城市轨道交通网络形态描述是行之有效的。假设城市区域的面积为S，城市轨道交通网络分布在城市空间内，若线网的可达性值是分形的，那么城市轨道交通网络的可达性值与城市区域面积存在以下数学关系，如式（8）所示：

A（S）1/D∝S 1/2                                            （8）

式（8）中，A（S）为城市范围内轨道交通网络可达性值之和，D为可达性分布-半径维数。

如果城市区域为半径为r的圆形区域，那么半径r与可达性值A（S）的关系如式（9）所示：

r 1/1∝A（S）1/D∝S 1/2                                  （9）

因为S∝r 2，则以上关系可化为公式（10）：

A（r）= C×r DA                                                                       （10）

式（10）中，A（r）为半径为r的城市范围内轨道交通网络可达性值之和，C为常数，DA为该城市轨道交通网络的可达性分布-半径维数。式（10）表示城市轨道交通网络的可达性分布具有自相似的分形特性，DA反映城市轨道交通网络可达性从城市中心向城市外围区域的变化趋势。对式（10）求导，可得城市轨道交通网络可达性值的分布密度，如式（11）所示：

ρA（r）∝r DA - d                                                    （11）

式（11）中，d = 2 时，表示欧式维数。当DA<2时，城市轨道交通网络的可达性从城市中心向城市外围逐渐递减;当DA = 2时，城市轨道交通网络的可达性均匀分布;当DA>2时，城市轨道交通网络可达性从城市中心区域向城市外围逐渐增加。一般情况下，从城市中心出发可达性分布-半径维数DA越接近2，则表明城市轨道交通网络的可达性越好，线网越完善。

将天安门西站作为北京城市中心点，采用真实半径R = 2km自天安门西站做同心圆，且同心圆的半径等差，均为2km，如图3所示。从天安门西站向外围同心圆环编号k = 1，2，…，n。则有半径为r的圆内的城市轨道交通可达性值之和为：

（12）

式（12）中，A（k）为第k个圆环内的城市轨道交通可达性值之和。有关系式：

ln A（r）= ln C + DA ln r                        （13）

对ln A（r）与ln r做线性回归，得到的回归方程系数即为可达性分布-半径维数DA。将点对（r，A（r））描绘在双对数坐标系上，若点对呈现对数线性分布或者存在无标度区，则表示城市轨道交通网络的可达性是分形分布的，直线的斜率就是分形维数。

研究范围划分为24个环带，计算各环带的可达性指数，初始数据计算结果如表2所示。

对表2中数据取对数后进行线性回归分析，根据计算的自变量及常数项的未标准化系数，得到ln A （r）與ln r的回归方程如式（14）所示，复相关系数为R2 = 0.881。

ln A （r）= 1.026 ln r + 3.386                     （14）

ln A （r）、ln r的关系拟合曲线如图4所示。

回归方程拟合直线的斜率即为可达性分布-半径维数，即DA = 1.026，该值小于2，表示北京市轨道交通网络的可达性分布自城市中心向外围逐渐递减，且递减速率较快，但观察拟合直线，发现拟合效果并不理想，且拟合度值相对较低，线性关系不严谨，得到的DA值不能很好地说明可达性分布与半径的分形特征。

观察拟合关系图，发现散点趋势中有2个明显的拐点，分别在第5个点和第15个点处，将散点趋势分为3个无标度区，分别对3段区间内的半径及可达性分布值进行回归分析，根据计算出的回归方程绘制出拟合曲线，如图5所示。

由图5可以看出，北京市轨道交通网络可达性的分布出现了3个明显的无标度区，表明有合理的分形意义，且3个回归方程的拟合系数分别为R2 = 0.998、R2 = 0.995及R2 = 0.960，表明各区间线性关系严谨，分形具有明显的统计学意义。

2个拐点分别对应的真实半径为R = 10km，及R = 30km，表示在以天安门西站为圆心，10km范围内的轨道交通可达性的分布具有相同的分形特征，10～30km的范围内城市轨道交通的可达性分布具有相同的分形意义，30～48km内的可达性分布具有相同的分形特征。

根据可达性分布的明显差异，可将线网划分为3个圈层区域，如图6所示。

第1圈层——以天安门西站为中心的10km的圆域范围，该范围内的可达性分布与半径的回归方程为：

y = 1.816 x + 2.256                          （15）

从回归方程中可知，这一圈层范围内可达性分布-半径拟合直线的斜率为1.816，即可达性分布-半径维数DA = 1.816，表明半径10km范围内的线网可达性自城市中心点向外围逐渐降低;该值比较接近2，说明线网可达性自中心向外围衰减的速率缓慢，网络形态主要是以“棋盘状”为主，这一范围内的可达性分布相对比较均匀，城市轨道交通网络发育较为完善，供给能力强。

第2圈层——半径10～30km的范围，该范围内的可达性分布与半径的回归方程为：

y = 0.651 x + 4.469                          （16）

从回归方程可以看出，该范围内可达性分布-半径分维DA = 0.651，表明城市轨道交通网络的可达性在该圈层内向外逐渐衰减，且衰减速率较快，这一范围的城市轨道交通网络密度相对较低，可达性相对较差，线网形态以“放射状为主”，可达性分布不均匀，造成可达性的衰减速率较大。该范围的城市形态以近郊区的城市组团为主，城市轨道交通线路多为郊区线路中心城线路的延伸线，主要为近郊区重要组团与中心城间的通勤服务为主。

第3圈层——半径30～50km的范围，该范围内的可达性分布与半径的回归方程为：

y = 0.086 x + 5.988                          （17）

由回归方程可知，该范围的可达性分布-半径维数DA = 0.086，该范围除了燕房线、平谷线中段、15号线东部延伸线和昌平线北部区段以外，没有城市轨道交通线路服务。随着北京通州副中心的建设，位于该圈层内的距离通州副中心较近的燕郊和潮白新城可规划城市轨道交通线路，吸引燕郊和潮白新城的通勤客流，发挥截流作用，避免大规模客流对中心城的冲击。

综上分析可知，北京规划线网可达性存在分形现象，而且是分段分形的，根据分形规律可将线网的可达性分布划分为3个圈层区域。不同圈层区域线网可达性分布特点不同，供给能力差异性大，因此在线网规划中，可以根据不同区域内城市轨道交通的分布特点，针对性地进行规划。

3 研究结论

根据以上的分析研究，结合线网可达性总体分布特点，从线网的可达性角度出发，对城市轨道交通线网规划提出以下建议。

（1）可达性第1圈层为高密度发展的城市中心区域，线网发达，可达性自中心向外围减缓速率慢，供给能力强。这一圈层未来应以线网加密完善为主，补充城市中心重要功能区的城市轨道交通服务，线网层次应以普线网为主。

（2）可达性第2圈层是城市的近郊区范围，线网形态在该圈层内主要以“放射状”为主，该圈层内城市轨道交通存在可达性衰减速率快，交通供给能力不足的特点。这一圈层分布着大量的近郊区城市组团，因此这一圈层是未来城市轨道交通发展的重点。这一圈层的轨道交通规划应以快线为主，优先考虑贯穿中心城区的径向线，提升重要节点可达性的同时，增强线网整体的可达性;若线网穿越中心城区工程难度大，应将快线尽可能的向中心城区延伸，增加换乘路径，或在中心城区边缘连接多条可达性较高的线路。为改善这一圈层的线网可达性，提升城市轨道交通线网的供给能力，除新修线路增强轨道交通服务外，还应规划外围联络线，加强放射线路间的直接联系，降低可达性的衰减速率。

（3）由于可达性第3圈层外可能会分布着远郊区新城，因此在规划中这一圈层可继续扩大到70km范围，这一范围内对出行时间要求较高，应该主要发展以市郊铁路、轨道交通快线为主导方式的城市轨道交通，增强点对点的通达能力。线网规模的增加，势必会造成线网可达性的降低，但也不可一味的向中心城区延伸，避免造成对中心城区的客流冲击，可在中心城区外围尽量衔接第2圈层中径向线的延伸线路，增加出行路径，降低对线网整体可达性的影响。

参考文献

[1]Y Song，H Kim. Evolution of subway network systems， subway accessibility and change of urban landscape： a longitudinal approach to Seoul Metropolitan Area[J]. International Journal of Applied Geospatial Research， 2015（6）：89-106

[2]Kotavaara，H Antikainen，J Rusanen. Population change and accessibility by road and rail networks： GIS and statistical approach to Finland 1970–2007[J]. Journal of Transport Geography，2011（19）：926-935.

[3]F Rotoli，EN Cawood，P Christidis. A data envelopment analysis approach for accessibility measures： Simulating operational enhancement scenarios for railway across Europe[J]. European Transport Research Review，2015（7）：18.

[4]A Soczówka. Public transportation accessibility in the Katowice conurbation， Poland[J]. Environmental & Socio-economic Studies，2013（1）：52-63.

[5]張亦汉，乔纪纲，李建程，等. 广州地铁网络的可达性分析[J].测绘与空间地理信息，2014（2）：9-11.

[6]郭谦，吴殿廷，李瑞，等. 城市轨道交通网络可达性评价方法研究——以北京轨道交通网络为例[J].城市发展研究，2014，21（4）：59-65.

[7]聂伟，邵春福. 区域交通可达性测算方法分析[J].交通科技与经济，2008，10（4）：85-87.

[8]程昌秀，张文尝，陈洁，等. 基于空间句法的地铁可达性评价分析——以2008年北京地铁规划图为例[J].地球信息科学学报，2007，9（6）：31-35

[9]肖晓伟，肖迪，林锦国，等. 多目标优化问题的研究概述[J].计算机应用研究，2011，28（3）：805-808.

[10] 池利兵，王健，胡春斌. 城市轨道交通功能层次划分与规模论证研究[C].// 中国城市交通规划年会暨学术研讨会，2012.

[11] 冯树民，王宪凯，孙祥龙. 基于路段赋值的多目标最短路算法研究[J]. 重庆大学学报（自然科学版），2018（9）：87-92.

[12] 胡佳，赵佳虹，胡鹏. 考虑风险公平性的无能力约束条件下危险废物回收路径优化问题[J].交通运输工程与信息学报，2014（1）：55-61

[13] 章穗，张梅，迟国泰. 基于熵权法的科学技术评价模型及其实证研究[D].管理学报，2010 ，7（1）：34-42.

[14] 黄富民，戴霄. 我国轨道交通分类分级的思考[C].// 中国城市交通规划年会暨学术研讨会， 2011.

收稿日期 2019-06-21

责任编辑 胡姬