冲击载荷下电机-多级齿轮系统动态特性研究

2019-10-21易园园秦大同刘长钊

振动与冲击 2019年19期

易园园，秦大同，刘长钊, 2

(1. 重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044；2.四川理工学院过程装备与控制工程四川省高校重点实验室，四川自贡 643000)

电机拖动齿轮传动系统是一类典型的机电耦合系统，被广泛应用于采煤机、风力发电机等重载、大功率机械装备，这类装备常工作在变载荷、变转速等非稳态工况，易导致齿轮系统出现零部件故障及失效[1]，无法满足机械装备高可靠性的要求。因此，研究电机拖动齿轮系统在非稳态工况下的动态特性，实时监测其运行状态，对保证机械装备高可靠运行具有重要意义。

目前，大多学者在面对电机拖动系统时常将电机和传动系统分开来研究。一部分学者以电机为主要对象，将传动系统简化为弹簧振子并附加在电机转子上，建立了两质量机电耦合转子扭振模型。采用该模型，文献[2-6]研究了磁场作用下转子的非线性振动特性。两质量模型计算量较小，但忽略了齿轮啮合以及轴系扭振的影响，无法完整描述系统的固有振动特性，且不能反映传动系统各构件的动态性能。另外一部分学者主要关注传动装置[7-11]，研究了系统的自由振动或受内、外部激励时的强迫振动特性。这些文献建立了完整的齿轮系统振动模型，但均未考虑电机电气部分，而是将系统转速和电磁转矩设为已知条件。这种方式虽然简单，但无法反映非稳态工况引起的电机瞬态响应及其对传动系统的影响。

齿轮传动常采用电机作为动力源，一些学者研究了齿轮系统扭振对电机电流信号的影响，试图通过电流中包含的机械振动信息来对齿轮系统进行状态监测和故障诊断[12-15]。但是，现有研究大多关注电机拖动单级齿轮系统，且主要分析稳态工况。

本文以某采煤机上的电机拖动多级齿轮传动装置为研究对象，分别采用集中参数法和等效电路法建立了齿轮系统和异步电机的动态数学模型，并通过电磁力集成得到了一个机电耦合模型。在此基础上，研究了冲击载荷激励下齿轮系统的扭振和动载荷响应特性，并结合模态分析找到了系统的薄弱环节；研究了多级齿轮系统扭转振动对电机电流信号的影响，分析了电流信号在稳态及瞬态阶段所反映的机械振动频率；通过比较分析了机电耦合振动对各级齿轮动载荷产生的影响；最后，通过台架试验验证了仿真结果的正确性。研究结果可为电机拖动齿轮系统的动力学设计和状态监测提供理论指导。

1 电机-多级齿轮系统机电耦合振动模型

1.1 齿轮副啮合力模型

一对定轴齿轮啮合的纯扭转动力学模型如图1所示。θi是齿轮i(i=1、2)的转角，其表达式如式(1)；ri为齿轮i的基圆半径；k12、c12、e12和α12分别为齿轮副的时变啮合刚度、啮合阻尼、综合啮合误差和啮合角。

图1 定轴齿轮副纯扭转模型

(1)

式中:ωi是齿轮i的刚体转动角速度，由原动机的转速实时决定；φi是叠加在刚体运动上的弹性扭振角位移。

以往研究者采用方波函数或通过傅里叶展开将啮合刚度和啮合误差表示为时间的函数，这需要预先设定系统转速随时间的变化规律。当运行在非稳态工况，受电机电气部分和系统外部负载共同作用，齿轮转速和啮合周期具有随机性和时变性，不便再采用时间描述。但注意到不论转速如何变化，每个啮合周期内齿轮均转动一个齿距角，因此，可采用齿轮转角代替时间来表示啮合周期，即

(2)

式中：Tm、θm分别为以时间和角度度量的齿轮副啮合周期，Z1为齿轮1的齿数。

进一步，可采用傅里叶级数法将时变啮合刚度、综合啮合误差拟合为随齿轮转角定周期变化的函数

(3)

E1sin(θ1+η1)+E2sin(θ2+η2+α12)

(4)

相应地，齿轮副的啮合力F12及单个轮齿受力Fj分别可表示为

(5)

式中：kj为单对轮齿啮合一次所表现出的啮合刚度。

1.2 多级齿轮系统扭转振动模型

图2为采用集中参数法建立的某采煤机传动系统的扭转动力学模型，系统由3级定轴齿轮和1级行星齿轮机构组成。图中，θi为构件i(i=M,1,2,…,9,sg,pn,rg,c,L)的转角，M、L分别为电机转子和负载装置；sg、pn、rg、c分别为太阳轮、行星轮n、齿圈和行星架。Ji为构件i的转动惯量；kt、ct分别为轴t(t=1，2，…，5)的扭转刚度和扭转阻尼，可通过轴的尺寸估算[16]；krt和crt分别为齿圈扭转支承刚度和支承阻尼；Te为电机电磁转矩;TL为系统负载转矩。

图2 多级齿轮系统集中参数动力学模型

综合考虑刚体转动和弹性扭振，依据牛顿第二定律建立传动系统各构件的动力学方程，如式(6)～式(9)所示。

以第一级定轴齿轮为例，其扭转运动方程为

(6)

将行星齿轮机构转化为随行星架旋转的定轴轮系，得到其扭转运动方程为

(7)

式中：rc为行星轮中心分布圆的半径；N为行星轮个数；Fin(i=r、s)为行星轮n的内、外啮合力;啮合变形δin与传统行星齿轮机构振动模型相比具有不同形式

δin=ri(θi-θc)±rpθpn-ein(θi,θpn)

(8)

式中：±上面的符号对应外啮合，下面的符号对应内啮合；其它参数含义同图1中保持一致。

电机转子M的扭转运动方程为

(9)

式中：cM为转子转动的黏性摩擦系数。在以往大多数文献中，由于没有建立电机电路模型，电磁转矩Te常被视为一个已知的机械载荷，而在本文中Te是连接电机系统和齿轮系统的纽带，且由两者实时决定。

1.3 电机-齿轮系统机电耦合模型

本文中齿轮传动系统由一台鼠笼式三相异步电机驱动。采用Park变换，在两相旋转dq坐标系建立异步电机的等效电路模型[17]，对应的电压方程、磁链方程和电磁转矩方程如式(10)～式(12)。

(10)

(11)

Te=1.5ne(ΨdsIqs-ΨqsIds)

(12)

式中：下标d、q代表d、q轴分量；下标s、r代表定子和转子上的量；U、I、R、L、Ll、Ψ分别为电压、电流、电阻、自感、漏感及磁链；p为微分算子；Lm为定转子互感；ω、ωr分别为dq坐标系的角速度和电角速度。

通过电磁转矩Te将齿轮系统受迫振动模型和电机电路模型建立联系，从而得到机电耦合动力学方程，如式(13)。

(13)

式中包含机-电-磁三个物理场：第一个方程代表机械传动系统的强迫振动模型。θ为转角向量；J、TL、E和Te分别为惯量矩阵、负载转矩向量、啮合误差激励向量和电磁转矩向量；C、K分别为啮合阻尼矩阵和啮合刚度矩阵；C′、K′分别为扭转阻尼矩阵和扭转刚度矩阵。第二个方程代表电机电气系统的等效电路模型。U、R、I和L分别为电压向量、电阻矩阵、电流向量和电感矩阵，θr为电角度。第三个方程代表耦合磁场的动态模型，ne为磁极对数。

2 动态特性分析

采用MATLAB/Simulink搭建电机-多级齿轮系统的仿真模型，采用4阶～5阶Runge-Kutta算法求解系统的动态响应。模型中使用的主要参数见表1和表2。

2.1 自由扭振特性

对式(13)中齿轮系统受迫振动方程进行简化，忽略各弹性构件的阻尼以及内、外部激励，可得到系统无阻尼自由振动方程，其形式为

(14)

对式(14)进行特征值计算，求得系统固有频率如表3所示。该系统主要包含3种自由扭振模式：全局扭振模式、定轴齿轮扭振模式、行星齿轮机构扭振模式。受电机电磁转矩、系统负载转矩等外部激励作用，传动系统可能产生由全局振动模式主导的响应；受时变啮合刚度、啮合误差等内部激励作用，由全局或局部振动模式主导的响应均有可能发生。

表1 机电系统主要参数

表2 齿轮主要参数

图3(a)、图3(b)分别给出了系统的1阶扭转振型和1阶模态应变能分布，刚性构件i(i=M,1,2,…,9,sg,pn,rg,c,L)和弹性构件kt(t=1，2，…，5)、krt的含义同图2中一致，弹性构件k12、k23、…、k89、ksn、krn(n=1，2，3，4)分别表示从电机端到负载端各齿轮副的啮合刚度。

2.2 冲击载荷下电机-齿轮系统响应特性

为研究冲击工况下机电传动系统的动态响应特性，对系统施加阶跃载荷激励，假设系统负载转矩在6 s时由额定值TLN突增0.75倍，如图4所示。

图5(a)、图5(b)所示分别为第一级齿轮时变啮合刚度的时域和频域响应，fm1表示啮合频率。啮合刚度的幅值和频率均具有时变特征，冲击后，啮合频率及其倍频随电机转速降低而减小，显示出将啮合刚度、啮合误差等齿轮系统时变激励因素以齿轮转角来度量的有效性。尤其对于受非稳态工况或运行转速未知的齿轮系统，角度表示法由于不需要转速信息，比传统时间表示法更具优势。

表3 系统固有频率(Hz)和振动模式归类

Tab.3 Natural frequencies and vibration modes classification

阶数全局模式定轴齿轮模式行星齿轮模式120.7271.13393.24504.7593161 323.171 516.281 89692 001.9102 368.1112 368.1122 368.1132 620143 052.5153 758.1164 129.7175 189.9

(a) 1阶扭转振型

(b) 1阶模态应变能分布

Fig.3 Torsional mode shape and strain energy distribution for mode 1

图4 系统负载转矩突然增大

(a) 时域

(b) 频域

图6(a)、图6(b)分别为冲击过程中第一级齿轮单个轮齿受力和电机轴转速的时频响应图，fmg(g=1、2、3、4)表示从电机端到负载端各级齿轮的啮频。可以看出，负载突增后，各频率对应的幅值相应增大。除受齿轮啮合激励产生稳态强迫振动外，传动系统在受冲击载荷激励后产生瞬态自由衰减振动，两种振动叠加使系统动载荷瞬间增大。

从图6可知，自由振动的频率为21 Hz，对应一阶固有频率fN1，表明系统瞬时响应由一阶模态主导。结合图3可知，受冲击后，电机转子和齿轮1反向扭振，将在电机轴上节点附近产生较大的扭转切应力[18]；冲击引起的系统变形能量主要集中于电机轴k1、太阳轮轴k4和齿圈支承处krt，表明这几处为系统的刚度薄弱环节，在设计时可通过匹配这几处的刚度，来提高传动系统的抗冲击性能[19]。

图7(a)所示为冲击过程中电机定子相电流的时域响应，图7(b)、图7(c)分别为稳态阶段电流的频域响应及其局部放大，fst(t=1、2、3、4)表示从电机端到负载端各传动轴的转频。可以看出，电流以电源频率fe为主导频率，此外还包含微弱的机械振动信号。对比图7(b)与图6可知，电机轴上的扭振频率在电流中均有所体现：在电源频率两侧出现以各传动轴转频为间隔的边频带，可表示为|fe±fst|的形式；在高频区各级齿轮啮频及倍频以|fe±nfmg|的形式出现，n为啮频倍数。表明电流信号被传动系统扭振信号调制，载波频率为电源频率，调制频率为各传动轴转频和各级齿轮啮频及其倍频。与单级齿轮不同的是，多级齿轮间存在耦合作用，使频谱中出现了|fe±(fm4-fs2)|和|fe-fs1-fs3|等组合频率成分。此外，电流中与啮频有关的成分其幅值远小于转频，结合式(9)可知，这是由于电机转子惯量较大，起到了一定低通滤波作用。

(a) 第一级齿轮的轮齿力

图8为冲击过程中电机定子电流的时频响应图。系统受冲击后，电源频率fe两侧多出了以一阶固有频率fN1为间隔的边频成分，其频率可表示为|fe±fN1|的形式，这与图6中冲击引起的瞬时波动特征保持一致。表明电流信号对传动系统瞬态振动频率也具有一定反馈能力。

2.3 不同齿轮副动载荷比较

使用系数KA和动载系数KV常用于衡量齿轮副实际动载荷偏离名义载荷的程度，定义KA和KV的计算式分别为[20]

(15)

(16)

(b) 频域

图8 电机定子电流时频响应(0～100 Hz)

式中:Fn为齿轮副的名义法向载荷；δE和δI分别为由负载转矩变化和轮齿啮合引起的齿轮副动态啮合变形。

将传动系统中齿轮副从电机端向负载端依次排序(行星齿轮机构外啮合和内啮合各视作一个齿轮副，分别对应序号7和8)，取各齿轮副的使用系数和动载系数进行比较。图9(a)比较了在相同载荷条件下(见图4)，采用机电耦合模型和纯机械模型得到的各齿轮副的使用系数。可以看出，不同齿轮副的使用系数呈现出从高速级向低速级缓慢减小的趋势，考虑电机磁场影响之后得到的使用系数比不考虑时要小。表明电机对传动系统具有一定缓冲作用，这是由于定速运行电机的磁场具有电磁刚度和电磁阻尼[21]，能够分担并衰减一部分冲击能量；建模时若不考虑电磁作用，将增加机电传动系统的刚性。

为研究多级齿轮耦合振动对不同齿轮副的影响，将各齿轮副分别从传动系统中提取出来，计算其独立运行时的动载系数，然后与在系统中运行时进行比较，如图9(b)所示。在相同的转速和载荷条件下，各齿轮副在系统中运行时的动载系数与独立运行时相比均有不同程度增加，高速级增加幅度比低速级大，且齿轮副2、3的动载系数最大。这表明将不同齿轮副集成在一个传动系统中，相互之间将产生激励作用，加剧了各自的载荷波动，且由于高速级齿轮名义载荷较小，其更容易受系统耦合振动的影响。

(a) 使用系数

(b) 动载系数

3 试验验证

为验证上述理论研究所得结论，搭建了一个三相异步电机拖动两级行星齿轮减速传动系统的试验台，如图10所示。在齿轮箱两端分别布置HBM T40B型转速转矩传感器，并采用LEM IT1000系列电流传感器测量电机的定子电流，传感器信号由QuantumX MX840B数据采集系统进行采集。采用电力测功机对传动系统加载，使惯量飞轮上负载由2 500 N·m突增3.5倍。

定义轴的载荷系数为转矩实测值与受冲击前转矩平均值的比值，图11(a)、图11(b)分别比较了受到冲击瞬间和系统负载稳定阶段齿轮箱输入和输出轴的载荷系数。可以看出，从高速级向低速级，载荷系数呈现减小趋势，这与图9中仿真结果相吻合。

图10 电机拖动两级齿轮减速传动系统试验台架

(a) 冲击阶段

(b) 稳态阶段

图12(a)、图12(b)所示分别为受冲击时电机轴(即高速轴)负载转矩和电机定子电流的时频响应。图12中，fmg(g=1、2)表示高速级到低速级齿轮副的啮频，fN1表示电机-齿轮试验台的一阶固有频率，fe表示电源频率。可以看出，试验结果与仿真结果类似，冲击引起系统产生的瞬时振动频率fN1在电流谱中有所体现。图12(c)所示为稳态阶段电机定子电流的频域响应。图12(c)中，虚线连接的频率表示电源谐波频率，fs1表示电机轴转频。与仿真结果类似，电流中包含齿轮系统转频和啮频信息；不同的是，实际电源中存在谐波干扰，容易使机械振动频率淹没在谐波频率中，需要高精度电流传感器结合信号去噪处理才能从电流中辨识出齿轮系统啮频信息。