关于对统计推断中抽样分布的总结及判别

曲天尧

摘要：数理统计是一门以概率论为理论基础，研究随机现象统计规律性的数学学科。在经济全球化和信息化的今天，经济、管理等学科领域越来越侧重数理统计的应用，尤其是在大数据时代下，统计数据浩如烟海，数理统计的地位就更加凸显。随着社会的发展，推断统计已经取代传统的描述统计，成为现代统计的核心，而抽样分布作为统计推断的开篇内容，同时也是连结概率论与数理统计的桥梁，因此在统计推断中占据重要地位。本文主要对统计推断中常用的抽样分布及其应用作总结，并结合例题对统计量的抽样分布作出合理地判别。

关键词：简单随机抽样;正态分布;χ2分布;F分布;t分布

一、基本概念

（一）总体与个体

在数理统计中，总体就是研究对象的全体，个体即为构成总体的每个成员。对应到概率论中，总体是一个分布，总体的相关数量指标是服从这个分布的随机变量。

（二）样本

样本是对应于总体而言的。为了深入了解总体X的分布，从总体X中随机抽取的n个个体即为样本。样本具有二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取前它们的数值是未知的，所以样本是随机变量，可以记为X1，X2，...，Xn;另一方面，样本在抽取后经观测就可以得到相应的观测值，所以样本又可以说是一组数据，用x1，x2，...，xn表示。在本文中，样本用X1，X2，...，Xn表示，而x1，x2，...，xn表示相应的样本观测值。

（三）简单随机抽样

简单随机抽样是数理统计中最常用的一种概率抽样方法。简单来讲，简单随机抽样要求在每次抽取中，所有待抽取的个体均具有相同的可能性被抽中。具体来说，简单随机抽样要求样本具有随机性和独立性。利用简单随机抽样方法所得到的样本即为简单随机样本，本文所涉及到的样本都是简单随机样本。

（四）统计量与抽样分布

假设X1，X2，...，Xn是取自总体X，容量为n的样本，若样本函数T=T（X1，X2，...，Xn）中不含有任何未知參数，那么T就是统计量。换言之，统计量就是把样本加工成函数，统计量的分布就是抽样分布。

在数理统计中，常见的统计量主要有样本均值、样本方差与标准差、样本矩、次序统计量等。本文涉及到的统计量主要是样本均值、样本方差与样本标准差，其计算公式如下：

公式

其中，X、S2、S分别表示样本均值、样本方差及样本标准差。根据无偏性的要求，本文中的样本方差指的是修正样本方差S，而并非未修正样本方差公式。

二、抽样分布的基本理论

（一）正态分布正态分布是概率论中连续型随机变量最常见的一种

分布，它也是后面三大抽样分布的理论基础。设随机变量X～N（m，s2），则其密度函数j（×）、分布函数Φ·（）分别为

公式

其中，-?0。

对于一般的正态变量都可以通过一个线性变换，使其服从标准正态分布，即若设正态变量X～N（m，s2），则有

公式

下文中采用的是上侧a分位数。

在统计推断中，正态分布主要应用于推断正态总体的均值。对于单个正态总体而言，当样本容量n≥30时，或者当样本容量n<30但总体方差σ已知时可以利用正态分布。若设x1，x2，...，xn是来自总体X～N（m，s2）的样本，样本均值为X，且n330，则有

公式

对于两个正态总体而言，不妨设x1，x2，...，xn1，Y1，Y2，...，公式

的样本，样本均值分别为X和Y，并且n1，n2330，则有公式

（二）c分布

假设总体X～N（0，1），X1，X2，...，Xn是取自总体X，容量为n的样本，则统计量

公式

关于c2分布的定义，也可以这么理解：若设x1，x2，...，xn是取自总体X～N（0，1）的样本，令Y=X2，相应的样本函数为Y=X2，则

公式

独立且同分布，这样便可轻易求得c2分布的数字特征：

公式

当n很大时，根据中心极限定理可知

公式

x^分布是一种非负连续型随机变量的分布，具密度

函数的图形位于第一-象限，峰值向左偏，随着n的增大，峰值将会向右移动。x'分布的上侧a分位数定义如下

公式

其中，fx（）表示x2分布的密度函数。

在统计推断中，x2分布主要应用于推断单个正态总体的方差，即若设.....。是来自总体x～N（μ，σ2）的样本，样本方差为S，则有

公式

（三）F分布

假设X～x*（m），Y～x2（n），并且X与Y相互独立，则统计量

公式

就是服从第--自由度为n，第二自由度为n2的F分布，记为F～F（n，m2）

F分布也是-.种非负连续型随机变量的分布，其密度函数含有两个参数n和n2，密度函数曲线的形状与x2分布相似。F分布的上侧a分位数定义如下

公式

其中，fr（：）表示F分布的密度函数。

在统计推断中，F分布主要应用于推断两个正态总体的方差之比，即若设Xi，y，是分别来自两个独立的总体X～N（A，σ）和Y～N（14，σ2）的样本，样本方差分别为

公式

其中，i12.2...，.2=..特别地，如果σ=σ：则有

公式

（四）分布

假设X～N（0，1），Y～x2（n），并且X与Y相互独立，则统计量

公式

就是服从自由度为n的t分布，记为t～t（n）。根据t分布的定义可得

公式

分布是-一种连续型随机变量的分布，其密度函数的图形关于直线x=0（y轴）对称，形状与标准正态分布曲线相类似。当自由度n足够大（n≥30）时，t分布就可以用标准正态分布近似代替。但对于较小的n，t分布与标准正态分布相差较大。t分布的，上侧a分位数定义如下

公式

其中，f，（）表示t分布的密度函数。

与正态分布类似，在统计推断中，t分布主要应用于推断正态总体的均值。对于单个正态总体而言，当样本容量n<30且总体方差σ未知时便可运用t分布。。若设.2...X。是来自总体X～N（u，σ2的样本，样本均值为义，且n<30，则有

公式

对于两个正态总体而言，不妨设xX.，....川，.，.....是分别来自两个独立的总体X～N（n，σ}）和Y～N（μ2，σ3）的样本，样本均值分别为x和Y，并且几，”2<30，如果o}，o;未知但相等，即o？=σ3=σ2，则有

公式

其中，s：是σ和吃的合并估计量，且有

公式

如果o，σ3未知且不相等，即σ°≠σ3，则有

公式

此时的自由度D满足

公式

三、对抽样分布的总结

公式

通过对抽样分布经典模式的分析可以看出：正态分布是理论基础，x2分布、F分布以及t分布都是在正态分布的基础。上衍生而来，于是便有了如下的三个关系

公式

四、对抽样分布的判别

在实际中，除了要理解这几个抽样分布的经典模式之外，还要对统计量所服从的抽样分布作出合理地判别。

例1设x，X，X，x是来自总体x～N（，σ2）（σ>0）的简单随机样本，试判断统计量.X-X-所服从的分

|X;+X.-2|

布。

解：由题意可得

公式

例2設X，Xx，X，是来自总体X～N（0，σ2）（σ>0）的简单随机样本，试判断统计量2X，-X，

√2|x，|所服从的分布。

解：根据题意得

公式

例3设x..x（n≥2）是来自总体x～N（1，1）的简单随机样本，记x=-Zx，则下列结论中不正确的是（）

公式

因此，本题应选B。

参考文献

[1]何志华.经济分析中概率与数理统计的应用评价[].现代营销（下旬刊），2017年01期.

[2]吴风庆，王艳明统计学[M]科学出版社，2016.

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2010.

[4]张小斐统计学[M].中国统计出版社，2013.