一题多解所涉及的物理思想

谭敏

摘 要：力学涉及诸多的定理、定律，譬如动能定理、转动动能定理、能量守恒定律等等。这些定理、定律是我们分析解决物理问题时非常重要的思想、方法和工具。现通过一道例题的两种不同解答方法来分析其背后所蕴藏的物理思想、方法。

关键词：转动动能;力做功;能量守恒;物理思想

俗话说：条条大路通罗马，这同样适用于物理问题的解答。一道物理题有时往往会有多种解答方法，对各种解答方法进行分析，会发现这些解答方法其实是从不同的角度分析、解答问题。再继续分析，又会发现这些看似不同的分析问题的角度其实内在之间有有着这种或那种内在关联。下面，从一道物理习题的一题多解，透过现象看本质，来分析其背后所蕴藏的物理思想和原理。

例：一轻绳绕于半径   的飞轮边缘。现以恒力

拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。已知飞轮的转动惯量      ，飞轮与轴承之间的摩擦不计，求：（1）当绳子下拉   时，飞轮获得的动能;（2）如果将重量   的重物挂在绳端，当绳子下降   时，飞轮获得的动能是多少？该动能和重力对物体所做的功是否相等？为什么？

（1） 解题思路一：根据刚体定轴转动动能定义直接计算

解：               （1）

（2）

联立可得：              （3）

由转动定律可知           （4）

故：                   （5）

当绳子下拉   时，飞轮的角位移：

（6）

将（6）式代入（5）可得：       （7）

代入数据，即可知当绳子下拉   时，飞轮获得的动能为  。

解题思路二：从能量的角度分析，当绳子下拉   时，施加于绳上的恒力会做功，由于飞轮与轴承之间的摩擦不计，故恒力做功应该全部转化为飞轮定轴转动的动能。

解：恒力做功：           （8）

根据能量守恒定律：          （9）

代入数据，即可知当绳子下拉   时，飞轮获得的动能为  。

至此，我们从两个不同的角度对问题（1）进行了分析，从解题过程来看，方法二更便捷。那么，这个看似不同的分析问题的方法之间有没有内在关系呢？

我们看到（5）式，等式右边   ，其物理意义其实就是力矩的功。

當力矩 为恒力矩时，        （10）

而该题中，飞轮定轴转动时所受的和力矩即为恒力 对飞轮转轴的力矩，是恒力矩。再根据转动动能定理，力矩做功对于转动动能的增量，即：

（11）

由于该题中，飞轮是由静止开始转动，故初始时刻飞轮的转动动能为零，故整理可得到（5）式。

由问题（1）中得到的结论：飞轮定轴转动获得的动能等于作用在飞轮上绳的拉力所做的功。问题（2）中，当将重量   的重物挂在绳端时，飞轮受到的绳的拉力还是98N      吗？肯定不是！那如何求解呢？

解：先受力分析： 对于重物：重力P，方向竖直向下;绳的张力T ：方向沿绳向上。对于飞轮：绳的张力T '，方向沿绳向下，与T互为作用力与反作用力。

列方程：                （12）

（13）

（14）

联立求解得：            （15）

将该式代入（14）式，得绳的拉力：

因此，飞轮定轴转动的动能：         ，代入数据得：     。

该过程中，重力对物体所做的功：    ，代入数据得：    。很显然，在问题（2）中，飞轮定轴转动的动能和重力对物体所做功是不相等的。为什么不相等呢？

在问题（2）中，重物与飞轮构成了一个物体系统，当重物下落的过程中，飞轮在做定轴转动，获得转动动能，同时重物自身也获得了动能。也就是说，在这个过程中重物所做的功会使得其自身的重力势能减少，同时使得重物获得动能，飞轮获得转动动能，且重物获得的动能与飞轮获得的转动动能之和应该刚好等于重力对物体所做的功。

通过这个例题的分析，我们会发现看似相同的条件，实际所产生的运动效果是不一样的，从而得到的结论也不相同。因此，我们在分析问题的时候，一定要从条件出发，分析物体的运动形式，根据不同的运动形式选择适合的运动学和动力学方程求解。另外，看似不一样的解题思路和角度，其实它们背后是有着深层次的联系，这也体现了物理学中的自洽性。最后，力做功一定会跟能量有联系。譬如保守力做功，会使得势能发生改变;作用在质点的合外力做功，会使得质点的动能发生变化。当直接计算力做功时，我们可以考虑从能量的角度找切入点。总之，分析问题的角度和方法是多种多样的，我们可以尝试采用不同的原理进行分析，但最终答案都会是自洽的。

参考文献：

[1]赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2009，11

[2]廖耀发.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，2014，1