基于信息熵的多电飞机供电可靠度评估

祁玄玄，杨兴业，熊 鑫，牟成铭，曹建安

(1.西安交通大学电气工程学院，陕西西安 710049；2.航空工业成都飞机工业(集团)有限公司，四川 成都 610031)

多电飞机技术改变传统液压、机械式的动力系统， 将飞机电能的产生、分配和使用集成到一个统一电力系统中，实现多电飞机电能发、输、变、配的统一规划。由于多电飞机成品部件数量和种类的增加，多电飞机供电可靠度评估成为一个关键问题。如何构建适用于多电飞机可靠度评估的数学模型对其故障预测以及可靠运行具有重要意义。

文献［1］和文献［2］介绍了多电飞机电源系统可靠度分析模型，并且从各个方面说明计算多电飞机供电可靠度的重要性。采用故障树［3-6］对飞机供电系统可靠度进行分析是一种传统分析方式，该方法是从理论上给出了飞机可靠度分析结果。但是随着飞机供电系统元件数目的增加，故障树方法的分析复杂性较大，并且很难对整个供电系统做可靠度评估。后来引入邻接矩阵算法［7-9］求故障树的最小割集，以改善故障树提取割集的效率，该算法具有较强的通用性，在一定程度上弥补了故障树的不足。但飞机供电系统元件数目的增加使得该算法的分析过程复杂，计算时间较长。由于计算机计算能力的提升，概率分析方法-蒙特卡洛法［10-12］逐渐应用在对复杂系统的可靠度评估中，该方法应用灵活、实现简单。由于系统元件较多，且故障率较低，如果直接使用传统蒙特卡洛法对整个多电飞机供电系统做可靠度评估，就需要大量抽样，这将大大降低该算法的效率。

针对以上问题，通过信息熵［13］引入多元件系统的近似概率分布，该近似概率分布可使可靠度评估方差近似为零，从而改善了抽样效率。最后通过一个用例验证了本文的方法在多电飞机供电系统可靠度评估中的优越性。

1 多电飞机可靠度解析模型

图1为某多电飞机供电系统简图，该多电系统由低压直流电和三相恒频交流电系统组成［14］。从图1中可以看出，保护器和发电机以及接触器构成发电机发电系统。交流发电机系统与直流系统为互为热备用的并联系统，应急交流发电机作为冷备用系统的模型。所谓的冷备用意味着当系统的某个供电部件发生故障时，备用供电部件需立即被更换上，并且备用供电部件在备用期间不会发生故障或劣化。虽然单供电模式，比如串联、并联或冷备用等可靠性模型都能够实现系统的供电性能要求，但在元器件老化、失效等约束条件下，系统高可靠性的要求有时无法被满足。因此为实现多电飞机的高可靠性要求，多电飞机电源系统往往由典型的供电拓扑结构，如串联、并联、冷备用等组合而成。

图1 多电飞机供电系统简图

元件的故障概率密度函数为fi(t)，i代表元件个数。为得出元件的故障概率需要对元件的概率密度函数积分，故障概率和“1”作差求出元件t时刻的可靠度Ri(t)。

串联系统可靠度准则是各个串联元件可靠度累积为整个串联系统可靠度，所以得到每个串联子系统的可靠度函数表达式如下。

式中，Rsn(t)为串联子系统t时刻的可靠度；m为串联子系统元件个数；n为串联子系统个数。

并联系统可靠度准则是并联系统故障概率是n个并联子系统故障概率累积。通过累积先求得系统故障概率，然后与“1”作差得到整个系统的可靠度模型。

式中，R(t)为t时刻并联系统可靠度；n为并联系统元件个数。通过上述推导可以得出本文简化飞机供电系统模型的系统可靠度解析表达式。由于各个元件的概率分布不同，式(2)积分后再累积，所以其复杂性很高。为进一步推出系统可靠度，式(3)的复杂性更加高。式(3)适用于本文飞机供电系统简化模型。当系统元件数量增加，系统结构也并非简单的串并联，那么将很难求出如式(3)那样的解析式。因此将回避解析法计算系统可靠度。采用蒙特卡洛对当前短时间范围的飞机系统故障情况抽样。同时引入信息熵的方法对样本抽样概率密度函数进行优化，该概率密度函数可以有效地解决传统蒙特卡罗方法仿真效率低的问题。为建模方便，本文简化了过程，假设系统中每个组件的状态模型是双态模型。

2 多电飞机可靠度估计模型

2.1 蒙特卡洛模型

基于非序贯蒙特卡洛模拟法飞机供电系统可靠度评估过程如下。

(1)随机抽样决定元件状态。

根据式(4)得出系统元件状态。

式中，Xin代表第n个元件的第i次抽样状态，“1”代表故障，“0”代表非故障；ξni代表第n个元件的第i次随机抽样数；un代表第n个元件的故障概率。

(2)分析系统状态。

采样得出系统组件的状态并分析系统是否可以正常供电。故障为“0”，运行为“1”。失负荷评估函数为F(X)。

(3)更新系统的可靠度。

根据式(5)得出当前抽样次数下系统可靠度估计值E^(F)。

式中，N为样本总数；F(Xi)为第i次抽样系统评估状态。

(4)判断是否跳出迭代。

式中，V(E^(F))代表可靠度估计值方差。根据计算方差系数β的值，判断其是否小于设定的阈值，当值小于阈值跳出循环，否则继续执行进行抽样。

2.2 信息熵模型

由于飞机供电系统可靠度较高，在进行蒙特卡洛抽样时很难抽样得到系统故障元件，这样计算得出的系统可靠度基本为1。这显然不是本文需要的。为了提高采样效率，改善原本系统的概率的分布f(x，u)为最优概率分布g(x)，使得方差系数理论上可以为零。但是g(x)往往很难求解。为此，引入信息熵熵方法近似求解，信息熵一般用来衡量目标分布与预测值分布之间的差距。利用信息熵构造了接近g(x)分布的概率分布。

飞机供电系统的可靠度评估表达式如下：

式中，f(x，u)为系统元件状态的概率密度函数；I为失负荷标志函数；s(x)为系统在状态x时系统供电量；r为负荷量；N为抽样次数；Xi为第i次抽样系统状态；l为可靠度估计值。为了提高抽样效率需要对式(7)进行变形。变形后的概率密度可以使可靠度方差系数为零。变形如下：

式中，L(x)为系统元件原概率密度函数和改进后概率密度函数比值，常被称为似然比；g(x)是任意的概率密度函数。式(8)的蒙特卡洛估计值为：

式中，Xi为在概率密度函数g(x)下某次抽样得到的系统状态。

当g(x)=gopt(x)时，l的系统可靠度估计方差为零。gopt(x)的表达式为

可以看出原来的概率密度函数除以l后的概率密度函数可使可靠度估计方差为零。因此蒙特卡洛抽样时，就可以在gopt(x)概率密度函数下，随机抽样得出N个样本。但是从式(10)可以看出gopt(x)和l相关，可l却是待求量可靠度，所以直接使用gopt(x)概率密度函数是不现实的。

本文引入概率密度函数f(x，v)作为gopt(x)的近似概率密度函数。为了衡量f(x，v)和gopt(x)的接近程度，利用信息熵来衡量目标分布与近似概率分布之间的距离D。如式(11)所示。

最小化f(x，v)和gopt(x)的接近程度就是求D的最小值，也就是求 －∫gopt(x)ln(f(x，v))dx的最小值。最后等价于式(12)的最大值问题。

将式(10)中的gopt(x)代入式(11)得到式(13)。

由于l对于已知系统是常数。所以式(13)的等效估计值为

式中，Eu为概率密度函数f(x，u)抽样求均值。上面的推导都是在概率密度函数的基础上。由于本文变量为离散量，所以需要把概率密度函数转换为概率分布函数。比如 f(x，u)转换成 F(x，u)，f(x，v)转换成 F(x，v)，积分变成求和。

X是通过概率分布函数F(x，u)抽样得出的系统抽样样本。由于根据F(x，u)采样产生的有效样本较少，因此利用重要抽样法代替F(x，u)为F(x，w)。所以式(14)变形为式(15)。

式中，Ew为概率密度函数f(x，w)抽样求均值。其中W(X；u，w)=F(x，u)/F(x，w)。通过式(15)的极大值求解就可以得出系统的最优概率分布函数F(x，v)。可以看出式(15)的最大值求解是个多变量极大值优化过程。引入差分进化来迭代求解得出F(x，v)。然后在新的概率分布函数下抽样得出样本，根据式(4)求解出系统可靠度指标。

为了进一步提高采样效率，通过对偶变数法(对偶抽样)一次采样产生彼此负相关的随机数。利用相关点间负关联的这个特点快速减小估计值的方差。

3 仿真与验证

3.1 实例化系统估计模型

根据文献［15］中相关数据，给出两个系统模型下供电系统各个元件的分布类型和参数。如表1所示为主要元件的失效分布参数。

表1 主要元件失效分布参数

本文中测试函数IS(X)＜r代表系统故障情况，S(X)＜r时为0，代表故障，S(X)＞r时为1，代表运行。S(X)代表多电飞机系统的总发电量，r代表多电飞机总负荷。系统元件数目为n。规定Xk代表系统状态空间向量 X 中的第 k次取值，X=［x1，x2，…，xn］。系统元件为双态模型，ui代表元件i的故障概率。ui的具体数值由元件的失效概率密度函数积分得到。根据以上假设得出系统状态概率分布函数F(x，u)。

由于S(X)＜r是小概率事件，因此本文先设法改变概率分布函数F(x，u)为F(x，v)。在改进后概率分布函数F(x，v)下系统可靠度估计如式(17)所示。

式中，W(X，u，v)是修正系数。具体形式如下：

状态空间概率的变化由参数向量v=［v1，v2，…，vn］决定，现在的问题即寻找最优的v以求取F(x，v)。由于差分进化具有结构简单，性能优越，且算法存在可协同搜索的特点。采用差分进化算法求解最优v，能够达到快速优化目标参数v的目的。

3.2 实现流程

①参数初始化。

初始化参数向量v，优化过程样本规模N，系统元件故障率ui，故障率缩放因子k，差分进化迭代次数Ns。对偶变数法下抽样样本规模Nd，方差收敛系数β。

②确定优化目标函数。

根据系统元件故障率ui，故障率缩放因子k，随机抽样N个抽样样本。根据式(15)确定优化目标函数。

③变异。

种群中第i个体变异。通过差分策略实现个体变异。

④交叉。

交叉操作的目的是随机选择个体并确定是否接受上一步骤的结果。

⑤筛选。

采用贪婪选择策略，即根据目标函数值进行优胜劣汰的进化。

⑥条件判断。

判断差分进化迭代次数是否达到Ns。如果达到进入下一步，此时系统概率分布函数为F(x，v)，否则跳转回步骤③。

⑦对偶变数法抽样。

在区间［0，1］内产生n个样本数组，同时用1减去该数组得到其对偶数组。通过式(4)得到本次抽样系统元件状态。

⑧计算可靠度指标。

根据式(15)计算可靠度指标。

⑨条件判断。

判断方差系数是否满足收敛条件。如果满足跳出循环，输出相关信息和图形，否则跳转至步骤⑦。

3.3 仿真结果分析

图2为系统元件的参数利用解析法得到各个元件可靠度分布曲线。可看出系统元件可靠度大体上在运行3000 h就会变得十分不可靠。

图2 可靠度分布曲线

为验证本文算法的优越性，使用传统的蒙特卡洛法、解析法和基于信息熵的可靠度评估法仿真计算A和B系统。

为验证本文算法的收敛特性，仿真了蒙特卡洛法和基于信息熵的可靠度评估法的方差系数收敛特性。此阶段仿真的是在1000 h时刻的系统可靠度。同时为了保证计算结果的准确性，对A系统进行了3次可靠度评估。然后取3次结算结果的平均值作为最终结果。如图3所示是采用Matlab仿真后方差系数收敛图。

图3 方差系数收敛图

从图3方差系数收敛图可以看出，基于信息熵的可靠度评估法在评估飞机供电系统可靠度时具有非常好的收敛特性。本文方法在仿真次数为10000次的时候就可以达到很好的收敛稳定性，而传统的抽样法需要在30000次的时候才可以达到很好的收敛稳定性。相比较而言本文算法在收敛性上提高了2倍。

为验证本文算法的准确性，本文分析解析法和基于信息熵的可靠度评估法可靠度随时间变化特性。

图4所示为电源系统可靠度随时间变化的分布曲线。红色线代表本文方法，蓝色线代表传统解析法。图4可以看出对于A电源系统和B电源系统本文方法相比较传统方法计算结果十分接近，从而验证了本文算法的准确性。

图4 电源系统可靠度

从上面分析可以得出对于电源系统的可靠度分析，采用基于信息熵的可靠度评估法所得可靠度估计模型的分析结果与直接采用蒙特卡罗仿真所得的可靠度分析结果相比收敛性较好，与传统解析法所得的可靠度分析结果相比计算结果准确性较为接近，计算模型的复杂性较小。因此，该模型可以满足航空电源系统可靠度估计的要求。

4 结束语

本文使用基于信息熵的可靠度评估法评估复杂系统可靠度；采用信息熵引入其概率密度分布，从而使得可靠度方差在理论上为零；然后采用差分进化求取近似概率函数；最后在近似的概率分布下，结合对偶变数法，对整个系统抽样做可靠度评估。文章最后采用一个算例，分别使用解析法、蒙特卡洛法、基于信息熵的可靠度评估法做可靠度评估。从收敛性上分析，本文方法与直接蒙特卡罗仿真所得的可靠度分析结果相比，收敛性提高2倍有余。从计算准确性上分析，本文方法与传统解析法所得的可靠度分析结果相比，计算结果准确性较为接近。所以综合分析本文方法非常适用于多电飞机电源系统可靠度评估。