投篮的最佳出手点研究

摘 要：投篮的命中率是一位运动员优秀与否的标准之一，而影响投篮命中率的因素不仅仅有出手角度、球感、出手速度，还有出手点的选择。规范的投篮动作对于运动员而言会使命中率更高。本文通过模型分析并得出结论：当投射高度不同，其他条件相同的条件下，投射高度为2.2m的投中概率比较大，投射角度为40°～50°。研究结果具有较高的应用价值。

关键词：出手角度;出手高度;出手速度;命中率

一、问题背景

投篮运动员如果投球角度很低，虽然投篮从一开始的时间可以缩短，但是强壮的手臂、手腕和手指头上可能完全发挥不出作用。如果采用规范的投篮动作，势必出手时间较长，给防守者以充分的时间做准备，被盖帽的可能性增大。

二、模型假设

假设：运动员有良好的心理素质，防守队员的防守不影响投篮的命中率;运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮筐中心的水平距离;投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内;篮球擦板进篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞，没有能量损失。

三、问题分析

若运动员投篮一定会考虑到出手点，然而篮球的出手点是指运动员投篮出手時碰到球最后的一点，无论是单手或者双手投篮，持球时手指应自然张开，掌心空出一定距离，用手指根部及手掌触球，会增大对球的接触面积，以保持篮球的稳定性，原地投篮时控制篮球的出手方向是必要的。投篮时，篮球最后出手的动作，是投篮能否命中的关键。它可以直接影响到投篮的力量、弧度、方向和篮球的自转。出手动作包括正确的投篮姿势和全身各个部分的协调用力。投篮时全身各部分协调用力要有一定的顺序，整体动作要轻松柔和，连续贯通，掌握好全身节奏。

跳投球是一种斜抛运动。在个人攻击跳投时，设防守者在投者与篮圈之间，防守者封盖的起跳点、投者跳投的起跳点、篮圈中心垂直于地面的投影点在一条直线上;投者采取垂直上跳用直臂高手封盖。

四、符合说明

θ：出手角度;V：球出手时线速度;T：球的飞行时间（以出手时为零时刻）S：防守队员与投篮者之间的距离;H：篮筐中心的高度;h：篮球运动员的出手高度;v：篮球运动员投篮出手速度;按照标准尺寸，g=9.8（重力加速度），H=3.05（篮筐高度），d1=0.45（篮筐直径），d2=0.246（篮球直径）。

五、模型建立与求解

建模与求解。

根据图1，其运动方程如下：

以篮球经过篮筐中心时的入射角φ可以近似取代篮球球心经过篮筐前上沿的正上方到球心低于篮筐平面过程中的入射角φ，则篮球入筐时不碰到篮筐的最小角度如下：

最后得到的是一个复杂的式子，很难看出v和θ的关系，此时，我们假设身高1.91m的运动员在三分线和罚球线助跑起跳投篮，篮筐中心点距三分线边缘的水平距离是6.25米，与罚球线中点的水平距离是4.60米;该运动员投篮出手时球的高度是2.25米，距离篮筐就应为3.05m-2.2m=0.8m。

以第一次在三分线投篮为例，将l=6.25，带入上式h=0.9（1）式，则有：

依据模型，我们分析如果中心距离是7.4m，出手高度是26m的投篮情况。因为速度太小，距离篮筐中心的误差就比较大。篮球出手水平方向与板面的夹角成45°，假设成镜面现象，只要投到正反面的筐内，那么球就一定能投入筐中。当投射高度不同，其他条件相同的条件下，投射高度为2.2m的投中概率比较大，投射角度为40°～50°。

参考文献：

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[4]姜启源，谢金星.数学建模案例选集.高等教育出版社，2006.

[5]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第4版）.高等教育出版社，2011.

作者简介：陈海峰（1974-），女，内蒙古乌兰察布人，理学硕士，副教授。