跨越断层，化零为整；数形结合，建构模型

骆乐

【课前思考】

现行人教版教材中三年级和五年级都编排了较多“解决问题”的内容，但四年级只安排了两个基本的数量关系教学内容（单价×数量=总价，速度×时间=路程）。而在五年级教学《简易方程》时，首先要求学生分析数量关系，然后根据数量关系列出方程，学生在解决稍复杂的问题时对一些数量关系就会分辨不清。追溯到四年级，我们发现在教学完这两个基本的数量关系之后，教材并没有安排相关内容进行巩固拓展，导致到了五年级学习方程时部分学生缺乏相关的经验积累。

两积之和结构的问题是小学阶段比重较大的问题，有很多经典问题就是以它为原型进行变式的（如鸡兔同笼等），但是两积之和问题在教材中并没有正式、独立的教学例题，只有一些零散的习题，学生碰到或许能解决，但却不能感受这些问题之间存在的联系。

基于这样的思考，我们设计了一节解决两积之和问题的课例。通过教学，让学生发现特征，提炼两积之和的模型，尝试借助模型去解决各种变式，同时在学习过程中感受用形去理解、表达题意和解决问题的好处，逐步渗透几何直观意识，培养几何直观能力，同时为后继的方程教学打下坚实的基础。

【教学目标】

1. 让学生从不同情境中提炼两积之和问题的特征，掌握解决两积之和问题的方法。

2. 经历观察、比较、归纳的过程，感受数与形之间的联系，提升解决变式问题的能力。

3. 在合作交流过程中，培养合作能力、归纳能力和几何直观能力。

【教学重点】能从不同的问题情境中发现两积之和的特征，掌握解决问题的方法。

【教学难点】引导学生沟通数与形之间的联系，借助形理解、解决各种变式问题。

【教学过程】

一、复习导入

1.列式解答

依次出示问题，学生口答，并说说是怎么思考的？

a.一副乒乓板20元，买5副需要多少元？

b.王叔叔开车从甲地到乙地，每小时行80千米，6小时到达。甲、乙两地相距多少千米？

c.工程队修路，每天修30米，10天修完，这条公路有多长？

2.整理数量关系

单价×数量=总价、速度×时间=路程、每天修的米数×天数=总长。

（设计意图：通过口答一步计算的问题，帮助学生回顾已经学过的简单数量关系，为后续教學做好铺垫。）

二、两积之和教学

1.出示问题，尝试解决

师（出示上图中题目）：你们能解决吗？请在练习纸上完成。

（学生完成后集体进行校对）

师：在解决问题的时候你们是怎么想的呢？

生：我选第（1）题，苹果每千克4元，买5千克，用5×4=20（元）求出苹果的总价钱，梨每千克2元，买了3千克，用2×3=6（元）求出梨的总价钱，再相加就可以了。

生：我选第（4）题，先求红色长方形的面积是5×4=20（米2），黄色长方形的面积是3×2=6（米2），然后把两个加起来就是总面积。

……

根据学生回答，引出四个数量关系式：

苹果的价钱+梨的价钱=总价钱;师傅做的个数+徒弟做的个数=总个数;小明的路程+小红的路程=总路程;红长方形面积+黄长方形面积=总面积。

2. 对比交流，提炼特征

师：仔细观察这四道题，在解决方法上它们有没有什么相同的地方？

（学生讨论后反馈）

生：都是先算两部分，再把这两部分加起来。

生：都是先算乘法，再算加法。

师：是的，虽然题目不同，但都是先分别求两部分的积，再相加求和。这就是我们今天要学习的两积之和问题。

3. 沟通数与形之间的联系

师：除了解决方法是相同的，题与题之间还有相类似的地方吗？

生：我觉得第（1）（4）两题的算式是一样的。

师：除了算式一样，还有没有其他联系？

生：我觉得这道价格题能用这幅图表示，红色长方形面积相当于苹果的总价，黄色长方形面积就相当于梨的总价。

师追问：明明是长方形的面积呀，怎么能表示苹果和梨的总价呢？

生：图中的4可以表示苹果的单价4元，5表示苹果的数量5千克，2代表梨的单价，3代表梨的数量3千克。

课件动态演示理解：

经过这个学生的启发，很多学生打开了思路：第（2）题能用第（3）题的图来表示，第（2）题能用第（4）题的图来表示……

师小结：同学们很善于观察思考，不仅发现这四道题有着相同的结构，还发现了文字与图形之间隐含的联系。接下去我们继续用你们的发现来解决问题。

（设计意图：通过四个不同情境问题的解决，让学生感悟解决方法上的共性，提炼两积之和问题的特征。同时引导学生进行数与形之间的沟通，深入感悟两积之和的模型。）

三、深化两积之和的模型

1.自主编题

师：刚才通过解决问题，我们知道第（1）题中李红共需要付26元，现在有五个信息了，你能将其中一个信息改成问题，重新编出一道题目吗？

出示编题要求（如上图）。先請一学生上来在电子白板上示范编。接着全班学生自主编题。

2.反馈编题

师：同学们很会动脑筋，编出了不同的题目，我们一起再来回顾一下。

3.对比沟通

师：观察一下，跟前面这些题相比，解决方法上有什么不同呢？

生：前面是先乘再加，后面是用总数减去其中一个部分得出结果。

生：前面是两部分相加，后面是用总数先减再除。

师：是的，其实还是利用这个关系，但当“和”已知时，要倒过来，用和减其中一个积，再利用之前学习的数量关系来解决题目中的问题。

（设计意图：通过对价格问题的逆向编题活动，不断让学生在条件与问题之间、数与形之间展开变式，渗透数形结合思想;同时对比正向和逆向题目的异同，让学生更深层次地感悟两积之和的模型，提升解决问题的能力。）

四、拓展两积之和的模型

1. 出示变式题

师：现在老师要把题目再变一变了，有两个问题，多了一个信息。这个问题能解决吗？还能用图来帮助我们分析吗？

（四人小组讨论，记录方法）

2. 交流方法

生：我加了一条辅助线（如上图），下面这个长方形表示的就是假设苹果的单价和梨一样，那8千克的水果只需要2×8=16元，而实际用了26元，说明苹果实际要多付26-16=10元，这是因为苹果实际每千克比梨贵4-2=2元，所以苹果有10÷2=5千克，梨就是8-5=3千克。

师：当苹果和梨的数量都不知道时，无法计算两部分的积，但像你们这样一分，就能知道下面这部分的积，然后就能求出上面这部分的积，这样就能求出苹果的重量和梨的重量。

3.小结提升

师：这样的问题你们以前有没有碰到过？

生：这是鸡兔同笼问题，我课外学习过，但是我没有用图形来解决。

生：我以前都是背公式的，现在发现用图形来解决更方便。

师：看来这幅图的作用可真大！

师：其实这个问题还有另外一种思考方法。

出示：

师：留给同学们课后思考！

（设计意图：借助图形解决复杂的两积之和问题，提高学生运用数形结合思想分析并解决复杂问题的能力，促进思维能力的发展。）

【教学反思】

一、不同情境找相同，感悟题组特征

教学前，笔者通过分析3～5年级的教材，提炼出了四种典型问题（价格问题、工作问题、路程问题、面积问题）作为例题进行教学，通过让学生自主解决和对比沟通，发现共性，从而提炼出两积之和的结构特征。让学生感悟到这些不同的问题竟然都是同一类问题，帮助学生跨越断层，化零散的知识点为整体的知识面。

二、正逆改编对比， 凸显模型本质

整节课的素材选取分为三个梯度，第一个梯度是正向的四道典型例题，第二个梯度是学生自主创编的四道逆向题，第三梯度是有两个未知量的拓展题。这三组素材层层递进，从简单的结构拓展变换成更复杂的结构。从不同的角度和宽度，丰富学生对两积之和这一模型的认知，让学生感悟到题型繁杂，千变万化，但万变不离其宗，都是两积之和的模型或变式。

三、沟通数形联系，深化模型理解

这四道题目的呈现有文字也有图形，意在让学生发现解决方法是相同之后，再次引导学生不断去寻找数与形之间以及形与形之间的联系，在不断求联的过程中，渗透数形结合思想。

在拓展练习中，引导学生尝试借助面积图去分析较难的问题，并给予充分思考和交流的时间，使学生深刻感受到借助图形来解决问题是非常不错的一种方法。事实上，学生通过这样的学习不仅感受到数与形之间的联系，更能借助形去理解难度更大的问题，能够主动去建构之前所学的一些内容和本课所学内容之间的联系。

（浙江省杭州市钱塘实验小学   310000）