NSD样本最近邻密度估计的强相合性

聂彩玲,李永明,应锐

( 1.南昌大学理学院,江西 南昌330031;2.上饶师范学院数学与计算机科学学院,江西 上饶334001;3.上海财经大学统计与管理学院,上海200433;4.上饶师范学校,江西 上饶334001)

1.引言

设总体X的分布密度函数为f(x),{X1,···,Xn}是抽自该总体的负超可加相依(NSD)样本.设{kn,n≥1}为给定的正整数列,满足1≤kn≤n.令an(x)为最小的正数a,使得[x−a,x+a]中至少包含X1,X2,···,Xn中的kn个,则密度函数f(x)的最近邻密度估计为

又设F(x)是密度函数f(x)的分布函数,其对应的Fn(x)是样本X1,X2,···,Xn的经验分布函数.

最近邻密度估计(nearest neighbor估计,简记为NN估计)的概念是由Loftsgarden等[1]在1965年提出来的.关于最近邻密度估计的性质,在独立样本情形下已有许多研究结果[1−4].在相依样本情形下,兰冲锋[5−6]研究了END样本最近邻密度估计的强相合速度、NQD样本最近邻密度估计的一致强相合速度,曾翔[7]讨论了平稳φ-混合序列最近邻密度估计的相合速度,G.Boente等[8]讨论了φ-混合序列最近邻密度估计的大样本性质,杨善朝[9]在NA下讨论了最近邻密度估计的相合性.

NSD随机变量的概念由胡太忠[10]引入,他在文中举例说明了NSD变量不一定是NA变量.之后,Christofides[11]证明了NA随机变量是NSD的.鉴于NSD相依序列是NA序列的推广,一些文献对NSD序列进行了研究.如:郑璐璐[12]研究了NSD随机变量加权和的强收敛性;余云彩[13]研究了NSD序列加权和的中心极限定理及其在EV回归模型中的应用;WANG[14]讨论了NSD随机变量阵列的完全收敛性;SHEN[15]给出了NSD随机序列的Rosenthal型矩不等式的一些应用.

然而对于NSD序列样本最近邻密度估计大样本性质研究较少,本文主要在NSD序列样本下讨论式(1.1)中给出的最近邻密度估计的相合性.

为行文方便,C,C1,C2,···表示常数,在不同地方取值可以相同也可以不同.

2.引理与定理

定义2.1[10]称函数ϕ:Rn→R 为超可加函数,如果对所有的向量x,y∈Rn,满足

其中,∨ 代表它们之间的最大值,∧ 代表它们之间的最小值.

定义2.2[10]称随机变量{X1,···,Xn}为负超可加相依(NSD)随机变量,如果存在相互独立的随机变量X∗1,···,X∗n,使得对每个i,X∗i与Xi同分布,且

其中ϕ是超可加函数,并且使得其期望存在.

引理2.1[10]设{Xn,n≥1}是NSD随机序列,fn(x)关于x为非升(降)的连续函数,则{fn(Xn),n≥1}仍是NSD随机序列.

引理2.2[16]设{Xj,j≥1}是NSD随机序列,EXj=0,|Xj|≤bj,a.s.,且t·其中t>0.则对任意的ε>0,有

定理2.1设{Xn,n≥1}为同分布的NSD随机序列,有共同的密度函数f(x),设kn满足kn→∞,→0,n→∞,则对f(x)的任意连续点x,有

证对任意的ε>0,令bn(x)=则有

当f(x)≤ε时,由fn(x)的非负性知,事件fn(x)cn(x))只考虑f(x)>ε时的情况.

故

记ηi=I(Xi≤x+bn(x)),ζi=I(Xi≤x−bn(x)),ξi=I(x−bn(x)

令Zi=ηi−Eηi,Ti=ζi−Eζi,由引理2.1知{Zi,1≤i≤n}和{Ti,1≤i≤n}仍为NSD随机序列.且

令t=由引理2.2知

令C1=则

同理可证

令qn=类似于式(2.1)和(2.2),有

令t=由引理2.2知

令C2=则

同理可证

取常数C=min{C1,C2},由式(2.3),(2.4),(2.7)和(2.8),可得

又当n→∞时,→∞,故

即

根据Borel-Cantelli引理,

即

证毕.

注2.1文[9]定理1中的(2)假设的是而本文定理2.1的(ii)假设为得到了与NA样本情形下相同的结论.

引理2.3[9]设F(x)是连续分布函数,其经验分布函数为Fn(x).令xn,k满足F(xn,k)=k/n,其中n≥3,k=1,2,···,n−1,则

定理2.2(一致强相合性) 设{Xn,n≥1}为同分布的NSD随机序列,有共同的密度函数f(x),且f(x)一致连续,设kn→∞,则

证

其中Fn(·)表示样本的经验分布函数.

由微分中值定理知,存在θ1∈(x−bn(x),x+bn(x)),θ2∈(x−cn(x),x+cn(x)),使得

因为f(x)一致连续,故对于任意的ε>0,存在δ >0,使得当|x−y|<δ时，有

关于x一致成立,且由f(x)>ε,

关于x一致成立.

因为θ1∈(x−bn(x),x+bn(x)),θ2∈(x−cn(x),x+cn(x)),所以|x−θ1|<δ,|x−θ2|<δ.故由式(2.12)得

以及

故

其中

因此

由kn→∞,可知故由引理2.3,得

令t=,当n→∞时,由→0,可知t→0,故满足引理2.2的条件.由可知当n足够大时,有因此

因此

由Borel-Cantelli引理得