耗散Boussinesq方程弱解的爆破

2019-10-16苏晓王书彬宋瑞丽

应用数学 2019年4期

关键词：范数等式结论

苏晓,王书彬,宋瑞丽

(1.河南工业大学理学院,河南郑州450001;2.郑州大学数学与统计学院,河南郑州450001;3.中原工学院信息商务学院,河南郑州450007)

1.引言

本文研究下列初边值问题

的弱解在有限时间发生爆破的充分必要条件及爆破时间的下界估计,其中Ω是Rn中具有光滑边界的有界区域,∂Ω是Ω的边界,f(u)=|u|p−1u,1

−βλ1,λ1>0是−∆在Dirichlet边界条件下的第一特征值,下标t表示对t的偏导数．

1872年Boussinesq[1]提出一类描述浅水长波的方程

并给出了方程(1.4)的某些特殊孤立波．1974年Zakharov[13]提出方程(1.4)的另一种形式

用来描述非线性弦振动.方程(1.4)和(1.5)被后人称为Boussinesq(Bq)方程．Bq方程的提出第一次对Russel提出的孤立波现象[8]做出了科学的满意的解释[2].Bq方程是经典线性波方程的扰动形式,结合了非线性和色散的基本思想,这也是许多水波模型的特点．此后Bq方程得到了广泛的研究应用和推广,从不同形式的非线性项的角度出发提出了广义Bq方程

Bq方程及其广义形式的定解问题得到了广泛的研究,并取得了丰富的研究结果,这些结果主要集中在初值问题和初边值问题弱解和强解的整体适定性、有限时间爆破及解的长时间行为.1988年Bona和Sachs[2]研究了方程(1.6)的初值问题．作者使用拟线性发展方程的Kato理论证明了问题的局部适定性,并进一步证明了古典解的存在性.1993年Linares[4]研究了方程(1.6)的初值问题,其中非线性项为f(u)=|u|αu．通过建立相应的线性问题解的光滑效应(Lp-Lq估计或Strichartz 估计)结合压缩映像原理讨论了低正则局部解,通过建立能量等式进一步证明了当初值分小时H1(R)中的局部解可延拓为整体解,并给出了解的衰减性质．1995年LIU[5]利用凸性方法证明了方程(1.6)孤立波解的不稳定性.2000年LIU[6]研究了当初值落在基态解的某个小邻域内时解的有限时间爆破,此结论是文[5]中爆破结果的一个改进．

Bq方程及广义Bq方程孤立波的存在性说明了非线性项和色散之间的平衡．在耗散系统中没有能量守恒而是能量生成(energy production) 和耗散之间的平衡关系．为了描述非线性项、能量生成和耗散之间的关系,1994年Christov和Velarde[3]提出了用来描述薄粘性液体中流动的耗散Bq方程：

方程(1.7)还可描述非线性弹性梁的振动[9].当α4=0时,方程(1.7)就是阻尼Bq方程.

WANG和SU在文[11-12]中分别研究了方程(1.7)的初边值问题和初值问题,讨论了在三种不同初始能量状态下弱解的整体适定性及弱解在有限时间爆破的充分条件,并在文[12]中讨论了低初始能量状态下解在有限时间发生爆破的必要条件.其中在文[11]中得到了如下结论:若存在时间t0使得u(t0)落在位势井集合,

内,则存在时间Tmax使得问题(1.1)-(1.3)的弱解u满足

其中

I(u)也被称为Nehari泛函,位势井深度d定义为

关于位势井深度的讨论可以参看文[5,7,10].反之,若问题(1.1)-(1.3)的弱解满足(1.9),是否一定存在时间t0≥0使得u(t0)∈V？本文将证明在非线性增长阶p满足一定条件下,上述结论是正确的,即给出了问题(1.1)-(1.3)的弱解在有限时间爆破的必要条件.此外本文还给出解存在的最大时间Tmax的一个下界估计,这些结论在文[11]中未得到讨论,本文是对文[11]的一个补充说明.

文中将使用标准的符号：Lp=Lp(Ω)表示Lebesgue空间,‖· ‖Lp表示Lp中的范数,其中1≤p≤∞,为了书写方便,用‖· ‖表示L2中的范数;H10=H10(Ω)表示Sobolev空间,‖·‖L2+‖∇·‖L2与‖∇·‖L2是H10中的等价范数;(·,·)表示L2中的内积．