一种基于量子化状态系统的求解方法研究

吴晨佳 李志华

摘 要：在数值积分求解的算法中，通常采用传统数值积分方法来仿真求解。但这些传统方法在面对刚性常微分方程时，求解过程表现出仿真振荡的现象。基于此现象，本文引入一种基于量子化状态系统的新算法（QSS方法），通过仿真求解，对比传统数值积分方法的仿真精度和仿真效率，结果证明了QSS方法的可行性和优越性。

关键词：量子化状态系统;刚性常微分方程;仿真

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.04.141

0 引言

解决工程实际中的科学计算问题，一般需要经过建立数学模型，选用合适的数值计算方法、采用合适的软件平台计算问题的数值结果、验证所得结果是否符合客观实际等主要步骤[1-2]。其中选用数值计算方法是一个重要的环节，它是使用计算机计算数值结果，并对这些数值结果进行分析的依据和基础[3]。

通常采用传统数值积分方法来做为方程求解的第一选择。而且到目前为止，已经产生了数百种具有不同特征的求解方法[4-5]。常见的传统数值积分方法有欧拉（Euler）法、龙格-库塔（Runge-Kutta）法，其中Runge-Kutta法里比较典型的算法为ODE15s和ODE23s。欧拉法的求解方式非常简单，因为它不需要任何更高阶导数的近似值。Runge-Kutta方法是实际应用中经常使用的高阶一步法。它是通过泰勒级数的扩展，从一阶（欧拉法）技术到更高的近似精度，因此扩展了数值积分的概念[6]。

虽然这类算法的运行机制已经有很长的时间了，且也能较好的解决一般常微分方程，但是，在面对刚性常微分方程时，这些传统积分方法表现出了一定的局限性，尤其是在求解过程中出现仿真轨迹振荡。

量子化状态系统（Quantized State System，QSS）方法是一种新的数值积分方法。该算法由Zeigler[7]提出，并由Kofman首次实现[8]。在求解传统积分方法难以求解的刚性常微分方程时，这种方法采用状态变量量子化的形式，增强了仿真求解过程的稳定性和高效性[7]。

本文引入了一种求解ODE的新算法，即QSS方法。为验证QSS方法在求解刚性常微分方程上的仿真性能，选取了典型刚性算例进行了算法的仿真实现和验证。并通过与传统数值积分方法的性能对比，验证了算法的有效性。

4 结语

（1）在面对刚性常微分方程时，QSS方法无论是在仿真精度上还是在仿真效率上，都比传统数值积分方法更为优越。

（2）QSS方法为刚性常微分方程的求解提供了借鉴意义。

参考文献：

[1]高磊.多体系统动力学时间离散最优控制方法研究[D].青岛： 青岛科技大学，2016.

[2]王振荣.七自由度机械臂动力学分析与仿真[J].计量与测试技术，2018，45（04）：18-27.

[3]于清，洪嘉振.柔性多體系统动力学的若干热点问题[J].力学进展，1999，29（02）：145-153.

[4]Hairer E，Wanner G.Solving ordinary differential equations II： stiff and differential-Alge-braic problems[M].Springer-Verlag，Berlin，1993.

[5]Hairer E，Wanner G.Solving ordinary differential equations I： nonstiff problems [M]. Spri- nger， Berlin，1991.

[6]Joan Aguilar Mayans.Numerical Integration and Optimization of Motions for Multibody Dynamic Systems[D].American： University of California，2017.

[7]Zeigier B， Lee J S.Theory of quantized systems： formal basis for DEVS/HLA distributed simulation environment[J].In Proceedings of SPIE，1998：49-58.

[8]Kofman E， Junco S.Quantized-State Systems： a DEVS approach for continuous system simulation[J].Transications of the Society for Modeling and Simulation International， 2001，18（01）：2-8.

[9]Dipietro F，Migoni G，Kofman E. Improving a linearly implcit quantized state system method[C].Proceedings of Winter Simulation Conference， Virginia，2016：1084-1095.

作者简介：吴晨佳（1993-），女，浙江湖州人，硕士研究生，研究方向：多领域统一建模与仿真优化。