基于等速线模型的一维黄土动荷载响应分析

王文丽，王兰民

(中国地震局兰州地震研究所,甘肃 兰州 730000)

黄土作为一种特殊的岩土材料，由于其特殊的粉粒性、富盐性、大孔性、欠压密性、非饱和性的多孔隙弱胶结架空结构[1-3]，使得黄土具有较高的地震易损性[4-6]。在动荷载作用下其宏观力学行为十分复杂[7-8]，因而构建黄土材料的震陷理论计算模型是一项相当困难的工作。就目前来看，对黄土震陷的研究大致可分为两类。首先是基于试验数据统计分析黄土震陷与土的物理力学性质间的经验方法，如王兰民等[9]建立了考虑物性参数、固结应力、振次和地震动应力等因素的西北黄土残余应变的经验计算公式；陈永明等[10]提出了利用土层剪切波速预测黄土场地震陷量的方法；栗润德等[11]通过试验研究，探讨了黄土的动强度和震陷随含水量的变化规律；王峻等[12-14]对原状黄土的动荷载试验研究表明，黄土的震陷与随机地震荷载的卓越周期、峰值和持续时间相关；徐舜华等[15]通过试验研究提出了不同动应力作用下的黄土震陷临界含水量。总结这些成果可以发现，黄土的震陷是一个复杂的物理力学过程，会受到干密度、含水量、受力历史以及震动荷载等多重因素的影响。第二类是基于微观机理的半经验方法，如邓津等[16]应用黄土气固表面原理，建立了应用微结构特征参数估算黄土震陷系数的半经验公式；孙军杰等[17-18]通过耦合孔隙比及压缩量与应力比之间的定量统计关系，建立了计算地震动作用下黄土残余应变(震陷系数)的数学估算模型。分析以上研究可以发现，经验方法在研究和判断黄土震陷时起到了重要作用，但受到试验条件的限制，在力学状态和边界条件更为复杂的实际工程中其适用性有限；而基于微观机理的半经验理论模型由于其繁多的内变量参数极难通过试验获取使得其工程实用性大打折扣。就目前来看，使用宏观理论方法对黄土震陷的研究鲜有报道[19-21]。在描述复杂条件下土体的应力应变行为时，基于“现象学”的宏观理论模型具有独特的优势(相关参数易于获取、适用于复杂力学状态的工程问题)，这也是常规土力学中使用最为普遍的方法。因而，可以借鉴现有常规土力学中得到成功应用的理论模型，研究黄土在复杂荷载条件下的震陷特性。

根据先前的研究，表征土体受力历史的前期固结压力以及震动荷载频率均是会影响到土体震陷的重要指标[9,14]。这表明，预测黄土震陷的理论模型需要充分考虑应力历史以及加载速率的影响。在现有常规土力学的理论模型中，“等速线理论”能够较好地描述这两个因素对土体应力应变行为的影响[22-23]。在该理论中，不同加载速率条件下的应力应变曲线为一系列平行线，即：在发生相同应变的情况下，应变速率越大所对应的压力越大，反之亦然；且前期固结压力与加载速率成正比。这一理论已在软土沉降计算中得到成功应用[23]。“等速线理论”最初是针对静力问题发展而来，参数可以通过常规的固结加载试验获取。考虑到土体的震陷是在动荷载条件下产生的变形，因而相关参数的获取需要充分考虑动荷载加载速率的影响，并对其进行修正。因而，将“等速线理论”应用于预测黄土震陷特性的关键在于对其相关参数进行必要的修正，使其能够准确反映动荷载对土体沉陷的影响。

本文以兰州黄土为研究对象，进行不同加载速率条件下的压缩试验。获取相关模型参数，对比分析加载速率对模型参数的影响，并提出针对动荷载的模型参数获取方法。同时,根据不同加载频率和震动幅值条件下的应力应变试验结果验证“等速线模型”的正确性，进一步分析震动荷载条件下黄土变形的影响因素及规律。

1 控制方程及数值实现

“等速线理论”将外荷载作用下土体产生的总应变分为弹性应变 (εe) 和黏塑性应变(εs)两部分，即：

ε=εe+εs

(1)

其中，弹性应变速率为：

(2)

黏塑性应变速率为：

(3)

则土体的总应变速率可写为：

(4)

将式(4)对时间积分则可得到土体的总应变：

(5)

式中：a——回弹系数，为ε-lnσ压缩曲线上弹性阶 段的斜率；

b——塑性压缩系数，为ε-lnσ压缩曲线上塑性阶段的斜率；

c——黏塑性应变速率参数，为恒定荷载条件下应变对应于时间对数的斜率；

τp——内变量参考时间，等于逐级加载试验中每级荷载的持续时间；

σp——前期固结压力；

σ——当前应力。

式(5)给出了土体在荷载作用下总应变的积分计算公式，但其结构形式较为复杂，很难得到严密的解析解，因而可以将式(4)转化成增量形式，进而求取总应变的数值解。式(4)的增量形式可写为：

(6)

式中：σt0——t0时刻土体的应力。

则土体的总应变则可表示为：

(7)

式中：ε0——t0时刻土体的总应变。

通过式(1)～(7)，本文推导了基于“等速线理论”的土体总应变的数值计算公式，下面将进一步开展不同加载速率条件下的K0压缩试验，并根据正弦震动荷载压缩试验结果探讨相关参数的获取方法，并验证该理论在预测震动荷载条件下土体应变的正确性。

2 试验介绍及参数获取

本文以兰州黄土为研究对象，其液限和塑限分别为26.7%和14.3%，级配曲线如图1所示。试验中所用土样均为重塑土样，先对土样进行烘干、磨粉，过孔径为2 mm的土样筛。将过筛的土样加蒸馏水搅拌均匀并控制含水量在9%。再将湿润的土样装进内径与高度分别61.8 mm和20 mm 的模具内压制成型。通过控制加入土样的质量，制备成干密度为1.60 g/cm3的土样。为了研究不同加载速率对土样力学参数的影响，对每组土样进行5种不同加载速率的K0压缩试验，即：第一种以50 kPa/s 的加载速率将土样荷载从0 kPa施加至1 000 kPa；其他4种加载试验采用七级不同压力(50，100，200，400，600，800，1 000 kPa)对土样进行逐级加载，加载过程中采用4种不同的荷载持续时间(10，30，60，120 min)来代表不同的加载速率。另外，对相同干密度的土样进行不同频率和平均应力条件下的正弦震动荷载K0压缩试验,具体试验安排如表1所示。

图1 兰州黄土颗粒级配曲线Fig.1 Grain size distribution of the Lanzhou loess

荷载频率/Hz平均应力/kPa应力幅值/kPa0.2020025300500.022002530050

如式(1)～(7)所述，基于“等速线理论”描述土体的应力应变关系需要首先根据试验数据获取该理论中的5个模型参数，即：a，b，c，τp和σp。这里以每级压力加载时长为1 h的K0加载试验结果为例进行说明。图2为加载时程1 h条件下得到的应力应变(ε-lnσ)曲线。图中，应力应变曲线可分为2个阶段，即：弹性阶段和塑性阶段。a和b分别为这2个阶段应力应变曲线的斜率。根据Casagrande法，在曲线上，找出曲率最大点m，作水平线m1和m点切线m2，再作m1和m2的角分线m3，m3与塑性阶段延长线交于点B，B点对应的应力值为先期固结压力σp。内变量参考时间则为每级压力的加载时长1 h。对于黏塑性应变速率参数c，可以通过每级压力条件下应变与时间对数的曲线获取(图3)。从图3可以发现，在各级压力条件下，土体应变随时间对数的变化曲线为一系列平行线，因而c取为这些平行线的斜率。根据以上相关参数的获取方法，表2为不同加载速率(加载时长)条件下得到的相应模型参数。其中，对以50 kPa/s直接加载至1 MPa的参数由于无法通过试验数据直接获取参数τp和c。因而在实际计算同通过参考不同加载时长数据获取的相应参数。通过表2可以发现，虽然参数a，b和σp均会随着加载速率的升高而产生相应变化，但参数c的变化随加载速率的改变并不显著。因而，对于50 kPa/s获取的参数中缺少的参数c可以取不同加载速率条件下c的平均值；对于τp，由于荷载是以50 kPa/s的速率进行加载，因而可以取为1 s。下面将基于这些模型参数以及震动荷载条件下的试验结果，进一步验证该模型在描述动力条件下土体力学行为的可靠性，并对比分析试验和计算结果探讨适用于动荷载条件的模型参数获取方法。

图2 应力应变关系曲线图(1 h加载时长)Fig.2 Stress-strain curve(1 hour loading time)

图3 各级压力下应变随时间发展关系Fig.3 Variation curve of soil strain with time under different load conditions (1 hour loading time)

参数abcτp/sσp/kPa加载速率50 kPa/s0.00100.0300.00051182100.00150.0200.0004600203加载间隔/min300.00430.0240.00061800256600.00350.0180.000536002541200.00400.0160.00047200185

3 结果分析及理论验证

3.1 理论验证

图4为不同荷载频率、平均应力以及应力幅值条件下土体动应变随时间发展的计算和实测结果。从图4中可以看出，由不同时间间隔逐级加载试验获取参数的计算与实测结果偏差较大，而由50 kPa/s加载速率试验数据获取的参数的计算结果与实测结果吻合较好。这表明针对土体静力学问题发展而来的“等速线理论”在描述土体震动荷载条件下的应力应变行为时具有较好的适用性，但其模型参数的获取方法不同于静力学问题。从表2可知，随着加载速率的增大，模型参数a，b和σp的变化较为显著，而c基本保持不变；其中受加载速率影响最大的则是内变量参考时间τp(在计算动力学问题时取值应小于静力学取值的2～3个数量级)。这说明，随着加载速率的升高，表征土体压缩特性的回弹系数(a)和塑性压缩系数(b)以及代表土体应力历史的前期固结压力(σp)均会受到一定的影响，且与加载速率正(或负)相关，但对模型计算准确性起关键作用的是内变量参考时间(τp)的量值，而代表土体恒定荷载条件下的黏塑性应变速率参数(c)受加载速率的影响较小。因而，基于“等速线理论”描述动荷载条件下土体的力学行为，其模型参数a，b，σp以及τp应根据具体动荷载的加载速率获取相应参数，而黏塑性应变速率参数c则可参照静力加载试验获取。以上内容验证了“等速线理论”在预测土体动荷载作用下描述其应力应变关系的适用性，并结合不同加载速率条件下获取的模型参数探讨了相应的参数获取方法，下面将进一步基于“等速线理论”探讨各模型参数对土体动荷载的影响规律，进而分析一维状态下土体对动荷载的响应。

图4 不同荷载频率、平均应力以及应力幅值条件下土体动应变时程曲线Fig.4 Duration curves of dynamic strain under different load frequency,average stresses and stress amplitudes

3.2 动荷载响应分析

回顾式(7)可以发现，土体在动荷载作用下产生应变包括两个部分：即，弹性和塑性应变。其中回弹系数c决定了动荷载作用下弹性应变，而参数(b-a)/c和应力比(震动荷载平均应力与前期固结压力之比)决定了动荷载作用下土体中发生的塑性应变。为了进一步分析不同模型参数条件下土体的动力学响应，图5～图7分别给出了不同回弹系数a，(b-a)/c以及应力比(震动荷载平均应力与前期固结压力之比)条件下动应变的计算结果。从图5可以看出，在其他参数保持不变的情况下，土体的动应变幅值与回弹系数正相关；而在土体的回弹系数c保持恒定的条件下，土体动应变初始阶段发生的塑性变形则正比于(b-a)/c。同时，(b-a)/c的改变对动应变幅值的影响并不显著(图6)。同样土体初始阶段发生的塑性应变也正比于应力比(图7)。通过以上分析表明，(b-a)/c和应力比决定了动荷载初期作用下发生在土体中的塑性应变(“残余应变”)。这说明，动荷载作用下发生在土体中的“残余应变”是土体塑性压缩特性以及受力历史共同作用的结果。因而，在评价土体动荷载作用下的“残余应变”时，应综合考虑土体参数和应力水平的影响，而土体动应变的幅值则主要取决于土体的回弹系数。

图5 弹性压缩系数a对动应变的影响Fig.5 Effect of elastic compression coefficient (a) on the dynamic strain

图6 ((b-a)/c对动应变的影响Fig.6 Effect of (b-a)/c on the dynamic strain

图7 应力比对动应变的影响Fig.7 Effect of stress ratio on the dynamic strain

4 结论

(1)随着加载速率的升高，回弹系数(a)、塑性压缩系数(b)、前期固结压力(σp)和内变量参考时间(τp)均会产生显著变化，而黏塑性应变速率参数(c)则受加载速率影响较小。因而，在动力学计算中应充分考虑加载速率对a，b，σp和τp的影响。

(2)震动荷载作用下，对比不同加载速率条件下得到的模型参数的计算结果和实测结果显示，针对静力学问题发展而来的“等速线模型”也能够应用于描述震动荷载条件下土体的应力应变发展规律。其中，对预测精度影响最为显著的是模型参数τp；参数a，b和σp的影响次之。在计算动力学问题时，τp的量值较静力条件下获取的参数要小2～3个数量级，这是使用该模型计算动力学问题时与静力问题的最大不同。

(3)基于“等速线模型”的动力学响应分析表明，土体在震动荷载作用下，其动应变幅值与回弹系数正相关而(b-a)/c和应力比正比于动荷载初期作用下发生的塑性应变(“残余应变”)。因而，在评价土体动荷载作用下的“残余应变”时，应综合考虑各力学参数和应力状态的影响。