基于CZT的分级聚焦波束形成算法

姜科 王忠康

（第七一五研究所，杭州，310023）

水声信号的处理中，无论是对水下目标进行定位还是成像都离不开波束形成。波束形成根据目标信号的距离，可以分为远场波束形成和近场聚焦波束形成。常规波束形成通常采用时延相加法[1]，对各个阵元接收的信号进行时延或相移补偿，使各个阵元接收信号达到相同相位，同相相加后极大值输出，估计出目标信号的方位。在水下近场成像应用中，目标位于近场，波束形成中的时延差是方位和距离的二元函数，因此需要扫描的点数会大大增加，从而计算量也变得很大。在三维成像领域波束形成的计算量和存储量问题更为突出。近年来，三维成像技术得到广泛关注[2-5]。多波束三维成像可以通过两种方式实现：首先利用一维线阵获取目标的二维数据，然后对所有数据进行拟合，生成三维图像；第二种利用二维平面阵直接获取目标的三维图像。前者成像速率低，不适合对移动物体成像；后者需要大量的数据处理及多次波束形成，在实践中很难实现。文献[6]提出一种利用FFT动态聚焦的三维成像方法，可以降低计算复杂度，改善固定深度聚焦的局限性。文献[7]提出了一种非周期稀疏阵列的优化合成方法，克服了与硬件成本和信号处理计算量相关的问题。文献[8]提出了分级聚焦波束形成算法，大大减少了波束形成的计算量和存储量；但是当目标位于极近场时，会出现旁瓣增加，算法性能下降。根据几何模型，每个子阵抽取不同的波束序号进行近场聚焦波束形成可以更好的抑制旁瓣，但是其计算量和存储量明显增加。文献[9,10]提出了利用CZT波束形成及其扩展方法，可用于三维远场数字波束形成和三维近场数字波束形成，且计算量低于实时图像生成的传统频域和时域波束形成方法。文献[11]对三维成像声呐频域波束形成算法进行了优化，得到了与传统算法相同的波束强度矩阵，减小了相移参数的存储空间。本文提出基于CZT的分级聚焦波束形成算法，当子阵的阵元数目比较多的时候，采用CZT进行远场波束形成，用Matlab对后者进行仿真验证。

1 模型、算法理论分析

1.1 常规近场聚焦波束形成

当目标位于远场，接收到的回波声线基本平行，可以看成平面波；当目标位于近场，声波按照球面波的形式扩展，不能近似为平面波。一般认为声源到阵列距离r满足以下条件即可认为是远场：

式中，D表示基阵孔径长度，λ为信号的波长。可设置临界条件为[12]

图1为近场聚焦定位模型。设有M个阵元等间距分布线阵，阵元间距d，目标到阵中心的距离为r，方位角为θ，目标发射为窄带信号，信号中心频率fc，声速c。可以求得每个阵元到目标的距离：

式中，xi表示每个阵元到中心参考点的距离，则以阵中心为参考点，每个阵元接收信号的时间延迟为：

每个阵元的相位延迟可以表示为exp(j2πfcτi)。常规近场聚焦波束形成，即对长度为Q的第i个阵元的时域信号做FFT，得到Xfi(k)，其中k表示频率索引值，fk=kfs/Q，fs为采样频率，得到第k个频率的波束输出为：

式中，ai表示对第i个信号的加权系数，本文设置该加权系数为1。

图1 基于近场聚焦波束形成的定位模型

1.2 分级聚焦波束形成原理

分级聚焦波束形成（除了第一级）是在前一级各个子阵之间进行的，前一级子阵阵元数目较少，波束宽度较大，可以形成较少的波束，且只在最后一级进行聚焦波束形成，大大减少了数据的存储量和计算量。本节以一个M元等间距线阵的二级聚焦波束形成在不考虑插值的情况下说明其基本原理。如图2所示，先将M个阵元划分为N2个子阵，每个子阵的阵元数目为N1，首先对第一级子阵做远场波束形成，预形成p个波束。然后根据这N2个子阵的波束输出做第二级的近场聚焦波束形成，得到K=p个方位的波束输出。

用Matlab进行仿真，验证分级聚焦波束形成的可行性。仿真条件：半波长等间距线阵，阵元数目48，阵元间距d=6 mm，信号中心频率为125 kHz，声速1 500 m/s，信号采样频率为1 MHz，划分12个子阵，第一级子阵的临界距离为0.1 m，整个线阵的临界距离为26.5 m，此时分级聚焦波束形成的作用距离范围为0.1 m＜＜R＜＜26.5 m，假设角度扫描范围为（-90°，90°），距离扫描范围为（0.5 m，50 m），扫描181个点，目标方位为（0.8 m，45°），扫描300个点，满足分级聚焦波束形成条件。此时仿真结果见图3。

图2 分级聚焦波束形成原理图

图3 目标位于（0.8 m，45°）时三种方法波束形成结果

与常规聚焦波束形成对比，近场条件下，常规的分级聚焦波束形成会出现-16 dB的旁瓣，使目标方位上的能量泄漏到其他方位。这是因为常规的分级聚焦波束形成在做近场补偿的时候，抽取上一级子阵波束形成输出的波束序号是相同的；但是当目标距离过近时，目标相对每个子阵的方位是不同的，导致误差变大，无法估计目标方位。

在此基础上进行改进，根据目标实际几何模型，选取合适的波束序号来抑制近场条件下相同波束造成的高旁瓣。抽取波束序号可以预先计算存储。改进后的结果如图4所示（目标方位：0.8 m, 45°)，根据几何模型进行波束抽取，再进行第二级聚焦波束形成之后，旁瓣明显得到抑制。目标方位上的幅度也明显增加。为了进一步减少计算量和存储量，在做远场处理的时候使用CZT快速算法[13]。

图4 波束抽取修正前后的结果对比

1.3 频域远场波束形成

假设阵元间距为d，信号入射方向θ(线阵法线和信号入射所在直线的夹角)，假设表示第n个阵元接收到的时域采样序列，其中0≤n≤N1-1，i表示采样数据的时间下标。将每个阵元的时域信号进行分段截取，每段采样信号序列长度为Q，相邻两段时间序列信号允许重叠。然后对截取的时间采样序列做FFT，得到其中k表示频率索引，对应的频率值fk=kfs/Q，fs为采样频率。最后对每个频率做频域波束形成，得到：

式中，wn是权系数，用于控制旁瓣，设置权系数为1。

文献[14]中介绍了五种计算式（6）的方法，本文只涉及其中两种算法，分别为直接法和CZT。前者直接进行复数点积运算。我们假设已经执行了wnXn(k)加窗操作，则每次点积计算需要N1次复乘法和N1-1次复加法，预先存储N1个由式（6）中后面相位延迟项计算得到值。

1.4 CZT算法原理

CZT算法可用于计算复平面上一般轮廓上的多项式。具体来说，CZT可用于求多项式在点zm=AW-m处的值，其中A和W分别定义为

CZT算法每次计算只需预先存储A和W两个值。式（6）可以重新写成多项式的形式

式中，an=wnXn，并且省略下标k。

当式（6）中的sinθ等间隔分布，即

且令

式中，θf为终点角度，θi为起点角度，Nb为预成波束数，zθ用zm代替，因此CZT可以用于计算当sinθ等间隔分布时的波束形成，变换后得到

该算法需要N+L+Nb次复数乘法（步骤1、3、5）和2次L=2N点的复数FFT（步骤2、4），一次L点的复数FFT需要(L/2)lbL个蝶形结构，每个蝶形结构需要10次实数操作，所以总计算量在实际算术运算中为：

2 存储量和计算量分析

2.1 存储量分析

常规分级聚焦波束形成算法中，第一级频域远场波束形成所需要的相位补偿参数先计算好并存储。对于M个阵元的线阵，每个子阵阵元数目N1，划分为N2个子阵，第一级预形成B1个方向上的波束，第二级近场聚焦波束形成在角度上预形成Ba2个波束。那么在确定距离上直接进行频域分级波束形成所需要的存储量为N1×B1+N2×Ba2，而使用CZT波束形成算法所需的相位补偿参数的存储量为2+N2×Ba2。显然，使用CZT波束形成算法所需的存储量低于频域分级波束形成的计算量，且随着第一级子阵阵元数和波束数的增加，后者算法的存储优势越明显。

2.2 计算量分析

假设预形成Nb个波束，Nb=N1-1，确定的距离下，对单个频率波束形成的计算量进行分析，直接法的第一级远场波束形成的计算量为(8N1-2)Nb，使用CZT算法的第一级远场波束形成的计算量是38N1+6Nb+20N1lbN1[14]，以上两种波束形成的第二级波束形成计算量相同，其计算量为(8N2-2)Nb，常规聚焦波束形成的计算量为(8N1N2-2)Nb。下面取2≤Nb≤1 024，N2=2，对常规聚焦波束形成、常规分级聚焦波束形成和基于CZT的分级聚焦波束形成三种算法的计算量进行对比，见图5。当波束数小于16，使用CZT算法的计算量大于直接算法的计算量；随着阵元数增加，使用CZT法比直接法更有优势。而常规波束形成在波束数大于8的时候，计算量始终大于常规分级聚焦波束形成和基于CZT的分级聚焦波束形成。

图5 不同阵元数三种算法的计算量，N2=2

3 仿真验证分析

为了验证本文算法在子阵的阵元数较多情况下具有的优势，把阵元数增加到640，划分10个子阵；第一级子阵远场条件，11.9 m；基阵远场条件，122.46 m；假设角度扫描范围（-90°，90°），距离扫描范围（11.9 m, 300 m），划分181个点，目标方位（30 m, 0°），扫描300个点。计算机仿真软件硬件参数见表1。从图6和表2中可以看出，基于CZT的分级聚焦波束形成得到的方位估计结果和常规分级聚焦波束形成得到的结果一致，计算耗费时间明显减少，但是在幅值上有1.3 dB损失，其原因是使用CZT计算远场波束形成上有损失。证明基于CZT的分级聚焦波束形成算法是可行的。若因远场近似导致在目标方位上能量的衰减过大(以1 dB损失为门限)，可以通过减少子阵阵元的数目，以减小远场近似带来的损失。

图6 两种算法波束形成结果对比，目标位置（30 m, 0°）

表1 计算机仿真软件硬件参数

表2 不同方法进行分级聚焦波束形成的平均计算时间

4 结论

本文将CZT应用到分级聚焦波束形成中，子阵中阵元数较多的远场波束形成用CZT去计算。和常规分级聚焦波束形成相比，计算量和存储量都得到改善，子阵的阵元数越多，优势越明显。目标位于近场时，根据几何模型抽取第二级波束，导致计算量增加，虽然使用CZT计算远场波束形成可以优化计算量和存储量，但还是比常规分级聚焦计算量大。在实际应用中可以对扫描范围进行划分，当目标位于极近场时才对近场聚焦波束根据几何模型抽取，并且使用基于CZT的分级聚焦波束形成算法进行计算。