探究阿波罗尼斯圆的数学文化价值*

☉福建省泉州石狮市华侨中学 冯联英

目前，数学文化越来越被重视，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中就强调要把数学文化教育贯穿整个高中数学课程并融入教学中，这突出了数学的文化价值.《普通高中数学课程标准》（2017年版）把数学文化列入高中课程，并提出在数学教学中要注重数学文化的渗透.近年来，体现数学文化的内涵与价值的高考题也频频出现，从而大大提升了数学文化的价值.基于这种背景下，尝试探究阿波罗尼斯圆的文化价值.

一、知识生成中探究阿波罗尼斯圆的数学文化价值

在数学知识形成的过程中，包含了步骤、方法、技巧、思想及数学文化等诸多内容.而课堂教学不仅要让学生知其然，更要让学生知其所以然.因此，教师在教学时应注重知识的发现与形成过程，并将数学文化渗透到各个数学知识的生成中，让学生对知识的认识和理解进一步深化，不断培养学生探究问题的能力.例如，在引出阿波罗尼斯圆时，可以作如下探究：

1.引出阿波罗尼斯圆

题源：（人教A版必修2第124页B组习题3）已知点P（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，求点P的轨迹，并求出它的方程.

分析：这是一道以阿波罗尼斯圆为背景的题，已知的是几何关系，显然只需将这个几何关系转化为代数关系，化简即可.

变式1：点P（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1呢？

变式2：点P（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为λ呢？

变式3：设O、A是平面内的两个定点，平面内的动点P满足呢？

分析：设两定点之间的距离为2a，距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），以两定点所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，可得方程为其轨迹是以为圆心，为半径的圆.此圆即为阿波罗尼斯圆.

这种用循序渐进、从特殊到一般的探究方式引出阿波罗尼斯圆，自然流畅，学生更容易接受.在建构阿波罗尼斯圆的同时，感受数学文化的魅力；在拓展和延伸阿波罗尼斯圆问题时渗透数学文化，体验数学文化的价值.

2.介绍阿波罗尼斯

阿波罗尼斯，出生于亚细亚西北部的城市柏加，他青年时代曾客居亚历山大城，追随欧几里得的学生学习数学，是亚历山大时期的数学三巨匠之一，是继欧几里得、阿基米德之后的著名数学家.他对圆锥曲线作了系统而深刻的研究，《圆锥曲线》是他的代表作，他的主要研究成果都集中在这部代表作里，他的研究成果之一就是阿波罗尼斯圆.

通过探究与阿波罗尼斯圆相关的典型题及其变式，将数学文化融入数学知识生成中的同时，穿插介绍阿波罗尼斯及其研究成果，使枯燥无味的数学变得富有趣味和探索意义.

3.深化阿波罗尼斯圆

探究阿波罗尼斯圆这种经典的数学文化题，不仅让学生的知识体系得到进一步完善，探究经验得到进一步积累，同时也为今后的学习与发展奠定了基础.如阿波罗尼斯圆条件中“到两个定点的距离之比”改为“之积”后的点的轨迹是什么；同样，把“距离之比”分别改为“之和”、“之差”呢；或把“两定点”中的其中之一改为“定直线”，则动点轨迹又是什么；或把“两定点”中的其中之一改为“定直线”，则距离之和为定值的动点轨迹又是什么等.这样，利用所学知识进行探究，将以阿波罗尼斯圆为背景的问题进一步深化和升华，把数学文化渗透到数学教学中，变换思维视角，领悟数学思想，体验探究乐趣，激发学习兴趣，培养精神品质.

二、高考中探究阿波罗尼斯圆的文化价值

阿波罗尼斯圆是几何中的经典问题，它有着丰富的学术价值和教育价值，是一个重要的题源，在高考中频频出现.如2005年高考江苏卷19，2006年高考四川卷理6，2008年高考江苏卷13，2010年高考江苏卷18，2011年高考四川卷理21，2011年高考山东卷文22，2013年高考江苏卷17，2015年高考湖北卷理14，如果掌握阿波罗尼斯圆的知识背景，那么在解题时能很快找到求解的方向，降低求解问题的难度.

例1（2008年高考江苏卷13）若AB=2，AC=则S△ABC的最大值为______.

解法1：利用余弦定理和函数的最值问题来处理.

该法从余弦定理入手，虽然入手低，但计算量大，得分率不高.

解法2：建立平面直角坐标系处理最值问题.

以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.

解法3：利用阿波罗尼斯圆.

显然这是阿波罗尼斯圆，以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A（-1，0），B（1，0），动点C（x，y），由BC得，化简得（x-3）2+y2=8.因此点C的轨迹是以D（3，0）为圆心为半径的圆，所以点C到AB的最大距离为半径，故S△ABC的最大值为

本题虽然用解法1，2能解决，但用阿波罗尼斯圆去解，运算量小得多，该题体现了高考命题多思少算的指导思想，体现了课程中渗透数学文化的基本理念和考试大纲对数学文化的考查要求，也体现了数学文化在选拔性考试中独特的点石成金的作用.

例2（2013年高考江苏卷17）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心在直线l：y=2x-4上.（1）略；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.

分析：这也是一道与阿波罗尼斯圆相关的高考题，由|MA|=2|MO|可知，点M的轨迹是阿氏圆D，又点M在动圆C上运动，所以原问题转化为圆C与圆D有公共点，即两圆相交或相切.

所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上.由题意知，点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2-1≤|CD|≤2+1，即，整理得-8≤5a2-12a≤0，得

探究点M的轨迹是该题的难点，而点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，突破了这个难点，将可转化为求两圆的位置关系问题.解决这类问题，要抓住阿波罗尼斯圆的概念本质，特别当点的轨迹比较隐蔽时，常常要把问题转化为点与点的距离、点到线的距离，或直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系来处理.学生在这样的探究过程中，经历了阿波罗尼斯圆的发现、探索特征规律，形成研究方法，积累解题经验，从而提升学生的核心素养，体验数学文化的价值.

数学文化是丰富多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.它让学生体会到数学与自然及人类社会的密切联系，体会到数学的意义，数学文化的价值，不仅带给学生数学文化知识，而且也带给学生数学思想和数学方法，是文学修养和科学理念，是审美情操和理性思维，这些将会让学生受益终身.因此，在数学活动中，要充分研究教学资源，挖掘数学文化价值.