一堂异面直线距离的代数求法探究课

2019-10-11江苏省仪征中学张顺军

中学数学杂志 2019年19期

☉江苏省仪征中学张顺军

求异面直线的距离一直是立体几何教学的一个难点.在以往的教学中，往往只注重立体几何本身的方法，而忽视了代数在解决此类问题中的作用，其结果必然导致学生思维狭窄，思路单一，无法把握“异面直线的距离”本质.为了解决这个问题，笔者上了一堂“异面直线距离的代数求法”探究课，摘录如下，供大家参考.

一、给出问题——探究几何通法

教师先提问学生：一个正方体的12条棱中有多少对异面直线，每对异面直线的距离是多少？然后给出下面例题，要求学生探究解法.

例1如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求对角线A1B与B1D1两异面直线的距离.

本例极其普通，数见不鲜.从立体几何方法的角度去探究并不难.笔者要求学生分组探讨，5分钟后，他们找到了两种基本的解法.

思路1（平面射影距离法）：设O、O1分别为面ABCD和面A1B1C1D1的中心，则A1B与B1D1两异面直线的距离等于B1D1与面A1OB的距离，也等于O1到面A1OB的距离，经过推证O1到面A1OB的距离为Rt△OA1O1的斜边上的高，然后求这条高.

思路2（利用转化思想）：将两条异面直线的距离转化为两个平面之间的距离.因为A1B位于平面A1BD内，而B1D1位于平面CB1D1内，而这两个平面都与对角线AC1垂直，且把这条对角线三等分，不难计算，因而平面A1BD与平面CB1D1的距离为，这个距离也就是对角线A1B与B1D1两异面直线间的距离

图1

二、变换图式——探究代数新法

数学所研究的往往是最本质的东西.笔者把例1的图形简化，便得到了下面的例2.

例2如图2所示，把一张由正方形ABCD和正方形ABEF组成的纸片折叠成一个直二面角，AB=1，你能求异面直线AC和BF的距离吗？

学生眼尖，一眼就看出这张图与图1的关系，于是建议补形，回到例1中不就解决了吗？笔者说，好马不吃回头草，能否想想用别的方法呢？方法总比困难多.学生思维顷刻陷入了困境，教室内鸦雀无声.于是，笔者出示例3：

例3如图3所示，接例2，P在线段BF上，PH⊥AC，垂足为这时线段PH的长能用x表示吗？能求出线段PH的长的最小值吗？

图2

图3

由于给学生铺设了台阶，学生回答此例并不困难，他们先过P作PG⊥AB，垂足为G，并连接GH，并证明了△PGB，△GHA，△PGH都是直角三角形.于是在Rt△PGH中很快得出如下结论2），故

再利用二次函数的最值方法来求这个立体几何最值问题就不难了，他们很快得到，当时，PH的最小值为的最终结果.

笔者追问：为什么例2的计算结果与例1相同.难道例2计算的就是两条异面直线间的距离吗？学生会心一笑，他们参照两条异面直线距离的定义，参透了其中的奥秘和问题的本质，同时也感受到了几何问题代数化的神奇.

三、再变图式——辨别是非真假

学生解完了一类题，往往会造成一定的思维定式.为了及时消除这种思维定式，教师又提出了下列问题：

图4

例4如图4所示，接例3，M是线段AC上的动点，N是线段BF上的动点，且满足CM=，这时，你能用字母a来表示线段MN的长吗？如何求出它的最小值？这个最小值就是异面直线AC、BF之间的距离吗？

对于本例，笔者要求学生独立完成，不可交流.巡视时笔者发现学生有多种解法，由于受篇幅所限，这里只展示一种既简洁又明了的解法：

把原图视为由矩形CDEF（CD=1，DA=AF=CB=BE=1）沿AB把它折成直二面角（图5（1）），设MN交AB于P，根据题设有，折成直二面角后的平面角是∠MPN（图5（2））.

图5

那么，最小值就是异面直线AC、BF之间的距离吗？有些学生顺口而出：是的，但转念一想不对，上面两个例子算出的结果是，而这里是，怎么会出现两个数值呢？于是他们恍然大悟，本例中的两点M、N虽然也是动点，但他们互相制约，因而不是异面直线间的距离，那究竟该如何证明它不是异面直线的公垂线呢？这时非要动用反证法不可了.

接下来笔者引导学生用反证法加以证明，并提醒学生解题时一定要“具体问题具体分析”.