一道高三模考题的解法探究

☉北方民族大学数学与信息科学学院 何陈程

☉湖北省宜昌市第十七中学 何金华

三角函数是高中数学函数部分的一个重要的组成部分，是高中数学必备的基础知识，同时也是历年高考的重点和热点内容.教材中涉及三角函数的内容主要分为两大块：《必修4》中的“三角函数”与“三角恒等变换”这两章，以及《必修5》中的“解三角形”这一章.虽说多数情况下，考查三角函数知识以基础题和中档题为主，学生失分不会太严重，但是我们也不可掉以轻心，避免“阴沟翻船”，这不，这次全市高三期末联考数学试卷中，第14题出现了一道三角形中的三角函数问题，学生的得分情况只能用一个“惨”字来形容，于是在这里写出来，探究这道题的解法，与大家共勉.

题目在△ABC中，已知sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，其中，若为定值，则实数λ=______.

思路分析：题设条件中给出了而且式子sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C中含有θ，这是一种暗示，暗示我们要根据tanθ的值求出sinθ，cosθ的值.因为sin（C-θ）展开后会出现θ的正弦、余弦值，题设中有是定值，那么，我们猜想：要么是将sinA·sinBsin（C-θ）=λsin2C展开后转化成正切形式，要么是将转化成正弦、余弦，总之，只要我们找出这两个式子之间的内在联系，此题离解出正确答案就不远了，下面我们就一起来探讨这道题的解法.

解法1：因为，所以cosθ=2sinθ，4sin2θ+sin2θ=1.又因为，所以，

点评：本解法中，将sinAsinB整体代入是关键，遵循了我们解决这类问题的常规思路，即将正切转化为正弦、余弦来处理.

解法2：将已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C变形处理，可得sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=λsinCsin（A+B），将代入，有sinAsinB·

点评：本解法中，将其中一个sinC用sin（A+B）替换，从而将正弦、余弦等式转化构造成已知条件中的的形式是解题的关键.

解法3：将已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C变形处理，可得sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=λsinCsin（A+B），将代入，有sinAsinB·

点评：与解法2类似，只是最后一步的处理方式不同而已，解法2是从化简结果看，本解法则从对比已知条件中的正切等式整体形式出发.

解法4：由正弦定理知所以已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C可化为将由已知条件tanθ=求得的代入，有所以2absinC-abcosC=根据余弦定理，可得变形得

点评：在三角形的相关问题中，正弦定理和余弦定理是常用的两个基本定理，在本解法的整个转化过程中，这两个定理的作用体现得淋漓尽致.

变式训练：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，若且a2+b2+c2=1，则△ABC的面积为______.

思路简析：因为要求△ABC的面积，而面积的公式中是含有正弦值的，所以可先将已知条件中等式处理为然后结合余弦定理，有即=2，再由a2+b2+c2=1即可求得△ABC的面积为

在三角恒等式的处理上，经常会运用三角函数中的一些基本公式、基本定理，平时教学时，我们要让学生熟记这些基本公式、基本定理，这是我们解题的根本所在，要追求一题多解，多指导学生从不同的角度去思考问题，以拓宽学生的数学思维空间.