“隐圆”显示，问题自解

☉山东省禹城市综合高中 赵德才

一、问题呈现

【问题】（2019届山东省高三百校联考（非官方）·13）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y-1）2=1及点，设点P是圆C上的动点，在△ACP中，若∠ACP的角平分线与AP相交于点Q（m，n），则的取值范围是______.

本题是一个平面解析几何中的动态问题，通过圆C上的动点P的变化，带动∠ACP的角平分线与AP的交点Q（m，n）的变化，结合点Q所对应的“隐圆”问题，进而探求点Q到坐标原点O的距离|OQ|的取值范围问题，即的取值范围.解题的关键是抓住题目条件，结合已知条件及角平分线定理来破解，可以通过几何法、坐标法与三角代换法等不同的方法来处理，从而得到有效解决.

二、多解思维

思维角度1：根据题目条件，结合角平分线定理得到，过点Q作QB∥PC交AC于点B，结合比例关系得到，进而利用条件确定点B的坐标，结合动态问题确定点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用圆的性质来确定|OQ|，即的取值范围.

解法1：由题得圆心C（0，1），半径r=1，由A（3，0），可得由于∠ACP的角平分线与AP相交于点Q（m，n），所以结合角平分线定理可得

图1

思维角度2：根据题目条件，结合角平分线定理得到，利用平面向量的线性关系式通过设出P（x0，y0），结合平面向量的坐标运算，得到x0与y0的表达式，代入圆C的方程，通过转化得到点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆，再利用圆的性质来确定|OQ|，即的取值范围.

在MoO3还原成MoO2的过程中存在低熔点中间相Mo4O11和MoO2.89的相变过程[5]，该转变过程为放热反应，若料层厚度较厚，则反应过程中的热量较难逸出，易使中间相出现局部熔融从而造成板结形成粗大颗粒，在粒度分布上呈现明显的第二峰。

解法2：由题得圆心C（0，1），半径r=1，由A（，0），可得，由于∠ACP的角平分线与AP相交于点Q（m，n），所以结合角平分线定理可得2，即.设P（x0，y0），由Q（m，n），A（，0），可得，则有

而点P（x0，y0）是圆C上的动点，则有x02+（y0-1）2=1.

思维角度3：根据题目条件，结合角平分线定理可得，利用平面向量的线性关系式，通过三角代换设出P（cosα，1+sinα），结合平面向量的坐标运算，得到m与n的表达式，通过m2+n2的三角恒等变换，利用三角函数的图像与性质来确定其取值范围，进而得到的取值范围.

解法3：由题得圆心C（0，1），半径r=1，由A（，0），可得

由于∠ACP的角平分线与AP相交于点Q（m，n），所以结合角平分线定理可得，即

设P（cosα，1+sinα）（α∈［0，π））.

三、变式拓展

【变式1】（2019届安徽省“江南十校”高三第二次大联考·15）已知在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）若点P满足|OP|=1，线段PA的中点为M，则|BM|的最大值为______.

解析：如图2所示，取线段OA的中点C（2，0），可得

图2

所以随着动点P的变化，点M的轨迹是以点C（2，0）为圆心，以为半径的圆C.

连接BC并延长交圆C于点M0.

根据平面几何知识可知，当点M为M0时，|BM|取得最大值，最大值为

所以|BM|的最大值为3.

故填答案：3.

【变式2】在已知平面直角坐标系xOy中，A（4，0），，若点P满足|OP|=1，线段PA的中点为M，则|BM|的取值范围为______.

解析：由变式1中的解析可知，|BM|的最大值为|BC|+，|BM|的最小值为

所以|BM|的取值范围为［2，3］.

故填答案：［2，3］.

解决此类平面解析几何中的动态问题，关键是要抓住题目条件，利用关系确定对应的“隐圆”问题，其实此时“隐圆”就隐藏在题中相应点的轨迹中.而正确判断与确定这个“隐圆”，就为进一步地破解与应用打开局面，拓展思维，指明方向，问题往往也就迎刃而解.