三角求值方法多，等价变换最关键——2019年全国卷Ⅱ三角求值题

☉江苏省张家港市乐余高级中学 王庆龙

三角函数的求值问题一直是高考中三角函数问题的常见题型之一，而三角恒等变换是三角求值中的关键所在.由于三角函数公式繁多，关系又错综复杂，解题时既有多种公式可供选择，又容易陷入公式无从选择的困境.三角函数的求值问题在解法上具有多样性，解题切入口也不唯一，对运算能力要求比较高，是考查综合能力的良好载体，也是很好地考查学生思维的灵活性、多样性、拓展性的场所.

一、真题在线

【高考真题】（2019·全国卷Ⅱ理科·10；文科·11）已知，则sinα=（ ）.

本题短小精悍，条件简单，难度中等，可利用的三角函数公式众多，切入点多样.根据题目中二倍角与单倍角的关系，可以借助三角恒等变换加以转化，当中可以利用同角三角函数基本关系式及相关的公式来处理；也可以借助三角函数定义，利用参数x，y，r的代数运算来处理；还也可以直接通过选项中的结果来进行验证处理，从而达到求解目的.

二、一题多解

破解视角1.三角恒等变换法

解法1：（平方关系转化法1）由题中关系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，则有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，结合，可得2sinα=cosα.

将cosα=2sinα代入平方关系sin2α+cos2α=1，可得

故选择答案：B.

解法2：（平方关系转化法2）由题中关系式2sin2α=cos2α+1，可得

代入平方关系sin22α+cos22α=1，可得cos22α=1，整理可得5cos22α+2cos2α-3=0，解得或cos2α=-1.

故选择答案：B.

点评：利用平方关系或平方运算、万能公式等方法来处理，结合同角三角函数基本关系式与二倍角公式的转化与应用，都充分体现了方程思想及三角恒等变换思维.这也是解决此类问题的常见思维，通技通法.

破解视角2.三角函数定义法

解法3：（三角函数定义法）由于，在角α的终边上取一定点P（x，y）（x＞0，y＞0）

由题中关系式2sin2α=cos2α+1，可得4sinαcosα=2cos2α，即2sinαcosα=cos2α.

故选择答案：B.

点评：通过三角函数的定义的导引，把相应的三角函数值问题转化为相应的定义中有关参数x，y，r的关系式，利用关于x，y，r的代数运算，并结合方程的思想来处理与转化，进而求解相应的三角函数值.这是解决此类问题的特殊思维，回归定义.

破解视角3.验证法

解法4：（代入验证法）已知

故选择答案：B.

点评：验证思维是破解选择题比较常见的一类思维方式，借助各对应选项中的结果，逆向思维，将对应的结果代入题目条件，逆向运算，产生与条件或已知结论矛盾的情况就是错误的选项.验证法有时也是破解问题的一大“杀技”.

三、变式探究

探究：保持原题条件，改变所要求解的三角函数名称，从最简单的层面加以变形与拓展，难度相当.

【变式1】已知，则cosα=（ ）.

解析：由题中关系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，则有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，结合，可得2sinα=cosα.

故选择答案：D.

【变式2】已知，2sin2α=cos2α+1，则tanα=（ ）.

解析：由题中关系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，则有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，结合，可得2sinα=cosα，所以

故选择答案：B.

四、解后反思

充分挖掘课本知识，拉近课本与高考之间的距离，架起两者之间对应的桥梁，是平时数学教学与学习的一个关键所在.进而有意识地针对一些典型高考真题，就某一层面的知识体系加以一题多解、一题多变剖析，从课本基本知识与基本方法入手，从多个角度切入，到多个思维破解，真正达到横看成岭侧成峰，远近高低各不同.