傅里叶变换轮廓术中二维非对称滤波器的设计

孔祥俊，白福忠，徐永祥，高晓娟，王 颖

(内蒙古工业大学 机械工程学院，内蒙古 呼和浩特 010051)

引言

三维面形测量技术可以获取物体的三维面形数据，在工业生产、医学诊断和实物仿真等领域中应用广泛。其中由Takeda等人在1983年提出的傅里叶变换轮廓术(FTP)[1]只需要一幅变形条纹图像即可获取物体的三维信息，具有单帧获取、测量速度快和分辨率高等优点，能够有效避免环境振动影响，成为近年来被深入研究和经常应用的一种三维轮廓测量技术[2-5]。

FTP将获取的变形条纹从空域转化到频域，在频域中将含有物体三维信息的基频成分与零频成分以及其他高阶频谱进行分离。三维形貌的复原精度很大程度上取决于基频提取中所用的带通滤波器的类型以及参数[6-8]。目前常用的带通滤波器有矩形窗、高斯窗[9-10]以及广义余弦窗，如汉宁、海明和布莱克曼窗等，尽管窗函数形式有所不同，但是它们在不同频率方向上具有相同的频率响应，因此不同频率方向上的截止频率也是相同的，文中将这类滤波器称为二维对称滤波器。这类滤波器的底部形状为圆形，设计简单、使用方便，特别是汉宁窗[11-12]在FTP中应用最为广泛。

一般来说，受探测器空间采样率的限制，投影条纹的空间频率总会有一定限制且不能太高。实际操作中投影条纹的频率一般不会太高，这种情况下基频中心距离零频较近，给滤波器选择带来较大困难。如果选择过渡带较平缓的滤波器，则零频的权重较高，不易抑制；如果选择过渡带较陡峭的滤波器，如矩形窗，则会产生较严重的振铃效应[13-15]。当被测物体表面反射率存在较大起伏时，投影条纹频谱中的零频成分便会影响到基频，由此一系列消除背景(即频域中零频成分)的技术被提出，如小波变换[16]、短时傅里叶变换[10]，π相移技术[17-18]，强度调制技术[19]等。这种背景消除技术不仅有助于基频与零频成分的分离、降低基频提取难度，同时也可以使传统二维滤波器的截止频率适当增大，从而能够获得更为完整的基频信息。但是这些手段仍然未能解决传统带通滤波存在的问题。

分析FTP中投影条纹的频谱不难发现，传统二维滤波器的截止频率的取值要小于条纹空间频率。例如对于一帧竖直条纹图像，滤波器在fx方向上的截止频率取决于基频中心与零频之间的距离，然而在fy方向上滤波器截止频率的取值则可延伸至频谱边界。因此，如果设计一个二维非对称带通滤波器，使其沿不同频率方向拥有不同的频率响应和不同的截止频率，这相对于传统二维滤波器而言，能够有效提高基频数据提取的完整性，从而改善三维形貌测量精度。在传统二维汉宁窗的基础上，引入一个新的变量设计出二维非对称滤波器，该滤波器物理意义直观、明确，设计简单，便于操作。进一步通过模拟实验验证了非对称滤波器的有效性。

1 FTP求解原理与传统2D滤波器

g(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[2πfx0x+2πfy0y+φ(x,y)]

(1)

式中：(x,y)为图像像素坐标；a(x,y)和b(x,y)表示投射光场中背景与条纹调制度；fx0、fy0分别为投影条纹在x和y方向的空间频率；φ(x,y)表示被测三维轮廓引起的相位变化。对(1)式给出的变形条纹进行傅里叶变换，得到相互分离的频谱。为了便于分析说明，(1)式改写为

g(x,y)=a(x,y)+c(x,y)exp[i2π(fx0x+fy0y)]+c*(x,y)exp[-i2π(fx0x+fy0y)]

(2)

式中c(x,y)=0.5b(x,y)exp[iφ(x,y)]。对(2)式进行傅里叶变换，有：

G(fx,fy)=A(fx,fy)+C(fx-fx0,fy-fy0)+C*(fx+fx0,fy+fy0)

(3)

式中：A(fx,fy)和C(fx,fy)分别是a(x,y)和c(x,y)的傅里叶变换；符号*表示取复共轭。由于引入载频，此3项在频域内是相互分开的，通过带通滤波可将C(fx-fx0,fy-fy0)单独提取出来，并将其移到原点处得到C(fx,fy)，然后对其进行傅里叶逆变换即可得到c(x,y)。由(4)式计算包裹相位：

(4)

式中：Im[c(x,y)]和Re[c(x,y)]分别为c(x,y)的虚部和实部。最后对(4)式的结果进行相位解包裹操作，获得连续分布的相位信息φ(x,y)，再根据测量装置的几何关系得到被测物体的高度分布。

为了保证FTP能够准确地复原物体轮廓，G(fx,fy)中的基频成分C与C*必须与零频成分A有效分离，并且需要使用适当的带通滤波器对正一级频谱进行提取。目前在FTP中最常用的滤波器是汉宁窗，其函数形式为

①H2O2将粗磷酸中的有机碳氧化为CO2脱除,同时自身也会发生分解。相同投料比、相同反应时间、不同温度下的有机碳脱除率如图1所示。80℃后脱除率变化的原因:___。

H(fx,fy)=0.5+0.5×

(5)

式中：fx0和fy0为基频中心坐标，通过参考条纹频谱内正一级频谱的峰值来确定；fp表示汉宁窗窗口半宽，相当于传统二维汉宁滤波器底部圆形轮廓的半径。由此可知，传统二维滤波器在不同频率方向上具有相同的频率响应，这里称之为二维对称滤波器，如图1(a)所示。

根据测量原理可知，FTP的复原精度与提取出的基频成分密切相关，所以选择或设计合适的带通滤波器是至关重要的。然而对于传统二维对称滤波器，圆形区域半径fp取决于投影条纹的空间频率fx0和fy0以及零频成分的扩展程度。当投影条纹确定后，滤波窗的最大窗口半宽也随之确定。为了提取出更为完整的基频成分，提高复原精度，下面设计一种新的二维非对称滤波器。

2 二维非对称滤波器设计

汉宁窗函数过渡带较为陡峭，对于距离基频中心较远处的频率分量具有极大的抑制，噪声对复原结果的影响较小，本文研究的二维非对称滤波器正是基于汉宁滤波器而设计。为了使描述更具一般性，图1(b)给出一个倾斜条纹图像的频谱，频域坐标用fx和fy表示。图中圆形区域表示传统汉宁窗，圆形轮廓半径为fp，与(5)式中的参数相对应。非对称滤波器底面形状定义为椭圆形，它与传统汉宁窗底部圆形轮廓相切，通过增加一个新的变量k，可由(5)式设计出二维非对称汉宁滤波器，即：

H(fx,fy)=0.5+0.5×

|fx0|>|fy0|

(6)

式中：fp和kfp分别表示椭圆短轴与长轴的半宽，根据基频中心与零频以及与频谱边界的距离来确定；k为椭圆长轴与短轴之比，k≥1。(6)式表示的滤波器是一个底部为纵向拉长的椭圆形的二维汉宁滤波器。图1(c)表示基频中心位于fx轴上的二维非对称滤波器。

图1 二维汉宁滤波器与二维非对称滤波器

如果采用水平投影条纹，基频中心坐标|fy0|>|fx0|，此时二维非对称滤波器的底部形状为横向拉长的椭圆，其函数表达式为

H(fx,fy)=0.5+0.5×

|fx0|>|fy0|

(7)

当|fx0|=|fy0|时，即投影条纹沿45°或135°方向，此时参数k=1，(6)式和(7)式等同于(5)式，对应于传统汉宁滤波器，其底部形状为圆形。

3 模拟实验

模拟仿真了2个三维物体即台阶物体和阵列物体，相位信息为φ(x,y)，经物体调制后的投影条纹表示为

g(x,y)=120+120×cos[2πf0x+φ(x,y)]

(8)

条纹图像大小256×256 pixel，条纹空间频率f0取32/256。台阶物体及其投影条纹如图2(a)和图2(b)所示。采用传统汉宁滤波器和非对称滤波器分别进行带通滤波和三维面形复原，变形条纹频谱以及两种滤波器底部轮廓如图2(c)所示，复原后的三维面形如图2(d)和图2(e)所示，各自的误差曲面如图2(f)和图2(g)所示。

传统汉宁滤波器与非对称滤波器的复原误差的最大值分别为0.257 4 rad和0.101 7 rad，相对误差为32.2%和12.7%，标准差为0.043 1 rad和0.013 2 rad，其中相对误差表示最大复原误差与物体最大高度的比值。

图2 台阶物体模拟结果(条纹图像及其频谱图像为256×256像素)

另外，针对图3(a)所示阵列物体进行模拟实验，其中9个凸形物体的最大高度均为2 rad，变形条纹如图3(b)所示。分别使用传统汉宁滤波器与非对称滤波器对其进行三维面形复原，滤波器参数与上述模拟相同。复原的误差曲面如图3(c)和图3(d)所示。使用传统汉宁滤波器与非对称滤波器得到的复原误差的最大值分别为0.078 9 rad和0.043 9 rad，相对误差为3.9%和2.2%，标准差为0.020 9 rad和0.012 3 rad。

从误差曲面图及复原误差数据可以看出，非对称滤波器的复原误差幅值明显低于传统滤波器复原误差。从最大复原误差数值来看，对于台阶物体，非对称滤波器的最大复原误差由传统滤波器的0.257 4 rad下降到0.101 7 rad，精度提高了39.5%；对于阵列物体，最大复原误差由0.078 9 rad下降到0.043 9 rad，精度提高了55.6%。图4给出了两种模拟物体复原误差曲面中沿y轴方向的中心截面曲线。从图4可以看出，非对称滤波器相对于传统滤波器，其复原误差的降低程度是非常明显的。

图3 阵列物体模拟结果

图4 使用两种滤波器的复原误差的中心截面曲线

4 结论

基于目前FTP中应用广泛的二维汉宁滤波器，设计了底部轮廓为椭圆形状的二维非对称滤波器，并针对2个代表性的物体进行模拟实验。从滤波器设计角度而言，二维非对称滤波器设计简单、便于操作、易于调节，可根据条纹频谱直接确定合适的滤波器参数。模拟实验表明，二维非对称滤波器能够从条纹频谱中提取出更为完整的基频数据，相比于传统滤波器测量精度明显改善。对于台阶物体，非对称滤波器的复原精度提高39.5%；对于阵列物体精度提高55.6%。实际测量时为了更好地发挥非对称滤波器的性能，应选择水平或竖直投影条纹，这时设计出的非对称滤波器的底部轮廓区域最大，能够提取出更为完整的基频信息。当然，除了使用汉宁窗外还可设计基于其他类型窗函数的二维非对称滤波器。总之，这种非对称滤波器的设计思路可以在类似应用中发挥重要作用。