跳跃型和连续型随机干扰共同作用下系统的保成本控制研究

张娅 许朋

摘要：文章针对Wiener过程和Poisson过程同时驱动的随机系统，研究了保成本控制问题，利用Lyapunov稳定性理论和随机分析理论，给出了保成本控制器的设计方法。最后用仿真说明了该方法的有效性。

关键词：随机系统;Poisson过程;控制

一、绪论

保成本控制是鲁棒控制研究的重要方法之一，经过几十年发展，保成本控制取得了大量的成果。对于随机系统，其保成本控制问题也吸引了研究人员的关注。如对不确定随机非线性系统，设计了输出反馈保成本控制器。

但是，在上述随机系统的保成本控制研究中，系统均是采用Wiener过程来对随机现象进行建模的。但由于随机干扰的复杂性，系统在实际运行中会受到连续型和跳跃型随机干扰的同时影响，此时应建立Wiener过程和Poisson过程共同驱动的随机系统。目前，Wiener过程和Poisson过程共同驱动的随机控制系统的研究已经有了初步的进展。但对于该系统的保成本控制问题，目前尚未检索到相关文献。因此，本文针对Wiener过程和Poisson过程共同驱动的随机系统的保成本控制问题，利用Lyapunov稳定性理论和随机分析理论，设计了保成本控制器。最后用仿真说明了该方法的有效性。

二、系统模型

Wiener和Poisson过程共同驱动的随机系统模型为

dx（t）=[A（t）x（t）+B（t）u（t）]dt+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（1）

x（0）=ξ，（2）

这里x（t）∈Rn为状态，u（t）∈Rm为控制输入。W（t）是Wiener过程，N（t）是强度为λ>0的Poisson过程，两个随机过程是相互独立的。x（0）为初始条件，且

A（t）=A+ΔA（t），B（t）=B+ΔB（t），

这里A∈Rn×n，Bn×n是已知矩阵。ΔA（t），ΔB（t）为系统的不确定性，满足

[ΔA（t）  ΔB（t）]=MF（t）[N1  N2] （3）

其中，M，N1，N2为已知矩阵;F（·）：R→Rk×l表示未知时变矩阵函数，满足

F（t）TF（t）≤I，？坌t（4）

对系统（1）-（2），将设计如下的状态反馈控制器

u（t）=Kx（t）（5）

其中，K是待定增益矩阵。将控制器（5）代入至系统（1）-（2），得闭环系统（∑C）为

dx（t）=Ak（t）+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（6）

x（0）=ξ，（7）

其中，Ak（t）=A（t）+B（t）K。对系统（∑C），考虑成本函数

其中R1，R2是给定的正定矩阵。

本文要解决保成本控制问题是对系统（1）-（2），设计控制器（5）使相应闭环系统（∑C）是鲁棒均方随机渐近稳定，且对于所有的不确定性，性能函数（8）有一个上界。

三、保成本控制器的设计方法

定理1 对随机系统（1）-（2）和成本函数（8）。保成本控制问题是可解的充分条件是如果存在矩阵X>0，Y和标量ε1使得如下LMI成立

其中

Ω11=AX+XAT+BY+YTBT-λX+ε1MMT，

此时保成本控制器为u（t）=Kx（t），K=YX-1，（10）

且成本函数满足J≤E（x（0）TX-1x（0）），（11）

证明：首先证明闭环系统（∑C）是鲁棒均方随机渐近稳定性的。对系统（∑C），选择李雅普诺夫函数

V（t，x（t））=x（t）TPx（t），（12）

其中，P=X-1。则由Ito^公式可知对任意的T>0，

对（13）两边取期望有

这里

DV（t，x（t））=x（t）TΘ（t）x（t）（15）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）TP+x（t）TCTPCx（t）+λ（I+D）TP（I+D）-λP。

根据（9），易知矩阵Ξdiag（P，P，P，I，I，I）是非奇异的。故

ΞTΩΞ<0（16）

然后利用Schur补公式，即得

另一方面，令利用（3），（4），有

综合（17）和（18），有

Θ（t）+R1+KTR2K<0，（19）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）T+λ（I+D）TP（I+D）-λP+CTPC.

从（19）知，可以找到一个常数c>0使得

Θ（t）<-cI.（20）

则从（15）和（20），有

DV（t，x（t））≤-cx（t）Tx（t）（21）

此時可知闭环系统是鲁棒均方随机渐近稳定的。

接下来，本文将表明使用控制器（10），成本函数满足（11）。为此，将考虑（12）中的李雅普诺夫函数。（19）表明

R1+KTR2K<-Θ（t），（22）

则

x（t）T（R1+KTR2K）x（t）≤-x（t）TΘ（t）x（t）=-DV（t，x（t）），（23）

对（23） 两边同时从0到T>0积分，然后取数学期望，有

因此，（11）中的上界被满足。

四、数值仿真

考虑线性随机系统（1）-（2）具有如下参数

A=2 00 2，B=1   0.10.2 -1，C=0.3 00 0.3，D=0.2 00.1 0.2，M=0.1 0.20.5 0.2，N1=0.3 00 0.2，N2=0.2 00 0.24，λ=2，F（t）=sint，ξ=0.40.6

R1=1 00 1，R2=2 00 2

此时，开环系统的状态曲线如图1所示，图1说明该开环系统是不稳定的。那么，利用定理1，可求出满足式（9）的控制器参数

K=-4.5513 -1.3530-0.3106 6.0696

则相应的闭环系统的状态曲线为图2所示。则从图2可知，此时设计的状态反馈控制器能使相应的闭环系统保持稳定和满足给定的性能。

参考文献：

[1]Xie L.， Soh Y. C. Guaranteed cost control of uncertain discrete-time systems. Control Theory and Advanced Technology，1995（10）.

[2]Yu L.， Chu J. An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems. Automatica，1999（35）.

[3]Chen W. H.， Guan Z. H.， Lu X. Delay-dependent output feedback guaranteed cost control for uncertain time-delay systems. Automatica，2004（07）.