费米问题助力核心素养之物理观念培养

汤倩倩 童瑜意 祖米热姆 方 伟,2

(1. 上海师范大学物理系,上海 200234; 2. 上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室,上海 200234)

1 费米问题与物理观念简介

当美国第一颗原子弹试爆时,美国物理学家费米正在离试验点10英里的地方,当原子弹爆炸所产生的冲击波在约40s后到达费米所在的试验场时,费米向空中扬起一些小纸屑,测量小纸屑落地被吹移的距离,从而估算出该原子弹的当量为10千顿TNT,此值与实际当量(21千顿TNT)仅差1/2，类似的,费米还成功估算过“芝加哥需要多少个钢琴调音师”,所得数值与实际数目并无显著差异.费米以他的这种非凡的估算能力被广泛熟知.后人把类似的没有或者具有很少原始数据、无法直接计算或测量、但能通过量纲分析、数量级估算而得到答案的问题统称为费米问题或费米估计.这类问题也被称为“Back of the Envelope Physics”,意指不需要大篇幅繁琐推算只需在信封背面简单推算即可求得答案.费米问题的答案无需精确,只要在实际值的一个数量级(即实际值的0.1倍～10倍)以内即可.费米问题与其说是一类问题,不如说是假设、抽象、解决问题的能力和方法,古今中外大多优秀的物理学家均具有这种洞察问题的直觉和定性解决计算的能力.在物理教学上若能借助费米问题教学,不仅仅有利于物理知识的讲授,更能提高学生的问题解决能力.[1]值得强调的是,这种能力是可以直接迁移到学生毕业以后的工作生活中的.类似“芝加哥需要多少个钢琴调音师”的费米问题,就是创业者在创业前必须要会的市场调研.同样如今在许多工作面试当中,考官也会问到诸如此类的费米问题,来判断一个人的多方位思考能力、思维逻辑以及知识面的广泛程度.

近几年,随着我国教育事业的不断发展,教育领域对教育方式和教育理念做出了全新的探索,提出了更加符合时代发展需求的新课程标准.其中,核心素养成为教师和学生关注的焦点.[2]在物理学科中的“核心素养”主要由“物理观念”、“科学思维”、“科学探究”和“科学态度与责任”等4个要素组成.观念是客观事物在人脑中留下的概括性的认识,即对一切客观事物的理性认识,同时它又反过来影响和支配着人们的行为.而“物理观念”则是人们对物理现象和物理过程的理性认识,是物理概念和规律等在头脑中的提炼和升华,从物理学视角概括为形成的关于运动与相互作用、能量、物质等的基本认识.[3]

2 费米问题培养“物理观念”的可行性

“物理观念”是物理核心素养的重要组成部分,决定着学生对物理知识内涵的理解和应用的灵活性,对学生的终身学习和发展具有重要作用.爱因斯坦指出:“在建立一个物理学理论时,基本观念起了最主要的作用.物理书上充满了复杂的数学公式,但是所有的物理学理论都是起源于思维与观念,而不是公式.”[4]由此可见,物理观念在物理学理论形成和发展中发挥着重要的作用.

在教学中,如何进行“物理观念”的教学,可从3个方面入手.一是创设真实的教学情境,从学生具备的知识入手建立科学思想并渗透物理观念;[5]二是以问题为导向,在提出问题和问题解决中学会建立物理模型,逐步形成清晰的物理观念;三是利用真实的未经加工的物理原始问题,将理论付诸实践,系统的培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力,并从中认识到物理学的价值与社会、生活、人文、科技间的联系,从而逐步建立起物理观念.费米问题正是来源于实际生活和现实世界的未经加工的原始问题,趣味性强,无需繁琐数学推演,在解决过程中能更专注于物理观念的建立,因而适合在教学中用来培养“物理观念”.

3 费米问题培养“物理观念”的应用举例

3.1 物质观念的费米问题

物质观念包括物质的存在形式、物质结构、物质的状态变化、物质属性等4个二级主题.物质是构成宇宙间一切物体的实物和场.化学里说的物质世界是由分子、原子和离子等微观粒子构成的,而物理学中对于这一基本观念,不仅要告诉学生物质的宏观观念和微观观念,更重要的是告诉学生并非所有物质都可以看得见摸得着,比如“电场”、“磁场”等物质,它们既看不见也摸不着,然而却是大自然中客观存在的物质,而且这类物质并非实物,但是依然具有和普通物体一样的共通属性.[6]在中学教学当中,我们可以引入费米问题,很好地帮助学生建构物理模型,培养学生的物质观念.

例1.猜猜看,原子序数为100左右的原子(如铀原子)半径会比原子序数为个位数的(如氢原子)大多少?

这是一个非常好的能帮助学生建立物质观念的费米问题.该问题的解决过程可以帮助学生建立宏观与微观的概念,建立物质的微观模型.由于实际结果是几乎所有原子都有几乎相同的尺寸(见表1),原子序数大的原子半径并不一定比原子序数小的大,因而与学生最原始的感官有较大偏差,使得学习效果非常明显,还会激发学生的进一步思考甚至是讨论,为以后更深层次的学习埋下引线.下面以铝(Al)原子为例介绍根据密度来估算原子半径的方法.

1 mol(6×1023个)铝原子质量为27 g.(记为原子的“重量”是A=27 g/mole)密度ρ=2.7 g/cm3，

(1)

(1)式表示1 mol的铝所占体积为10 cm3,相当于边长大约为2 cm(2.15 cm)的正立方体里,包含了约6.02×1023≈1024个铝原子,立方根为108(8.4×107).因此,在固态铝中每108个铝原子可排列成2 cm长,因而一个铝原子的直径大约为2×10-8cm,或者更精准的计算为

(2)

利用同样方法,可估算出一系列元素的原子直径(如表1),由结果可知,不同元素的原子尺寸都差不太多.[7]由于元素有多种,可以给每个学生分派不同的元素求其尺度,培养其建立物理模型的能力,以及利用解决费米问题的方法加深对“物质观念”的理解.

表1 元素周期表中代表性元素的摩尔体积和原子直径

3.2 运动与相互作用观念的费米问题

运动与相互作用观念包括运动、相互作用、力与运动等三个二级主题. “世界上一切的物质都处于相对运动或相对静止之中,没有绝对的静止”,描述物体的运动并发现其运动规律是物理学的重要任务之一.在运动的描述中可以深化对时间、空间和参考系的认识.当一个物体受到外力并使它的运动状态发生变化,这便是牛顿第二定律.这是力和运动的沟通桥梁,是经典力学大厦的支柱之一.[8]

图1 月球“平抛运动”示意图(图中尺度未按比例画出)

例2.法国诗人瓦莱里(Paul Valéry,1871—1945)曾说过,“当每个人都没看到月球往下掉时,只有牛顿注意到月亮正在往下掉”.假设在离地球球心高度为地月平均距离的上空平抛一物体(平抛速度大小为月球公转速度),试估算1s后该物体的水平位移dx和竖直下落高度dy分别为多少.

如图1所示,v为月球平均公转速度v=1.023×103m/s,d为地月平均距离d=3.844×108m.1 s后，

dx=1.023×103m;

(3)

(4)

其中g′为离地球球心高度为地月平均距离的上空的重力加速度.再根据万有引力定律

(5)

(6)

M=5.972×1024kg(M为地球质量)得到此处的重力加速度g′=2.696×10-3m/s2.

(7)

我们再将此物理模型转为平面几何图形(图2)来计算.

图2 月球绕地圆周运动关系图(图中尺度未按比例画出)

如图2所示,d为图1的地月平均距离d=3.844×108m;dx为图1的1 s钟所走的路程dx=1.023×103m.图2未按比例画出,实际上图中的dx直角边远比临边d短,差5个数量级.

由简单几何关系,可求出Δd=1.36×10-3m,约等于图1中的dy=1.35×10-3m.dy≈Δd,说明正是由于地球引力,本来作水平运动的月球实际上还在向着地球作自由下落(即平抛运动,只是此时的重力加速度不再是地球上的g),竖直下落的高度正好使得月球本沿着切线方向的轨道偏移到环绕地球的圆上,这就是诗人瓦莱里所说的只有牛顿一人“看到”月球正在往下掉.

此题是一个非常好的能帮助学生建立运动与相互作用观念的费米问题,其中涉及到平抛运动和圆周运动,涉及到运动的合成与分解,涉及到牛顿第二定律和万有引力定律.更关键的是,通过此题的估算,学生可以建立起完备的关于运动与相互作用的观念,更能深度理解为何苹果砸中牛顿脑袋对牛顿思索月球绕地球运动竟有启发,能深度理解为何说牛顿统一了天上的运动和地面上的运动,也能用物理的语言来理解辛弃疾在《木兰花慢 可怜今夕月》中的语句:“飞镜无根谁系?姮娥不嫁谁留?”.

3.3 能量观念的费米问题

能量观念包括能量的各种形式、能量的转移与转化、能量的耗散、能量的守恒等4个二级主题.能量是物理学乃至整个自然科学领域最核心的概念之一.从机械运动中的动能、重力势能,到热物理学中提出的内能,再到电场和磁场中的静电能、磁场能、电磁场能,这是对能量认识的一步步深化.自然界存在不同形式的能量,同时能量既不会无中生有,也不会自行消失,而只可由一种形态变化为另一种形态,即宇宙中的能量总量保持不变.更进一步,如何理解能量守恒前提下的有关能量耗散、能量品质、节约能源等问题?这些均需要给学生建立起完整的有关能量的观念,能够利用能量的观念来分析和理解我们的物质世界,并在生活中养成节约能源的好品质.

例3.有句名言说到:“与其诅咒黑暗,不如燃起蜡烛”.普通蜡烛发出的光和手电筒灯泡相差无几,但热量要多得多.试估算普通烛光的功率大小.

蜡烛燃烧时间和蜡烛成分、形状粗细、烛心粗细等因素有关.假设一支直径为2 cm的圆柱形蜡烛,查阅可知燃烧1h后其蜡烛高度会降低约2 cm(数据也可以买一支蜡烛实测),即大约消耗掉6 cm3的碳氢化合物.蜡的密度略小于水,仍取1 g/cm3来计算,则1h的蜡烛燃烧量为6 g.查阅资料可知,碳氢化合物的燃烧热约为5×104J/g.在1h内,燃烧的蜡烛将消耗6g,产生3×105J的能量.所产生的功率为

(8)

一根小小蜡烛燃烧功率竟与100 W灯泡相差不多,此结果与学生的感官猜想应有较大出入,教师可以引导学生画出蜡烛燃烧过程中能量、物质转化走势图来加深学生的能量观念,加深诸如能量守恒、物质守恒、能量转移和转化(由化学能转化为光能和热能)等概念的理解.通过合理设计,还能引申到有关能量品质、热力学第二定律的讨论.

4 总结

“物理观念”的形成需要经历三个维度的发展,即从学习理解、应用实践到迁移创新.[9]上面的3个题目均为典型的费米问题,均来源于生活,关注于物理现象本身.这些问题看似没有或少有原始数据,但在估算过程中,均可以促进物理观念的形成和建立,加深物理观念的理解.在“物理观念”、“科学思维”、“科学探究”、“科学态度与责任”等四个要素当中,“物理观念”代表知识的内化,是其他几个核心素养的基础.[5]

由于费米问题的趣味性、生活性、数学计算的简洁性,物理教师在进行教学当中,可以利用费米问题作为一种新型的教学尝试,教师可以信手拈来,从周边生活出发,选择一些生活中常见的现象帮助学生们将所学习的有关物质、运动与相互作用、能量等概念的知识用于提升他们的“物理观念”.[10]如根据刘慈欣同名小说改编的《流浪地球》电影中,关于利用地球氧气引爆木星氢气产生冲击波帮助地球逃离木星引力的桥段,就涉及到物质、能量、运动与相互作用,完全可以用来设计成费米问题,让学生分析其可行性、估算爆炸的总能量、能给地球增加多大的速度等等.费米问题能帮助学生们将学习的物理概念和知识融入常见的物理现象之中,进而提升他们的物理观念.我们会继续深入探究费米问题教学如何促进“科学思维”、“科学探究”、“科学态度与责任”等其他三个物理核心素养的培养.